III. (5 points) On considère le polynôme P x 3x x 4. 2 ) Justifier que le polynôme P x admet toujours deux racines dans. Partie 2 (2 points)

Transcription

1 ère S Contrôle du mardi 8 novembre 06 (50 min) Prénom : Nom : Note : / 0 III (5 points) Partie ( points : ) point ; ) point + point) On considère le polynôme P m où m est un réel ) Calculer le discriminant réduit de P en fonction de m I ( points : ) point ; ) point + point) On considère le polynôme P Compléter sans eplication la phrase suivante par des égalités du type en utilisant le connecteur logique adapté : P 0 équivaut à ) Compléter le tableau ci-dessous donnant le signe de P suivant les valeurs de (ne pas oublier les 0!) + (un seul résultat sans égalité) ) Justifier que le polynôme P admet toujours deu racines dans Donner l epression des deu racines et en fonction de m (on prend ) Signe de P ) Résoudre les inéquations suivantes : 0 ; 0 Partie ( points) On considère le polynôme Q m où m est un réel Après résolution au brouillon, on complètera le tableau suivant donnant les ensembles de solutions S et S respectifs de et Déterminer l ensemble des réels m pour lesquels le polynôme admet deu racines distinctes dans (un seul résultat, sans égalité) II ( points) S S On cherche deu réels dont la somme vaut et le produit vaut Compléter la phrase suivante en écrivant une équation du second degré d inconnue X Les réels cherchés sont les solutions de l équation : Résoudre cette équation puis compléter la phrase suivante Les réels cherchés sont IV ( points : ) point ; ) point + points) ) Donner une factorisation du polynôme en produit de deu facteurs du premier degré Pour tout réel, on a : (une seule égalité) 9 ) On considère la fonction f : On note D son ensemble de définition Compléter l égalité : D Simplifier l epression de f pour D Pour tout D, on a : f

2 V ( points : ) points ; ) points) ) Le but de cette question est de résoudre l équation 0 On résout dans s écrit alors ' On considère le polynôme Les racines de ce polynôme sont Or X à l aide d un changement d inconnue On en déduit que est successivement équivalente à (deu lignes seulement à compléter : première ligne avec des égalités du type et deuième ligne avec des égalités du type ) : l ensemble des solutions de l équation ) Résoudre l inéquation 0 adaptations nécessaires S en reprenant la même rédaction qu au ) mais en effectuant les VI ( points) On considère la fonction f : définie sur * et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j On note D la droite d équation y Le but de l eercice est déterminer par le calcul les abscisses des points d intersection A et B de C et de D (on prendra A B ) Compléter les phrase suivantes : Les abscisses des points d intersection de C et de D sont les solutions de l équation On résout dans Résoudre l équation au brouillon et compléter la phrase suivante : Les points A et B ont pour abscisses respectives On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible

3 I Corrigé du contrôle du II On cherche deu réels dont la somme vaut et le produit vaut On considère le polynôme P Compléter sans eplication la phrase suivante par des égalités du type en utilisant le connecteur logique adapté : P 0 équivaut à P 0 équivaut à ou ) Compléter le tableau ci-dessous donnant le signe de P suivant les valeurs de (ne pas oublier les 0!) ) Résoudre les inéquations suivantes : 0 ; 0 Après résolution au brouillon, on complètera le tableau suivant donnant les ensembles de solutions S et S respectifs de et Signe de + P Compléter la phrase suivante en écrivant une équation du second degré d inconnue X Les réels cherchés sont les solutions de l équation : X X 0 Une équation comporte toujours un signe d égalité Résoudre cette équation puis compléter la phrase suivante Les réels cherchés sont III Partie et On considère le polynôme P m où m est un réel ) Calculer le discriminant réduit de P en fonction de m S ; ; S ; 0 ; m (un seul résultat sans égalité) ) Justifier que le polynôme P admet toujours deu racines dans On dresse un tableau de signes pour chacune des deu inéquations Pour la première inéquation, on aura deu lignes : signe de et signe de Les valeurs charnières sont, dans l ordre croissant,,, Pour la deuième inéquation, on aura deu lignes : signe de Les valeurs charnières sont, dans l ordre croissant, Penser à la double barre pour la valeur interdite num dén Penser à écrire 0 et 0 et signe de, 0 (valeur interdite), ère justification : Pour tout réel m, le discriminant réduit de réduit de P est strictement positif e justification : Le coefficient de et le coefficient constant sont de signes contraires Donner l epression des deu racines et en fonction de m (on prend ) m m m m

4 Partie V On considère le polynôme Q m où m est un réel Déterminer l ensemble des réels m pour lesquels le polynôme admet deu racines distinctes dans Justification : Le discriminant réduit de ; ; Q est égal à m 0 si et seulement si m (un seul résultat, sans égalité) m Dans cet eercice, il est très important de faire la distinction entre les et X ) Le but de cette question est de résoudre l équation 0 On résout dans s écrit alors X X 0 ' à l aide d un changement d inconnue m 0 si et seulement si m ou m On considère le polynôme X X IV ) Donner une factorisation du polynôme en produit de deu facteurs du premier degré Pour tout réel, on a : (une seule égalité) On cherche les racines du polynôme : (racine évidente) et (obtenue par produit) On applique ensuite directement la formule de factorisation d un polynôme du second degré qui admet deu racines distinctes Les racines de ce polynôme sont et Or X On en déduit que est successivement équivalente à (deu lignes seulement à compléter : première ligne avec des égalités du type et deuième ligne avec des égalités du type ) : ou ou 9 l ensemble des solutions de l équation 9 ) On considère la fonction f : On note D son ensemble de définition Compléter l égalité : D Simplifier l epression de Justification : \ ; f pour D Pour tout D, on a : f On factorise le numérateur grâce à une identité remarquable Pour tout D, on a : f ) Résoudre l inéquation 0 adaptations nécessaires On résout dans s écrit alors X X 0 ' On considère le polynôme X X Les racines de ce polynôme sont et S ; 9 en reprenant la même rédaction qu au ) mais en effectuant les D après la règle du signe d un trinôme du second degré (on peut éventuellement faire un tableau de signes), ' équivaut à X ou X

5 Or X Le tableau de signe du polynôme X X n est pas forcément utile peut éventuellement permettre de trouver plus facilement L équation est successivement équivalente à : (simple produit en croi) 0 Il s agit d une équation du second degré On calcule son discriminant réduit ' On en déduit que est successivement équivalente à : ou 0 ou 9 l ensemble des solutions de l inéquation S 0 ; 9 ; VI On considère la fonction f : définie sur * et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j On note D la droite d équation y Le but de l eercice est déterminer par le calcul les abscisses des points d intersection A et B de C et de D (on prendra A B ) Compléter les phrase suivantes : Les abscisses des points d intersection de C et de D sont les solutions de l équation On résout dans * Résoudre l équation au brouillon et compléter la phrase suivante : Les points A et B ont pour abscisses respectives et On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible