Chapitre 8 Séries numériques. Table des matières

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1 desced! Chapitre 8 Séries umériques Versio du à 06:09 Table des matières 1 Notios de base sur les séries umériques 2 2 Covergece absolue 4 3 Séries à termes réels positifs 4 4 Sommatio des relatios de comparaiso 6 5 Comparaiso série-itégrale 7 6 Séries alterées 8 Extrait du programme relatif à ce chapitre Complémets sur les séries umériques Règle de d Alembert. Critère des séries alterées. Sige et ecadremet des restes. Comparaiso série-itégrale : Si f est ue foctio cotiue par morceaux et décroissate de R + das R +, alors la série de terme gééral f (t)dt f () coverge. 1 Sommatio des relatios de comparaiso : domiatio, égligeabilité, équivalece. Itroduite pricipalemet e vue de l étude des séries etières. l étude des séries semi-covergetes est pas u objectif du programme. La trasformatio d Abel est hors programme. l étude de la sommatio par traches das le cas semicoverget est hors programme. Les étudiats doivet savoir utiliser la comparaiso série-itégrale pour estimer des sommes partielles de séries divergetes ou des restes de séries covergetes das le cas où f est mootoe. Iterprétatio géométrique. La suite de référece est positive à partir d u certai rag. Cas des séries covergetes, des séries divergetes. 1

2 1 Notios de base sur les séries umériques Notatio : Das toute cette partie, K désige R ou C. Défiitio 1 (Série covergete) Soit 0 N. Soit (u ) 0 ue suite d élémets de K. 1. La série u est dite covergete si la suite (S ) 0 de terme gééral S := k= 0 est covergete, i.e. si la suite des sommes partielles coverge. 2. Si la série u est covergete, alors la limite de la suite (S ) 0 est appelée somme de la série et est otée u. = 0 Remarque 1 (Sur trois otatios attachées aux séries). O veillera à e pas cofodre les trois otatios suivates, qui désiget des objets, certes liés, mais différets. u désige la série de terme gééral u, où 0. k= 0 désige la somme partielle d idice de la série de terme gééral u, où 0. = 0 u désige la somme de la série de terme gééral u, où 0, uiquemet si la série coverge. Remarque 2 (Restrictio au cas où 0 = 0 das la suite). Das ce qui suit, les défiitios et résultats serot éocés et démotrés pour des séries associées à des suites défiies à partir du rag 0. Il s étedet aturellemet à des séries associées à des suites seulemet défiies à partir d u rag 0 N. Propositio 1 (Coditio écessaire, o suffisate, pour qu ue série coverge) Soit (u ) N ue suite d élémets de K. u coverge = u 0. Exercice 1 (Nature de la série harmoique). Démotrer que la série harmoique, de terme gééral 1, diverge. Remarque 3 (La réciproque de l implicatio de la propositio 1 est fausse). La série harmoique 1 diverge, bie que

3 Théorème 1 (Série géométrique) Soit r K. 1. r coverge r < Si r < 1, alors =0 r = 1 1 r. Théorème 2 (Séries de Riema) Soit α R. 1 coverge α α > 1. Propositio 2 (Séries télescopiques) Soit (u ) N ue suite d élémets de K. Soit (v ) N la suite de terme gééral v = u +1 u. 1. v coverge (u ) N coverge. 2. Das le cas où il y a covergece, =0 v = lim u u 0. Remarque 4 (D ue suite à ue série). La propositio 2 permet de rameer l étude de l asymptotique d ue suite à celle d ue série. Théorème 3 (Opératios sur les séries covergetes) Soiet (u ) N et (v ) N deux suites d élémets de K. Soit λ,µ K. 1. u et v coverget = λu + µv coverge. 2. Si u et v coverget, alors λu + µv = λ u + µ =0 =0 =0 v. Exercice 2 (Somme d ue série covergete et d ue série divergete). Soiet (u ) N et (v ) N deux suites d élémets de K. O suppose que la série u coverge et que la série v diverge. Que dire de la ature de la série u + v? Défiitio 2 (Reste d ue série covergete) Soit (u ) N ue suite d élémets de K telle que la série u coverge. Pour tout N, le reste d ordre de la série u est défii par : R := =. Propositio 3 (La suite des restes d ue série covergete tedet vers 0) Soit (u ) N ue suite d élémets de K telle que la série u coverge. Alors R = 0. 3

4 2 Covergece absolue Défiitio 3 (Série absolumet covergete) Soit (u ) N ue suite d élémets de K. La série u est dite absolumet covergete si la série u est covergete. Théorème 4 (Ue série absolumet covergete est covergete) Soit (u ) N ue suite d élémets de K. u coverge absolumet = u coverge. Exercice 3 (Nature de la série harmoique alterée). Démotrer que la série harmoique alterée, de terme gééral ( 1), coverge et détermier =1 ( 1). Remarque 5 (La réciproque de l implicatio de la propositio 3 est fausse). La série harmoique alterée ( 1) dite semi-covergete). est covergete, mais o absolumet covergete (ue telle série est Exercice 4. Détermier la ature de la série l (1 + ( 1) 3 Séries à termes réels positifs ). Théorème 5 (Covergece des séries à termes réels positifs) Soit (u ) N ue suite de réels positifs. Soit ( S = ) 1. u coverge la suite (S ) N est majorée 2. Si u coverge, alors =0 u = sups. N 3. Si u diverge, alors S +. N la suite des sommes partielles. Corollaire 1 (Théorème de domiatio) Soiet (u ) N et (v ) N deux suites de réels positifs telles que : N u v [hypothèse de domiatio]. 1. v coverge = u coverge 2. u diverge = v diverge Remarque 6 (Affaiblissemet de l hypothèse de domiatio das le corollaire 1). Le théorème de domiatio reste vrai si l hypothèse de domiatio est satisfaite qu à partir d u certai rag. 4

5 Exercice 5 (Sommes des deux séries e cas de covergece das le théorème de domiatio). O se place das le cotexte du théorème de domiatio et o suppose que v coverge. Alors u coverge égalemet. Que dire des sommes u et =0 =0 v? Exercice 6. Détermier la ature des séries suivates. (A) (E) cos() 2 (B) (F) si() 2 (C) 3 (G) 1 2 Arcta ( 2 2 ) (D) 1 2 l() Théorème 6 (Règle de d Alembert) Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existe l R + tel que 1. Si l < 1, alors u coverge. 2. Si l > 1, alors u diverge. 3. Si l = 1 +, alors u diverge. u +1 u l. Exercice 7 (Règle de Raabe-Duhamel). Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose que avec u développemet asymptotique de la forme où α R. 1. Motrer que si α > 1, alors u coverge. 2. Motrer que si α < 1, alors u diverge. u +1 u 1 u +1 = u 1 α ( ) 1 + o Exercice 8 (Théorème de comparaiso logarithmique). Soiet (u ) N et (a ) N deux suites de réels strictemet positifs. O suppose que : à partir d u certai rag. u +1 u a +1 a 1. Démotrer que si a coverge, alors u coverge. 2. Quel résultat atérieur peut-o retrouver grâce à la questio 1? 5

6 Exercice 9. Soiet x R et a,b des réels strictemet positifs. Détermier la ature des séries suivates. (A) x 2 (B) x! (C)! x 2 (D) (2) (2 + 1) (E) a(a + 1)...(a + ) b(b + 1)...(b + ) 4 Sommatio des relatios de comparaiso Théorème 7 (Sommatio des équivalets) Soiet (u ) N et (v ) N deux suites de réels. O suppose que Alors (H1) v > 0 à partir d u certai rag; (H2) u v. (C0) u > 0 à partir d u certai rag; (C1) les séries u et v sot de même ature; (C2) si u et v coverget, alors (C3) si u et v diverget, alors v k. v k ; Remarque 7 (Attetio aux hypothèses sur le sige). Lorsque qu aucue des deux suites est de sige costat à partir d u certai rag, le théorème de sommatio des équivalets est faux «e gééral». Par exemple, pour tout N posos u = ( 1) + 1 et v = ( 1). La série v coverge (cf. critère des séries alterées), la série u diverge, mais pourtat u v. Exercice 10. Soit q u réel strictemet positif. 1. Supposos q < 1. Doer u équivalet de 2. Supposos q = 1. Doer u équivalet de 3. Supposos q > 1. Doer u équivalet de q k quad ted vers +. q k quad ted vers +. q k quad ted vers +. Exercice 11. Que dire de la série ? Exercice 12 (Le théorème de Césàro comme coséquece du théorème 7). Déduire le théorème de Césàro du théorème de sommatio des équivalets. 6

7 Théorème 8 (Sommatio des o et des O) Soit (u ) N ue suite de ombres complexes et soit (α ) N ue suite de réels strictemet positifs. 1. Supposos que α coverge. (a) Si u = o(α ), alors u coverge absolumet et (b) Si u = O(α ), alors u coverge absolumet et = o = O ( α k ). ( α k ). 2. Supposos que α diverge. (a) Si u = o(α ), alors (b) Si u = O(α ), alors = o = O ( α k ). ( α k ). Exercice 13. Détermier la ature de u das les cas suivats. (A) u = (B) u = + cos() ( 1) (C) u = + ( 1) (D) u = eiθ 2 + [θ R] (E) u = ( 1) + ( 1) 5 Comparaiso série-itégrale Théorème 9 (Comparaiso série-itégrale) Soit f : R + R + ue foctio cotiue par morceaux, positive et décroissate. (C1) La série de terme gééral est covergete. u = f (t)dt f () 1 (C2) La série f () coverge si et seulemet si la suite de terme gééral f (t)dt coverge. 0 Exercice 14 (Séries de Bertrad). Soit α > 0 et β > 0. Démotrer 1 α l β () coverge ou α > 1 α = 1 et β > 1. Exercice 15. Détermier la ature de la série de terme gééral u =

8 Exercice 16 (Quelques équivalets associés aux séries de Riema, par la méthode de comparaiso vs. ). Soit α u réel strictemet positif. 1. Supposos α > 1. Détermier u équivalet de 1 2. Supposos α = 1. Doer u équivalet de k=1 α Supposos α < 1. Doer u équivalet de α. k=1 1 α. Exercice 17 (Équivalet de ζ e 1 +, par la méthode de comparaiso vs. ). Détermier u équivalet, lorsque x ted vers 1 +, de ma foctio 6 Séries alterées ζ : ]1,+ [ R 1 x x. =1 Théorème 10 (Critère des séries alterées) Soit (u ) N ue suite de réels telle que Alors (H1) N u u +1 0 ; (H2) la suite ( u ) N est décroissate; (H3) u 0. (C1) la série u coverge; (C2) si u +1 < 0 alors S +1 (C3) si u +1 > 0 alors S où S = et R =. S et u +1 R 0 ; S +1 et 0 R u +1. Remarque 8 (Formulatio sythétique des propriétés sur le reste d ue série alterée). Si (u ) N ue suite de réels vérifiat les hypothèses (H1), (H2), (H3) du théorème 10, alors pour tout N 1. R := 2. R := a le sige de u +1 ; u +1. O dit parfois que le reste d ordre (R ), a le sige de so premier terme (u +1 ) et que sa valeur absolue est majorée par la valeur absolue de so premier terme. Exercice 18. Détermier la ature de u das les cas suivats. (A) u = u = ( 1) + 1 (B) u = ( 1) (C) u = l (1 + ( 1) ) 8

9 Remarque 9 (D ue hypothèse du théorème 10). L hypothèse (H2) das le critère des séries alterées est essetielle. E effet, la série de terme gééral u = ( 1) + ( 1) vérifie (H1) et (H3), mais pas (H2), et la série u diverge. 9