COURS N 5 : n-échantillons.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "COURS N 5 : n-échantillons."

Transcription

1 COURS N 5 : -Échatillos. U -échatillo (X 1, X,..., X ) est défii par u esemble de variables aléatoires idépedates et de même loi (c'est des répétitios idépedates d'ue même expériece). O dit que les variables aléatoires sot idépedates et idetiquemet distribuées (iid). Le -échatillo va ous permettre d'effectuer des iféreces statistiques [o va pouvoir tirer des coclusios statistiques à partir d'hypothèses statistiques] sur ue populatio icoue. Cepedat, le plus souvet décrire la loi de probabilité du -échatillo e présete pas d'itérêt e soi. Ce qui ous itéresse, c'est la loi de la somme des variables aléatoires ( X i ) ou la loi de la moyee des variables aléatoires ( X= 1 X i ). I. Somme de variables aléatoires idépedates Soit S l'additio de variables aléatoires idépedates X i, de moyee E(X) et de variace Var(X). O peut utiliser les formules suivates : E S =E i=1 X i = E X i = E X i=1 S =X 1...X Var S =Var X i = Var X i = i=1 i=1 [o peut utiliser cette simplificatio pour la variace car les X i sot idépedates] [Par exemple, la somme de variables aléatoires idépedates de Beroulli doet ue loi Biomiale d'espérace p et de variace p(1 p). La somme de variables aléatoires idépedates de Poisso doe ue loi de Poisso d'espérace λ et de variace λ. La somme de variables aléatoires idépedates ormales doe ue loi ormale d'espérace µ et de variace σ².] Attetio : il e faut pas cofodre somme de variables aléatoires idépedates ( S =X 1...X ) avec ue affectatio d'u coefficiet multiplicateur pour ue variable aléatoire ( Y= X i ). [Remarque : si Y est la somme de variables aléatoires idépedates de Gauss Xi, cetrées et réduites telle que : Y= X i i=1 Alors Y suit la loi du chi à ( 1) degrés de liberté. Voir derier cours de statistiques.]

2 II. Théorème de la Limite Cetrale (TLC) ou Théorème Cetral Limite A. Défiitio Si o pred variables aléatoires X i, idépedates et idetiquemet distribuées (iid), d'espérace E(X) et de variace Var(X), alors «quelque soit la loi de X, la loi de S coverge toujours vers ue loi de Gauss quad ted vers l'ifii.» S suit alors ue loi ormale, d'espérace E(X) et de variace Var(X) {S ~ N[E(X); Var(X)]} C'est ue loi approchée, qui est meilleure quad est grad. B. Coditios d'applicatio du TLC 1. Si X est cotiue Si X est cotiue, l'approximatio gaussiee est raisoable si 30. Si X est biaire Si X est biaire [deux valeurs possibles pour l'expériece aléatoire], l'approximatio gaussiee est raisoable si p ET p 1 p5 Remarque : il existe deux approximatios pour la loi Biomiale : O peut approximer la loi Biomiale par ue loi Normale, par l'itermédiaire du TLC, si p ET p 1 p5. O peut approximer la loi Biomiale par ue loi de Poisso, si p est petit et si est grad (o parle de loi des évéemets rares). [O utilise esuite la loi Normale comme o sait le faire pour résoudre les problèmes].

3 III. Moyee de variables aléatoires A. Défiitio Soit variables aléatoires X i, idépedates et idetiquemet distribuées, de moyee µ et de variace σ². (X 1 + X X ) M sera la moyee de ce -échatillo si elle est caractérisée par la formule suivate : M est ue VARIABLE ALEATOIRE. M = S = X 1...X m est ue VALEUR PARTICULIERE que pred M sur u -échatillo particulier. Remarque : ue proportio est ue moyee. E effet, mesurer ue proportio, c'est compter les évéemets sur répétitios d'ue expériece aléatoire, et les rapporter aux ombres de répétitios. B. Espérace de la moyee d'u -échatillo M = S EM =E S = ES ES =E X 1... X =E X 1 E...E X = E X Car tous les X i sot équidistribués [et doc ot la même espérace E(X)] ES E X = =E X d'où : E M =E X

4 C. Variace de la moyee d'u -échatillo M = S VarM =Var S = ES ² VarS =Var X 1... X =Var X 1 Var...Var X = σ² Car tous les X i sot équidistribués et INDEPENDANTS [et doc ot la même variace σ²] VarS = σ² = σ² ² ² D'où : VarM = D. Loi de la moyee des variables aléatoires 1. Loi de la moyee de variables aléatoires gaussiees idépedates Soit X i des variables aléatoires gaussiees idépedates d'espérace µ et de variace σ². «Toute combiaiso liéaire de variables aléatoires gaussiees est ue variable aléatoire gaussiee» doc M suit ue loi ormale. O a vu que Das ce cas, o a EM =E X EM =E X=µ O a vu que VarM = Das ce cas, o a VarM = = σ² Doc M suit ue loi ormale d'espérace µ et de variace σ² [M ~ N (µ ; σ² C'est ue loi exacte de M (il 'y a pas d'approximatio). )]

5 . Loi de la moyee de variables aléatoires o gaussiees (idépedates) Soit X i des variables aléatoires idépedates d'espérace E(X) et de variace Var(X). O utilise le TLC : «quelque soit la loi de X, la loi de M coverge toujours vers ue loi de Gauss quad ted vers l'ifii.» [O rappelle que pour les variables aléatoires cotiues, il faut que 30 et pour les variables aléatoires biaires, il faut que p ET p 1 p5 ] Doc M suit ue loi ormale d'espérace E(X) et de variace [M ~ N (E(X) ; Var X )] VarX C'est ue loi approchée de M (et cette approximatio est meilleure pour des valeurs de élevées, car la variace sera d'autat plus petite que le sera grad). IV. Itervalle de pari (ou de fluctuatio) A. Défiitio O appelle itervalle de pari, de iveau 1 α (ou au risque α) de X (variable aléatoire), l'itervalle cetré sur l'espérace de X pour lequel Pa Xb=1α Aisi, l'itervalle de pari s'écrit : IP 1α X=[ µ±ε α σ]=[ µε α σ ; µε α σ] [O peut aussi remplacer σ par, c'est la même chose!] Remarque : Gééralemet, o fait des itervalles de Pari de iveau 95%, ou de risque 5%, et l'ε α correspodat est de 1,960 [voir formulaire]. O arrodit cette valeur à et o a : IP 95 X=[ µ±σ]=[ µσ ; µσ]

6 B. Largeur de l'itervalle de pari de iveau 95% La largeur de l'itervalle de pari, otée gééralemet l, est défiie par la différece etre la bore supérieure de l'itervalle et la bore iférieure de l'itervalle : A partir de cette défiitio, o a : l = bore supérieure bore iférieure l=ε α σ C. Précisio de l'itervalle de pari de iveau 95% La précisio d'u itervalle de pari correspod à l'écart à la moyee. Elle est défiie par la relatio : précisio=ε α σ Remarque : Pour les itervalles de pari de moyee de variables aléatoires, qui a pour écart-type VarX o a : IP 95 M =[µ± ]=[µ Var X ; µ Var X ] Aisi, o va pouvoir détermier la taille du -échatillo écessaire pour costituer ue certaie largeur, ou ue certaie précisio, d'itervalle de pari souhaitée. O partat de (pour u itervalle de pari de iveau 95%), o arrive l= mathématiquemet à : = l Pour la précisio, o a : = précisio Ce documet, aisi que tous les cours P1, sot dispoibles gratuitemet sur

COURS N 6 : Estimations

COURS N 6 : Estimations COURS N 6 : Estimatios O peut rappeler que les biostatistiques ot pour objectif de predre e compte la variabilité iteridividuelle, de résumer et décrire des doées et de comparer des échatillos. Nous avos

Plus en détail

Estimation de paramètres

Estimation de paramètres CHAPITRE 8 Estimatio de paramètres 1. Distributio des moyees des échatillos Das ce chapitre, ous étudieros commet est distribué la moyee de tous les échatillos de taille possibles d ue certaie populatio.

Plus en détail

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance Chapitre 5 Itroductio aux théorèmes limites et aux itervalles de cofiace Objectifs du chapitre. Savoir approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale. 2. Savoir approcher ue loi e appliquat

Plus en détail

Statistiques inférentielles. Introduction. Exemples. Définition (Échantillon aléatoire) Définition (Statistique inférentielle) Exemple 1.

Statistiques inférentielles. Introduction. Exemples. Définition (Échantillon aléatoire) Définition (Statistique inférentielle) Exemple 1. Statistiques iféretielles Pierre-Heri WUILLEMIN Licece d Iformatique Uiversité Paris 6 Itroductio Soit ue populatio de taille N sur laquelle o observe ue propriété, dot o veut calculer moyee µ et de variace

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

1 lois usuelles. 2 Estimation. 1.1 Loi Binomiale. 1.2 Loi de Poisson. 1.3 Loi normale. 2.1 Estimation ponctuelle de la moyenne

1 lois usuelles. 2 Estimation. 1.1 Loi Binomiale. 1.2 Loi de Poisson. 1.3 Loi normale. 2.1 Estimation ponctuelle de la moyenne 1 lois usuelles 11 Loi Biomiale B(, p) q = 1 p p(x = k) = C k p k q k Espérace E(X) = p Variace : V ar(x) = pq Écart type : σ = pq 12 Loi de Poisso P(λ) : loi de Poisso de paramètre λ > 0 : X(Ω) = N λ

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

Statistiques inférentielles

Statistiques inférentielles Statistiques iféretielles LI323 Hugues Richard (otes de cours: Pierre-Heri Wuillemi) Uiversité Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire géomique des microorgaismes (LGM) Itroductio Soit ue populatio de

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Méthodes Statistiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Méthodes Statistiques UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Aée uiversitaire 2014 2015 L2 Écoomie Cours de B. Desgraupes Méthodes Statistiques Séace 07: Tests de coformité II Table des matières 1 Tests sur

Plus en détail

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale. Uiversité Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 10 (semaie du 2 au 6 décembre 2013 Covergece e loi. Théorème de la limite cetrale. Covergece e loi 1. Soiet (X N ue

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

Echantillon : Collection d'individus prélevés dans la population statistique.

Echantillon : Collection d'individus prélevés dans la population statistique. SONDAGE (ECHANTILLONNAGE) POPULATION STATISTIQUE N idividus possédat ue modalité yi de la (ou des) variable(s) y ( i N) PARAMETRES valeur cetrale dispersio corrélatio µ σ² ρ moyee variace coef. corr. ECHANTILLON

Plus en détail

STATISTIQUES - ESTIMATION

STATISTIQUES - ESTIMATION STATISTIQUES - ESTIMATION I Echatilloage et estimatio : itroductio O se situe ici das 2 domaies des statistiques qui sot ceux de l «échatilloage» et de l «estimatio». Ces 2 domaies ot des cotextes d applicatio

Plus en détail

LES MOINDRES CARRÉS. Table des matières. 1. Justification de la méthode des moindres carrés

LES MOINDRES CARRÉS. Table des matières. 1. Justification de la méthode des moindres carrés LES MOINDRES CARRÉS OLIVIER CASTÉRA Résumé. La méthode des moidres carrés repose sur u fodemet probabiliste sérieux. Table des matières 1. Justificatio de la méthode des moidres carrés 1 2. Caractéristiques

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

E i, alors P (E) = lim. i=1 P (E i ) i=1 P (B i )P (A B i ) P (A T ) = n. a f X(x)dx (cas continu)]. d k dt k X (t) t=0

E i, alors P (E) = lim. i=1 P (E i ) i=1 P (B i )P (A B i ) P (A T ) = n. a f X(x)dx (cas continu)]. d k dt k X (t) t=0 Formulaire Probabilités et statistique NE RIEN ECRIRE SUR CES FEUILLES SVP p. Calcul de probabilités. Axiomes (a) Positivité: P (E) 0, (b) Normalisatio: P (Ω) =, (c) Addivité: Si E F = Ø, alors P (E F

Plus en détail

1 Lois des grands nombres. 2 Théorème central-limite. 3 Estimation ponctuelle à partir d échantillons. 4 Biais dans les estimations

1 Lois des grands nombres. 2 Théorème central-limite. 3 Estimation ponctuelle à partir d échantillons. 4 Biais dans les estimations Pla du cours 2 RFIDEC cours 2 : Échatillos, estimatios poctuelles Christophe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Lois des grads ombres 2 Théorème cetral-limite 3 Estimatio poctuelle à partir d échatillos

Plus en détail

Calcul des probabilités 2 (M-2.1)

Calcul des probabilités 2 (M-2.1) Calcul des probabilités (M-.) I. Probabilités sur u esemble fii. Défiitios Défiitio Ue expériece aléatoire est ue expériece dot il est impossible de prévoir l issue (mais o coaît toutes les issues possibles)

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation. Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

Plus en détail

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Variables aléatoires Philippe Jamig Istitut Mathématique de Bordeaux PhilippeJamig@gmailcom http://wwwmathu-bordeaux1fr/ pjamig/ X variable aléatoire

Plus en détail

Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2

Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2 Master Eseec Statistique pour l expertise - partie2 Christia Laverge Uiversité Paul Valéry - Motpellier 3 http://moodle-miap.uiv-motp3.fr http://www.uiv-motp3.fr/miap/es (UPV) Eseec 1 / 57 Lois limites

Plus en détail

Résumé de statistique inductive

Résumé de statistique inductive Uiversité de Bourgoge Faculté de Médecie et de Pharmacie Résumé de statistique iductive NB : les iformatios coteues das ce polycopié e fot e aucu cas office de référece pour le cocours, il s agit uiquemet

Plus en détail

Chapitre II: Notions sur les fautes et les erreurs.

Chapitre II: Notions sur les fautes et les erreurs. Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs. Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs.. Gééralités Mesurer c'est l'actio de comparer ue gradeur (quatité) par rapport à ue gradeur de même

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance II - Estimatio d'u paramètre par itervalle de cofiace 1 ) - Gééralités sur la costructio O veut estimer u paramètre (moyee, proportio ) d'u caractère das ue populatio P. Ue estimatio poctuelle à partir

Plus en détail

Quelques notions élementaires de probabilités et statistiques

Quelques notions élementaires de probabilités et statistiques Chapitre 6 Quelques otios élemetaires de probabilités et statistiques 6.1 Probabilités U uivers Ω est u esemble modélisat les réalisatios possibles d ue expériece. U esemble A P(Ω) modélise la otio d évéemet

Plus en détail

Estimation par intervalle de confiance

Estimation par intervalle de confiance 62 CHAPITRE 12 Estimatio par itervalle de cofiace 1. Estimatio de la moyee par itervalle de cofiace 1.1. Calcul de la marge d erreur. O veut maiteat faire ue estimatio par itervalle de cofiace de la moyee

Plus en détail

Annexe I. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur un exemple.

Annexe I. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur un exemple. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur u exemple. Aexe I Test de l efficacité d u remède sur des malades atteit d u rhume. p 0 : probabilité de guérir das les huit jours avec u placebo p 1 : probabilité

Plus en détail

LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE

LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE LA LOI DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE MATTHIEU KOWALSKI 1. INTRODUCTION La démarche statistique cosiste à observer ue expériece aléatoire das le but de mieux coaître ses caractéristiques.

Plus en détail

P(X> ) = f(..) + f(...).. MAIS si on ne sait pas le max à 1-P(X< )* P(X< ) = f(..) + f( ).. Type de donnée Ex Main Excel

P(X> ) = f(..) + f(...).. MAIS si on ne sait pas le max à 1-P(X< )* P(X< ) = f(..) + f( ).. Type de donnée Ex Main Excel Les lois discrètes Réalisatios déombrables Poits portet probabilités P(X> ) = f(..) + f(...).. MAIS si o e sait pas le max à -P(X< )* P(X< )= f(..) + f(...).. P(X> ) = *-P(X< ) = F( ) è soit f( ) f( )

Plus en détail

Éléments de probabilité.

Éléments de probabilité. Élémets de probabilité.. Gééralités Les probabilités s'occupet de phéomèes aléatoires, c'est à dire qui sot liés au hasard. Défiitio : O appelle expériece aléatoire, ue expériece dot les résultats, o tous

Plus en détail

Probabilités générales

Probabilités générales Chapitre 4 termiale s Probabilités géérales Les probabilités (rappels) : ) Quelques otios de vocabulaire : Nous allos étudier selo quelle mesure u fait proveat du hasard peut être prévisible a) Ue expériece

Plus en détail

ANOVA avec un facteur aléatoire

ANOVA avec un facteur aléatoire Chapitre 7 ANOVA avec u facteur aléatoire Jusqu à maiteat, o a supposé que les modalités du facteur étudié ot été choisies parce qu elles étaiet itrisèquemet itéressates. Le modèle à effets fixes porte

Plus en détail

Utilisation en modélisation. Régression linéaire

Utilisation en modélisation. Régression linéaire Utilisatio e modélisatio Régressio liéaire La régressio est l ue des otios basiques de la statistique et de l aalyse des doées. Gééralemet, le problème cosiste à décrire la dépedace etre deux variables

Plus en détail

Lois normales et autres lois dérivées

Lois normales et autres lois dérivées Lois ormales et autres lois dérivées - Lois ormales a) - Défiitio O dit qu'ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale (ou gaussiee) de paramètres et, otée N ( ; ), si elle admet pour desité la foctio

Plus en détail

Biostatistiques Sciences FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke

Biostatistiques Sciences FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke www.fudp.ac.be/biostats Module 80 80 DISTRIBUTION T DE STUDENT...2 80.1 UTILITE...2 80.2 PRINCIPE...2 80.3 TABLES ET GRAPHIQUES...3 80.4 EXEMPLE...5 17/10/08 Module 80-1 80 Distributio t de Studet 1 80.1

Plus en détail

Estimations. Les Moyennes des échantillons suivent une loi normale : = m et d' écart - type σ X

Estimations. Les Moyennes des échantillons suivent une loi normale : = m et d' écart - type σ X Estimatios Problématique. A partir d'observatios faites sur u échatillo, o se propose de tirer des coclusios sur la populatio toute etière. Aisi cotrairemet à la logique déductive, qui va du gééral au

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

MAP 311: Aléatoire PC 8 Marc Lelarge 20 juin 2016

MAP 311: Aléatoire PC 8 Marc Lelarge 20 juin 2016 MAP 3: Aléatoire PC 8 Marc Lelarge 0 jui 06 Exercice Soit (X ) ue suite de v.a. idépedates et de même loi. itégrable, de moyee m et de variace σ > 0. O défiit: O suppose que X est de carré ˆm = X + + X,

Plus en détail

1 Un peu de vocabulaire

1 Un peu de vocabulaire Statistiques - Échatilloage Cours Objectifs du chapitre Passer d u mode de représetatio des doées à u autre (doées brutes, tableau d effectifs, représetatio graphique) Calculer la moyee, la médiae, les

Plus en détail

3.1 Loi de Bernouilli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Pascal (loi négative binomiale)...3

3.1 Loi de Bernouilli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Pascal (loi négative binomiale)...3 3- Lois de distributio discrètes -1 Chapitre 3 : Lois de distributio discrètes 3.1 Loi de Berouilli...1 3. Loi Biomiale...1 3.3 Loi géométrique... 3.4 Loi de Pascal (loi égative biomiale)...3 3.5 Loi hypergéométrique...4

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

i la moyenne empirique de X n n v =

i la moyenne empirique de X n n v = Corrigé Statistiques iféretielle par par Pierre Veuillez Itervalle de cofiace. Exercice Détermier ue valeur approchée de la loi de la moyee empirique : E X E X, V X V X doc X N E X, V X Exercices. Variace

Plus en détail

Variables aléatoires finies Présentation

Variables aléatoires finies Présentation Variables aléatoires fiies Présetatio. Défiitio élémetaire (tombola).... Le prix de vete d'u billet de la tombola... 3 3. Espérace mathématique d ue variable aléatoire fiie... 4 4. Variace et écart type

Plus en détail

D- Convergence de variables aléatoires

D- Convergence de variables aléatoires D-1 Notatios O cosidère ( ) N (évetuellemet (Y ) N ) ue suite de variables aléatoires défiies sur l espace probabilisé (Ω, A, ) et X (évetuellemet Y ) ue variable aléatoire défiie sur le même espace. O

Plus en détail

Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3

Tests. Chapitre 2. 1 Principe d un test Définitions Méthode générale... 3 Tests Chapitre Table des matières 1 Pricipe d u test 1 11 Défiitios 1 Méthode géérale 3 Test de coformité à u paramètre 3 1 Test de coformité à ue moyee 3 Test de coformité à ue proportio 4 3 Test d homogééité

Plus en détail

Intervalles de confiance

Intervalles de confiance Itervalles de cofiace H4 H4 Itervalles de cofiace Vocabulaire : u correspod à ue fiabilité (ou cofiace) de 95 %, u correspod à ue fiabilité (ou cofiace) de 99 % 0 ) Echatillo o exhaustif La théorie des

Plus en détail

MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2009 Date : Dimanche 15 mars 2009 de 14h00 à 17h00

MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2009 Date : Dimanche 15 mars 2009 de 14h00 à 17h00 MAT 2080 MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2009 Date : Dimache 15 mars 2009 de 14h00 à 17h00 INSTRUCTIONS 1. Détachez la feuille-réposes à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om,

Plus en détail

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees 1. 2017. Complémets e Statistique Préparatio au Capes Uiversité de Rees 1 Itervalles de fluctuatios et itervalles de cofiace Table des matières

Plus en détail

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2 BTS DOMOTIQUE Échatilloage 2008-2010 Échatilloage Table des matières I Rappels sur les lois usuelles 2 II Approximatios de la loi biomiale 2 II.1 Approximatio par la loi de poisso................................

Plus en détail

ESTIMATION Exercices

ESTIMATION Exercices ESTIMATION Exercices EERCICE : Les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot défiies sur u espace probabilisable, AP, Soit a u réel strictemet positif et ue variable aléatoire de loi uiforme

Plus en détail

IREM Martine Quinio. 5 février 2013

IREM Martine Quinio. 5 février 2013 : 1 IREM 2013 Martie Quiio 5 février 2013 1 La loi de Gauss, ou loi ormale Itroductio : Lire court article C.Villai das Le Mode du 14-15/12 : il compare le traitemet médiatique boso de Higgs et rats OGM

Plus en détail

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance

Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees 1. 2015. Complémets e Statistique Préparatio au Capes Uiversité de Rees 1 Itervalles de fluctuatios et itervalles de cofiace Table des matières

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Préparation au Capes de Mathématiques Probabilités - Problème sur les médianes - Correction

Préparation au Capes de Mathématiques Probabilités - Problème sur les médianes - Correction Préparatio au Capes de Mathématiques Probabilités - Problème sur les médiaes - Correctio Prélimiaires Soit X ue v.a.r. de type 1 et F sa f.d.r.. O pose, pour tout de Z, p = P (X = ) et P = k p. O a : Z

Plus en détail

Propriétés des estimateurs

Propriétés des estimateurs Propriétés des estimateurs Prof: Aaro Courville Email: Office: aaro.courville@umotreal.ca 3253 Pav. Adre Aisestadt 1 Estimateurs poctuels Retour à estimateurs poctuels (estimatio du maximum de vraisemblace),

Plus en détail

Résumé : Probabilités Niveau : Bac Sciences de l informatique Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber

Résumé : Probabilités Niveau : Bac Sciences de l informatique Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber Résumé : Niveau : Bac Scieces de l iformatique Réalisé par : Prof. Bejeddou Saber Tableau récapitulatif sur le déombremet: Type du tirage : Simultaé Successif sas remise Successif avec remise U tirage

Plus en détail

I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.

I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R. Chapitre 5 VARIABLES ALEATOIRES LOIS FONDAMENTALES Objectifs : o o o Défiir la otio de variable aléatoire das les différets cas d uivers. Détermier la loi de probabilité d ue variable aléatoire et calculer

Plus en détail

LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :

LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne : I. Itroductio. LOIS NORMALES. Voici quelques exemples de courbes proveat de la vie quotidiee : La répartitio du QI das la populatio Le poids d ue populatio de chatos Répartitio des coscrits e 1907 Age

Plus en détail

Divers exercices de probabilité

Divers exercices de probabilité Divers exercices de probabilité Traiter e priorité les quatre premiers exercices de chaque sectio. 1 Probabilité Exercice 1.1 Mo voisi a deux efats. 1- Le plus jeue est ue fille, quelle est la probabilité

Plus en détail

Cours sur les lois usuelles

Cours sur les lois usuelles Cours sur les lois usuelles. Lois de probabilités discrètes Loi de Berouilli Cotexte d applicatio : ue expériece dot le résultat est succès ou échec, u idividu qui possède ou pas ue caractéristique Défiitio

Plus en détail

Espérance et variance d une variable aléatoire. x Total p(x=x) 1/4 2/4 1/4 1

Espérance et variance d une variable aléatoire. x Total p(x=x) 1/4 2/4 1/4 1 Espérace et variace d ue variable aléatoire Variable aléatoire Ue variable aléatoire X est ue correspodace etre u esemble de valeurs xi (e.g., le ombre de garços das des familles de efats) et la probabilité

Plus en détail

CORRIGE DES EXERCICES : Distributions d'échantillonnage - Intervalles de variation

CORRIGE DES EXERCICES : Distributions d'échantillonnage - Intervalles de variation U.F.R. S.P.S.E. Licece de psychologie L3 PLPSTA0 Bases de la statistique iféretielle UNIVERSITE PARIS X NANTERRE CORRIGE DES EXERCICES : Distributios d'échatilloage - Itervalles de variatio Exercice 1

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque

Plus en détail

A RETENIR TERMINALE ES

A RETENIR TERMINALE ES A RETENIR TERMINALE ES Ce documet est destié à "résumer" le cours de termiale. Il e préted pas coteir tout ce que vous devez savoir pour réussir l épreuve. Il est coçu pour que vous puissiez l utiliser

Plus en détail

B E et Bi Bj pour i j et si A est un evenement de E alors p(a) p(a B ) p(a B )... p(a B ) p(b ) p(a /B ) p(b ) p(a /B )... p(b ) p(a /B ).

B E et Bi Bj pour i j et si A est un evenement de E alors p(a) p(a B ) p(a B )... p(a B ) p(b ) p(a /B ) p(b ) p(a /B )... p(b ) p(a /B ). Rappel : (E,p(E),p) est u espace probabilisé fii. O a: p(e), p( ), p(a) p(a), p(a B) p(a) p(b) p(a B) Probabilité coditioelle : A et B sot deux évèemets tels que p(b). p(a B) p(a / B) et doc p(a B) p(b)

Plus en détail

Techniques d enquête

Techniques d enquête Sodage aléatoire simple Techiques d equête Exercice 1 Sur les 500 élèves de M1 de l Uiversité d Auverge, o veut coaître la proportio P qui souhaitet faire u Master à Clermot-Ferrad. Parmi les 150 élèves

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques CHAPITRE 2 : Estimatio o-paramétrique 1. Estimateurs empiriques Soit u échatillo i.i.d. de durées T i i1,..., de foctio de survie S Défiitio: L estimateur empirique de la foctio de survie est S x 1 i1

Plus en détail

I. Probabilités : petit bilan de 2 nde

I. Probabilités : petit bilan de 2 nde ère S FICHE Variables aléatoires I. Probabilités : petit bila de de EXECICE TYPE (voir évaluatio diagostique d etrée e ère S) Eocé O fait tourer ue roue équilibrée comme ci-dessous séparées e 8 secteurs

Plus en détail

Notes de cours : ajustement linéaire. 1 Cadre : mesure conjointe de deux caractères

Notes de cours : ajustement linéaire. 1 Cadre : mesure conjointe de deux caractères Documet dispoible à http://www.uiv-motp3.fr/miap/es/aes/l1/optiomath. AES optio mathématique Aée 2004 2005 Notes de cours : ajustemet liéaire 1 Cadre : mesure cojoite de deux caractères O se place das

Plus en détail

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!.

PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!. PROBABILITÉS E 654, Blaise Pascal (63 ; 66) etretiet avec Pierre de Fermat (60 ; 665) des correspodaces sur le thème des jeux de hasard et d'espérace de gai qui les mèet à exposer ue théorie ouvelle :

Plus en détail

2 Variables aléatoires indépendantes

2 Variables aléatoires indépendantes -stat_ii.b 7 Variables aléatoires idépedates. Variables idépedates Exemple de deux variables idépedates O lace quatre fois ue pièce de moaie. O ote X = ombre de piles obteus lors des deux premiers lacers,

Plus en détail

Exercice 1 (10 points)

Exercice 1 (10 points) Devoir surveillé 2 L usage de la calculatrice est autorisé La qualité de la présetatio et de la rédactio de la copie sera prise e compte das so évaluatio Sauf metio du cotraire, toute répose doit être

Plus en détail

Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités T.S Probabilités coditioelles L 5 I Expériece aléatoire - modélisatio - lagage des probabilités Ue expériece aléatoire est ue expériece liée au hasard. Les mathématiques itervieet pour apporter u modèle

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité BACCALAUREAT GENERAL Bac blac 4 Mercredi 7 Mai 4 MATHEMATIQUES Série : S Eseigemet Obligatoire ou de Spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 7 ou 9 L utilisatio de la calculatrice est autorisée

Plus en détail

Éléments de correction de la feuille d exercices # 3

Éléments de correction de la feuille d exercices # 3 Uiversité de Rees L SVE Probabilités et statistiques aée 25-26 Élémets de correctio de la feuille d exercices # 3 Exercice Exemple de loi discrète Soit X ue variable aléatoire discrète preat les valeurs

Plus en détail

Terminale S Chapitre 10 «Loi Normale» 21/03/2013

Terminale S Chapitre 10 «Loi Normale» 21/03/2013 Termiale S Chapitre «Loi Normale» /3/3 I) Itroductio O fait ue étude statistique de la taille des idividus d'ue populatio. Das chaque cas, la taille moyee est de 7 cm, avec u écart type de cm. O trace

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

TUTORAT UE Biostatistiques Correction du concours blanc 03/11/2011

TUTORAT UE Biostatistiques Correction du concours blanc 03/11/2011 FACULTE De PHARMACIE TUTORAT UE4 2011-2012 Biostatistiques Correctio du cocours blac 03/11/2011 QCM 1 : b, c, d a Faux : P(AUB=P(A+P(B=0,55 et P(A B=Ø. b Vrai c Vrai d Vrai : C 5 - C 5 32 28 (ombre de

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Distributions d échantillonage

Distributions d échantillonage Chapitre 3 Distributios d échatilloage 3.1 Gééralités sur la otio d échatilloage 3.1.1 Populatio et échatillo O appelle populatio la totalité des uités de importe quel gere prises e cosidératio par le

Plus en détail

CHAPITRE 4 Paramètres d'une série statistique

CHAPITRE 4 Paramètres d'une série statistique Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques CHAPITRE 4 Paramètres d'ue série statistique A) Diverses sortes de séries statistiques 1) Défiitio Ue série statistiques est u esemble de ombres, représetat

Plus en détail

Estimation paramétrique

Estimation paramétrique Retour au pla du cours Soit Ω, A, P u espace probabilisé et X ue v.a. de Ω, A das E, E. La doée d u modèle statistique c est la doée d ue famille de probabilités sur E, E, {P θ, θ Θ}. Le modèle état doé,

Plus en détail

Semaine septembre

Semaine septembre B - 205-206 Programmes de Khôlles Semaie 2-28 septembre Logique et esembles Quatificateurs, absurde, cotraposée Esembles, sous-esembles, P(E), relatios esemblistes. Nombres Récurrece : simple, double,

Plus en détail

C.1- Lois discrètes- Loi uniforme

C.1- Lois discrètes- Loi uniforme C- Lois usuelles C.1- Lois discrètes- Loi uiforme Loi d ue variable aléatoire X preat ses valeurs das {1,,} avec la même probabilité: 1 P ( X = x ) = x {1,,... } Ex : E=«lacer d u dé régulier» X=uméro

Plus en détail

Éléments de probabilités

Éléments de probabilités Chapitre 1 Élémets de probabilités 1.1 Notio d expériece aléatoire Défiitio 1 Ue expériece, dot o coait les issues possibles, est appelé expériece aléatoire s il est impossible de savoir à l avace quelle

Plus en détail

Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé

Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé EXERCICE 1 Partie A Cetres étragers 13. Eseigemet spécifique. Corrigé 1) La durée de vie moyee d ue vae est l espérace de la variable aléatoire T. O sait que l espérace de la loi expoetielle de paramètre

Plus en détail

STATISTIQUE INFERENTIELLE TRAVAUX DIRIGES

STATISTIQUE INFERENTIELLE TRAVAUX DIRIGES Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle STATISTIQUE INFERENTIELLE TRAVAUX DIRIGES C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 1 Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle EXERCICE 1: Ue populatio

Plus en détail

ANOVA Analyse de la Variance

ANOVA Analyse de la Variance Chapitre 8 ANOVA Aalyse de la Variace. Obectif de la méthode Chap 8.. Obectif de la méthode. Approche ituitive 3. Décompositio de la variace 4. ANOVA: le test et le modèle statistique sous-acet O s itéresse

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Corrigé

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Corrigé Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 4 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Aucue justificatio était demadée das cet exercice.. Répose b. : 4e i π Le ombre i a pour écriture

Plus en détail

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale www.mathselige.com STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces

Plus en détail

Séance 2 : Estimateurs convergents, non biaisés et exhaustifs.

Séance 2 : Estimateurs convergents, non biaisés et exhaustifs. Exercice Séace 2 : Estimateurs covergets, o biaisés et exhaustifs. Soiet les variables aléatoires X i i =,..., i.i.d. Motrez que S 2 = X i X 2 est u estimateur o biaisé de σ 2, où σ 2 = V ar[x ]. O utilise

Plus en détail

IICT BAS еissn: Lecture Notes in Computer Science and Technologies. Statistique inférentielle. Vera Angelova. eisbn:

IICT BAS еissn: Lecture Notes in Computer Science and Technologies. Statistique inférentielle. Vera Angelova. eisbn: IICT BAS еissn: 367-8666 Lecture Notes i Computer Sciece ad Techologies Statistique iféretielle Vera Agelova eisbn: 978-619-730-00-8 The series Lectures Notes i Computer Sciece ad Techologies of the Istitute

Plus en détail

Plan du cours. Rappels de probabilité. Axiomes des probabilités. Définition de la probabilité

Plan du cours. Rappels de probabilité. Axiomes des probabilités. Définition de la probabilité Pla du cours Rappels de probabilité Défiitios Axiomes Variable aléatoire Foctio de répartitio Momets R. Flamary, R. Herault, A. Rakotomamojy 9 octobre 4 Exemples de lois Loi uiforme Loi ormale Loi uiforme

Plus en détail

CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEANCE DE TD 7

CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEANCE DE TD 7 CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEANCE DE TD 7 Exercice 1 1. Il s agit de doées groupées. E preat comme cetres des classes -0,5 ; 0,5 ; 1,5 et,5 o obtiet : x i x i 10 (-0,5) +... + 10,5 40 x i x i 10 (-0,5)

Plus en détail

Chapitre 1 : Statistique descriptive univariée

Chapitre 1 : Statistique descriptive univariée Biostatistiques Licece Chapitre : Statistique descriptive uivariée Itroductio Statistique : esemble de méthodes scietifiques destiées à la collecte, la présetatio et l aalyse de doées. Jeux de doées Applicatio

Plus en détail

Statistique inférentielle I - Estimation

Statistique inférentielle I - Estimation Statistique iféretielle I - Estimatio Nathalie Cheze July 9, 2007 Itroductio. Notio d échatillo Soit u esemble de taille N, appelé populatio. O veut étudier la populatio relativemet à u caractère statistique

Plus en détail

TD 4 : Variables aléatoires discrètes

TD 4 : Variables aléatoires discrètes MA40 : Probabilités TD 4 : Variables aléatoires discrètes Exercice Soit N u etier aturel supérieur ou égal à.. Motrer les égalités suivates : N k k N N + ) N k k N N + ) N + ). Ue ure cotiet ue boule blache

Plus en détail