Séries Numériques (corrigé des indispensables).

Transcription

1 Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - - Séris mériqs (crrigé ds idispsabls Séris télscpiqs La séri prpsé st clairmt télscpiq, cstrit avc la sit (a dé par :, a Pisq (a cvrg (vrs, la séri cvrg t sa smm vat ( Ecrivs cmm prpsé : ( ( ( ( (, t la séri apparaît bi cmm télscpiq psat :, ( a Pr das l itrvall prpsé, (a cvrg vrs, dc la séri ( cvrg t sa smm vat : Pisq ( st l, la séri cvrg assi t sa smm st ( O pt écrir : ] l( [l( ] l( [l( l( l( l, t la séri st bi télscpiq psat :, a l( l( l Pisq la sit (a cvrg (vrs, la séri st dc cvrgt t sa smm vat : a l( l( l( Rmarq : la cvrgc d la séri pvait êtr bt simplmt avc éqivalt Séris à trms psitifs d sig cstat La prmièr séri st à trms psitifs t : ~, dc la séri divrg pisq la séri harmiq divrg Pr la dièm séri, ll st cr à trms psitifs t : ch ch ~ ( ( Cmm ctt drièr séri st gémétriq, d rais psitiv strictmt itérir à, ll cvrg t la séri d départ assi Utiliss dévlppmt limité pr ctt trisièm séri écrivat :, l l l( l( l Pis par mpl : l D mêm : l Fialmt : ~ Pr ctt drièr séri, écrit simplmt : p p l p

2 Dc : Fialmt, ls d séris st tts d psitivs (égalmt garati à partir d crtai rag t la scd st divrgt, dc la séri prpsé l st assi 5 La prmièr séri cvrg car : ²( ², td vrs! divrg car s trm gééral td pas vrs (thérèm ds crissacs cmparés l( l( divrg car c st séri à trms psitifs t : p ~ Par cmparais d séris à trms psitifs, la séri prpsé divrg! α O ps :, ù : α, t : v l( l( a Tt d abrd, ls trms d la sit ( st strictmt psitifs, dc (v st bi défii ( Pis : v l l α l l l ( α O tilis alrs dévlppmt limité d l( à l rdr pr l prmir lgarithm t à l rdr pr l atr, t : α v α α Distigs alrs plsirs cas : α > ; a : v ~ α, t ls d séris t ds trms gééra d mêm sig (psitif à partir d crtai rag, la scd divrgat t la séri v assi α < ; a tjrs : v ~ α, t l mêm argmt (pr ds séris à trms égatifs ctt fis mtr q la séri v divrg cr α ; a ctt fis : v ~, t ls d séris t ds trms gééra d mêm sig (égatif à partir d crtai rag mais ctt fis cvrgt b Pr la valr : α Dc ( cvrg vrs : C L >, c qi s écrit cr : débt d la frml d Stirlig :, la séri v cvrg dc la sit (l( cvrg vrs valr réll L! ~ C ~ C ~ C, d ù l éqivalt (qi crrspd a 7 Tts ls séris évqés st à trms réls psitifs pr la prmièr, pt écrir simplmt :, ma(,v v Dc par majrati (pr ds séris à trms psitifs, la séri ma(, v cvrg v ( v v pr la dièm, a cr :, v, car : v Dc à va par majrati, la séri v cvrg v v pr la trisièm, a tjrs :,, car : ( v v ( v v Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - -

3 v U fis d pls par majrati, la séri v cvrg 8 a Pisq st à trms psitifs, ls trms d v st défiis t psitifs Pis :,, dc par majrati d séri à trms psitifs, b Sppss maitat q v cvrg Alrs s trm gééral td vrs v D pls :, ~ v v Par cmparais d séris à trms psitifs, la séri st dc cvrgt Séris d sig qlcq, smms d séris v cvrg 9 La séri st alrs cvrgt, pisq smm d d séris cvrgts ts sit :, v a, ù a st abslmt cvrgt t smi-cvrgt Si la séri v était abslmt cvrgt, arait :, v a, dc : v a, t la séri v a srait assi cvrgt c qi st pas l cas Dc la séri v st q smi-cvrgt ( état cvrgt, la séri La prmièr séri st cvrgt pisq :,, t par majrati la séri ( csidéré st bi cvrgt Pis :, S S, ù S st la smm ( p p p ( p p p p p partill d la séri dt d la smm E faisat tdr vrs, dédit q : ( 8 La scd séri st abslmt cvrgt t :, Dc : ( lim ( lim ( Pr ls d séris, plsirs façs d mtrr lr cvrgc : ² ( pt écrir pr la prmièr (cmm pr la dièm : ~ ~, d ù la!! (! cvrgc d la séri (par éqivalc d séris à trms psitifs, : lim, d fait d thérèm ds crissacs cmparés, d ù la cvrgc d la séri! ² ( ( Pis écrit :, (, t :,!!!! pisq ls d séris qi apparaisst st cvrgts ² Efi : (!, à l aid d traslatis (! (! p p! p p! d idic das ls d drièrs smms d séris E travaillat d la mêm faç, t à partir d :, ( ( ( ( (, abtit à : Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - - ( ( ( 8

4 va :! ( ( (!!! p!! p p Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - - ( p! ( ( (, t à! si ( ( ( Pr :, a, pr la prmièr séri : Si c trm gééral td pas vrs, la séri divrg dc cditi écssair pr q ll cvrg st : <, sit : < i i Pr cs valrs d, pt alrs écrir : si [( ( ] i Ls d séris gémétriqs qi apparaisst st alrs cvrgts (d rais mdl strictmt pls ptits q t : i i si [ ( ( ] i i i i E rédisat a mêm démiatr, abtit à : <, si Pr la dièm séri, ll cvrg pr :, t si s écrit : ( état maitat sppsé l, cs séris t mêm cmprtmt t cvrgt si t slmt si : <, sit cr : < Pr cs valrs d, a alrs : ( a O tilis pr cla la frml d biôm d wt t :, ( ε ε, pis : ( ( ( ( Das ctt drièr smm rstt q ls pairs ( p, t : E p p ( (, p p Efi la smm état tir, la qatité prpsé st bi tir pair q l tra b O pt alrs écrir :, si( ( si( ( Il st clair q la qatité das l sis td vrs (sit gémétriq dc : ~ ( Par éqivalc d séris à trms égatifs, la séri cvrg, l atr état gémétriq t cvrgt a ts tt d abrd q sivat P, la sit ( prést prblèm d défiiti Il st écssair q l cfficit dmiat d P sit psitif car si, P dvidrait égatif à partir d crtai rag Das l cas dc ù l cfficit dmiat d P (ts-l a st psitif, pt alrs écrir :, P( a ~ a, ù désig l dgré d P Ct éqivalt garatit q P( dvit psitif pr assz grad t q st alrs défii à partir d c rag Pis : P( ~ a, t d atr part : ~

5 Distigs alrs plsirs cas : <, alrs P( st égligabl dvat t ( td vrs : la séri divrg >, alrs dvit égligabl dvat P (, t ( td vrs - : la séri divrg cr, t : a, a alrs : ~ ( a, à va td pas vrs, t divrg Fialmt pr q la séri cvrg, il fat q :, a, sit : P X bx c b O pt ss la drièr hypthès écrir : P( b c b c b c b 8 b c b b c b D ù : 8 O dit dc prdr : b, pr q td vrs c Si : c, alrs : ~ b c b, t :, t la séri a s trm gééral éqivalt à cli d séri d sig cstat t divrgt, t à c titr divrg Dc dit prdr : c, t das c cas :,, t la séri cvrg Cclsi : la séri cvrg si t slmt si : P X, t la séri st alrs la séri ll Rmarq : l dévlppmt limité (si avait pas été cstammt l s arait prmis das ts ls cas d détrmir la atr d qi arait été alrs cvrgt, grâc à éqivalt 5 O pt tilisr ds dévlppmts limités, t :, l( al( bl( ( a bl( al bl, sit : a b, l( al( bl( ( a bl( ( a b Dc il st écssair q : a b, pr q ( td vrs Si ctt cditi st rmpli t si : a b, l trm gééral d la séri st éqivalt à cli d séri d sig cstat t divrgt ( a b, dc divrg O dit dc chisir : a b, a b, sit : b, a - Das c cas : ~, t la séri cvrg Pr calclr sa smm pt rvir à ds smms partills rmarqr q :, [l( l(] [l( l(], sit l trm gééral d séri télscpiq Fialmt : [l( l(] lim[l( l( ] l( Prdit ifii a O pt cmmcr par rmarqr q :, l( P l( l( si spps (P cvrgt vrs L ll, la ctiité d l L mtr q la sit ds smms partills d la séri l( cvrg vrs l(l t la séri l( cvrg si spps q la séri l( cvrg vrs L, alrs la sit (l(p cvrg vrs L t par ctiité d p L, (P cvrg vrs L qi st bi ll Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - 5 -

6 b Si (P td vrs, la sit (l(p td vrs -, t la sit ds smms partills d la séri l( divrg vrs - : das c cas, la séri l( divrg Séris altrés t atr ds séris altrés 7 La prmièr séri st défii pr :, t st bi altré pisq alrs l démiatr gard sig cstat ( ( ( ( ( ( Pis :, ( Si t l trm gééral d ctt séri, alrs apparaît cmm la smm d d trms : ( a, t a cvrg d fait d critèr spécial, b ~, t b cvrg, par cmparais d séris à trms égatifs Fialmt cvrg Pr la dièm séri, ll st cr altré pisq l argmt d csis rst tr t / ( ( ( Pis : cs A va l trm gééral v d la séri s écrit cr : a b, avc a cvrgt d fait d critèr spécial, t b abslmt cvrgt car d trm gééral égligabl dvat cli d séri abslmt cvrgt, dc cvrgt Atrmt dit, la séri prpsé cvrg Pr la trisièm séri, ll st altré à partir d rag, t : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( L trm gééral d la séri s écrit à va : a b, avc a cvrgt d fait d critèr spécial, t b abslmt cvrgt avc éqivalt Dc la séri cvrg, t : ( ( ( ( ( Vrai-fa 8 ( cvrg ( cvrg : implicati vrai car si cvrg, ( td vrs t ( assi ( divrg ( divrg : implicati fass car divrg t cvrg ( cvrg,, ( cvrg : affirmati vrai car (par mpl si cvrg, alrs ( td vrs, t : ( Or st abslmt cvrgt (car à trms psitifs t cvrgt dc cvrg ( cvrgt, t :, - ( mtr l ctrmpl : (, pr : cvrgt : implicati fass cmm l Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - -

7 E fft, das c cas, l trm gééral d la dièm séri s écrit : ( ( (, t c trm gééral st la smm ds trms gééra d séri smi-cvrgt t d séri divrgt Rmarq : l implicati dvit vrai si ( st à trms psitifs, car si cvrg, alrs ( td vrs t : ~ Atr d la séri harmiq 9 O cmmc par rmarqr q : * : H H l( γ ε( (H γ ε(, t : l( ε( ε( ( st dc cvrgt d limit l( Rmarq : pt égalmt btir c résltat par mpl avc ds smms d Rima ( ( a O s svit q :,, q l pt rdémtrr par récrrc b Pis : ~, d ù la cvrgc, par cmparais d séris à ( ( trms psitifs a b c c Efi :, t : a, b, c - X ( X ( X X X X O rvit sit a smms partills pr écrir :, S ( ( D pls : H O trmi avc : S H ( H ( H, t : 8 [l( γ ε ( ] [l( γ ε ( ] [l( γ ε ( ], pis : S S 8 l( l l 8 ε ( ε ( ε (, t fialmt : lim S 8 l( Chapitr : Séris mériqs Ercics (Crrigé ds idispsabls - 7 -