UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

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1 UNIVERSITE PARIS 1 PANTEON SORBONNE UFR DE GESTION MATEMATIQUES APPLIQUEES A L ECONOMIE ET A LA GESTION PARTIE II- ANALYSE LICENCE 1 année Cours de Marion GOFFIN 2 semestre

2 Mathématiques Partie II- Analyse Sommaire Semaine du 7 mars 1ère semaine: interrogation d algèbre puis : fiche 1 (avec rappels sur les fonctions ln, exp, puissance : domaine de def, forme de la courbe) Puis, s il reste du temps : Rappels sur les limites en fin de séance. Semaine du 14 mars 2ème semaine: fiche 2 Semaine du 21 mars 3ème semaine: fiche 3, éventuellement début de la fiche 4 Semaine du 28 mars 4ème semaine: fiche 4 (en partie) Semaine du 4 avril 5ème semaine: fin de la fiche 4, début de la fiche 5 Semaine du 18 avril 6ème semaine: interrogation écrite, fin de la fiche 5

3 Fiche n 1- Ensembles et applications (fonctions) Notions vues en cours: - ensembles : généralités, opérations sur les ensembles - relations binaires : relations réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives - fonctions : généralités, fonctions réciproques, typologie des fonctions (injections, surjections, bijections), composition des fonctions, ensemble de définition d une fonction. Les fonctions trigonométriques (tan, cos, sin) ne sont pas au programme. Exercice 1 : Déterminez l ensemble de définition D f des fonctions suivantes : a) f x = $²&' $(' b) f x = x' + x 2 c) f(x) = x+1 x 1 d) f x = x+1 x 1 e) f x = x f) f x = 01 (0 21 ' g) f x = ln (x 4) Exercice 2 : Soient f(x) = 3x+1 et g(x)= x ' 1 1- Déterminer l application réciproque (ou inverse) de la fonction f. 2- Définir les applications composées g f et f g. Que peut-on conclure?

4 Fiche n 2- Limites et continuité Notions vues en cours: - limites en un point, limite à droite, à gauche, limites en + et -, opérations sur les limites. - continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par continuité - fonction puissance, logarithme, exponentielle Exercice 1 : Etudiez les limites suivantes : a) lim $ &' $ = (>$²('$ $²&$&? b) lim h 0 $(E = &$= E (IJ $ c) lim $ F G $² d) lim $ (K (IJ $ $² Exercice 2 : Etude de la continuité d une fonction numérique réelle Soit la fonction f telle que f (x)= $ LM $ $²& 1 - Pour quelles valeurs de x, f(x) est-elle définie? 2 - Calculer lim f(x) et lim f(x). $ F $ 3 - Montrer que f est continue sur D = 0; 1 1; +. 4 Peut-on prolonger par continuité f en x = 0 et x = 1?

5 Fiche n 3- Dérivées et différentielles Notions vues en cours : - dérivabilité en un point, dérivée à droite, dérivée à gauche, dérivabilité sur un intervalle - calcul de dérivées - différentielles Exercice 1 : Calculez les dérivées suivantes : = a) y=ln 1 + x c) y= x + = d) y= x x + x 3 $ e) y= $ $²& f) y= ln ($² Exercice 2 : Déterminez: a) L équation de la tangente à la courbe C d équation y= x³ 4x + 1 au point de coordonnées (0 ;+1) b) L équation de la tangente à la courbe C d équation y= x³ x + x + 1 au point de coordonnées (-1 ;0) Exercice 3 : Déterminer la différentielle au point x=1 de la fonction f x = 01 $(LM$ On suppose que l on a x = t² 3 : déterminez la différentielle de fog au point t=2.

6 Fiche n 4- Etude de fonctions Plan d étude d une fonction : 1. Recherche de l ensemble de définition 2. Recherche de l ensemble d étude 3. Etude des limites et de la continuité (aux points où la fonction est non définie, aux bornes des intervalles, en + et - ) 4. Etude de la dérivabilité et construction du tableau de variations de f (avec étude des points remarquables : points à tangente horizontale, points pour lesquels la fonction n est pas définie, pas dérivable ) 5. Compléments : concavité, convexité 6. Représentation graphique Exercice : Etudiez les fonctions suivantes selon le plan d étude indiqué ci-dessus : a) f x = $= ( $&' ² b) f x = $X Y 2 ln x 3 c) f x = x ln x si x 0; + f x = xe $ si x ; 0

7 Fiche n 5- Primitives et intégrales - Calculs d aires avec représentation graphique (vus en cours uniquement) - IPP - Reconnaissance des formules usuelles (tableau des primitives) L intégration par changement de variable n est pas au programme Les fonctions trigonométriques ne sont pas au programme Exercice : Calculez les intégrales suivantes : ' a) x + 1 &' dx b) 2x + 1 e $ F dx (indication : par IPP) c) 3x 1 F (3x ' 2x + 3) > dx d) F ^=( ^X(Y^( X dx