Chapitre 6 Matrices. descend! Table des matières

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1 descend! Chapitre 6 Matrices Version du à 06:15 Table des matières 1 Matrices de format n p 2 Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K 3 Produit matriciel 4 Matrices carrées 5 Matrices carrées inversibles 6 Trace d une matrice carrée 7 Transposée d une matrice 8 Matrices et applications linéaires 9 Rang d une matrice Notation : Dans tout ce document, K désigne un corps (commutatif 1

2 1 Matrices de format n p Définition 1 (Matrice de format n p 1 Une matrice de format n p à coefficients dans K est un tableau rectangulaire d éléments de K possédant n lignes et p colonnes 2 Une matrice de format n p à coefficients dans K peut donc s écrire a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np où a i j désigne l élément de K situé sur la i -ème ligne et la j -ème colonne de la matrice, pour tout (i, j 1,n 1, p 3 La matrice représentée au 2 sera parfois simplement notée ( a i j si son format est précisé par ailleurs Définition 2 (Adresse 1 Soit A une matrice de format n p à coefficients dans K Soit (i, j 1,n 1, p L élément de K situé sur la i -ème ligne et la j -ème colonne de A est appelé coefficient de A d adresse (i, j et est noté [A] i j 2 Si A = ( a i j est une matrice de format n p à coefficients dans K, alors par définition [A]i j = a i j pour tout (i, j 1,n 1, p Définition 3 (Ensemble M n,p (K L ensemble de toutes les matrices de format n p à coefficients dans K est noté M n,p (K 2 Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K Définition 4 (Addition de deux matrices de format n p Soient A = ( a i j Mn,p (K et B = ( b i j Mn,p (K La matrice A + B est la matrice de format n p à coefficients dans K, dont le coefficient d adresse (i, j est a i j + K b i j pour tout (i, j 1,n 1, p Définition 5 (Multiplication d une matrice de format n p par un scalaire Soit A = (a i j M n,p (K Soit λ K La matrice λa est la matrice de format n p à coefficients dans K, dont le coefficient d adresse (i, j est λ K a i j pour tout (i, j 1,n 1, p Théorème 1 (Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K L ensemble M n,p (K munit des opérations + : M n,p(k M n,p (K M n,p (K (A,B A + B est un K-espace vectoriel et : K M n,p(k M n,p (K (λ, A λa 2

3 Théorème 2 (Base canonique de M n,p (K Pour tout (i, j 1,n 1, p, soit E i j M n,p (K la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d adresse (i, j qui vaut 1 Alors (E i j (i,j 1,n 1,p est une base de M n,p (K, appelée base canonique Exercice 1 Soit A = (a i j M n,p (K Décomposer A sur la base canonique de M n,p (K Corollaire 1 (Dimension de M n,p (K Le K-espace vectoriel M n,p (K est de dimension finie et dim(m n,p (K = np 3 Produit matriciel Définition 6 (Produit matriciel Soient A = ( a i j Mn,p (K et B = ( b i j Mq,r (K 1 Le produit matriciel de A par B est défini si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, ie si p = q 2 Si le produit matriciel de A par B est défini (donc si p = q, alors le produit matriciel de A par B, noté AB, est une matrice de format n r 3 Si le produit matriciel de A par B est défini (donc si p = q, alors le coefficient d adresse (i, j de AB est p a ik b k j = a i 1 b 1i + a i 2 b 2j + a i 3 b 3j + + a i p b p j k=1 pour tout (i, j 1,n 1,r Autrement dit, nous avons les identités suivantes ( p (a AB = a ik b k j k=1 p (b (i, j 1,n 1,r, [AB] i j = [A] ik [B] k j k=1 Théorème 3 (Propriétés du produit matriciel 1 Associativité (A,B,C M n,p (K M p,q (K M q,r (K, (ABC = A(BC Les parenthèses n influant pas sur le résultat, on note plus simplement ABC la matrice (ABC = A(BC 2 Distributivité à gauche 3 Distributivité à droite (A,B M n,p (K 2, C M p,q (K, (A + BC = AC + BC A M n,p (K, (B,C M p,q (K 2, A(B +C = AB + AC 4 Commutativité de la multiplication et de la mutliplication par un scalaire A M n,p (K, B M p,q (K, λ K, (λab = A(λB = λ(ab 3

4 4 Matrices carrées Définition 7 (L ensemble M n (K On note M n (K l ensemble des matrices carrées de format n n à coefficients dans K On a donc M n (K := M n,n (K Définition 8 (Matrice identité On note I n la matrice de M n (K, appelée matrice identité, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ses coefficients diagonaux, tous égaux à 1 En d autres termes pour tout (i, j 1,n 2 [I n ] i j = 1 si i = j 0 si i j Théorème 4 (Caractère neutre pour le produit de la matrice identité A M n,p (K, AI p = A et I n A = A Définition 9 (Puissance d une matrice carrée Soit A M n (K Si s N, alors on définit A s par I n si s = 0 A s = A A A A }{{} si s 1 s fois Théorème 5 (Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent Soient A et B deux matrices de M n (K qui commutent, ie telles que AB = B A Alors pour tout s N, on a ( ( s (A + B s s s = A k B s k s = A s k B k k k k=0 k=0 5 Matrices carrées inversibles Définition 10 (Matrice carrée inversible Soit A M n (K La matrice A est dite inversible s il existe B M n (K tel que AB = I n = B A L ensemble des matrices inversibles de M n (K est noté GL n (K Théorème 6 (Inverse d une matrice carrée inversible Si A M n (K est inversible, alors la matrice B M n (K vérifiant AB = I n = B A est unique On la nomme matrice inverse de A et on la note A 1 4

5 Remarque : Si A M n (K est inversible alors il découle de la définition de la matrice inverse A 1 de A A A 1 = I n = A 1 A Théorème 7 ((GL n (K, est un groupe 1 Pour tout (A,B GL n (K 2, AB GL n (K et (AB 1 = B 1 A 1 En particulier, la multiplication sur M n (K induit une loi de composition interne (noté e également sur GL n (K 2 (GL n (K, est un groupe dont le neutre est I n Remarques 1 I 1 n = I n 2 Pour tout A GL n (K, ( A 1 1 = A Théorème 8 (Affaiblissement de la condition d inversibilité Soit A M n (K 1 S il existe B M n (K telle que AB = I n, alors A est inversible et A 1 = B 2 S il existe B M n (K telle que B A = I n, alors A est inversible et A 1 = B 6 Trace d une matrice carrée Définition 11 (Trace n Soit A M n (K La trace de A est le scalaire Tr(A = [A] kk, ie Tr(A est la somme des coefficients diagonaux de A k=1 Théorème 9 (Propriétés de la trace 1 Linéarité (λ 1,λ 2 K 2, (A 1, A 2 M n (K 2, Tr(λ 1 A 1 + λ 2 A 2 = λ 1 Tr(A 1 + λ 2 Tr(A 2 2 Trace et produit A M n (K B M n (K, Tr(AB = Tr(B A 7 Transposée d une matrice Définition 12 (Transposée d une matrice Soient A = (a i j M n,p (K La matrice transposée de A est la matrice, noté e t A, de format p n, à coefficients dans K, définie par t A := (a j i En d autres termes (k,l 1, p 1,n, [ t A ] kl = [A] lk 5

6 Théorème 10 (Propriétés de la transposition 1 Caractère involutif 2 Linéarité A M n,p (K, t ( t A = A (λ 1,λ 2 K 2, (A 1, A 2 M n,p (K 2, t (λ 1 A 1 + λ 2 A 2 = λ 1 t A 1 + λ 2 t A 2 3 Transposition et produit A M n,p (K B M p,q (K, t (AB = t B t A 4 Transposition, inversibilité et inverse éventuelle A GL n (K, t A GL n (K et ( t A 1 = t ( A 1 8 Matrices et applications linéaires Notations E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie p N E = (e 1,,e p est une base de E F désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n N F = (f 1,, f n est une base de F Définition 13 (Matrice d une application linéaire relativement à des bases Soit ϕ: E F une application linéaire La matrice de ϕ relativement aux bases E et F, noté e Mat(ϕ,E,F, est la matrice n p dont la i -ème colonne est formée des coordonnées de ϕ(e i dans la base F (i 1, p Schéatiquement, on a ϕ(e 1 ϕ(e 2 ϕ(e p / f 1 Mat(ϕ,E,F = / f 2 / f n Théorème 11 (La connaissance de Mat(ϕ,E,F permet de retrouver ϕ Soit ϕ: E F une application linéaire Soit u E et soit X = les coordonnées Y = y 1 y n x 1 x p de ϕ(u dans la base F sont données par Y = Mat(ϕ,E,F X ses coordonnées dans la base E Alors 6

7 Proposition 1 (Application linéaire associée à une matrice relativement aux bases E et F Soit A M n,p (K L application App(A,E,F : E F x 1 u de coordonnées dans E ϕ(u de coordonnées A x p x 1 x p dans F est linéaire On la nomme application linéaire associée à la matrice A relativement aux bases E et F Théorème 12 (Mat(,E,F versus App(,E,F Les applications et Mat(,E,F : L (E,F M n,p(k ϕ Mat(ϕ,E,F App(,E,F : M n,p(k L (E,F A App(A,E,F sont des isomorphismes réciproques l un de l autre, ie ces deux applications sont linéaires et bijectives, et de plus ϕ L (E,F, App(Mat(ϕ,E,F,E,F = ϕ et A M n,p (K, Mat(App(A,E,F,E,F = A 7

8 Théorème 13 (Théorème fondamental sur les liens entre applications linéaires et matrices 1 Addition (a (ϕ,ψ L (E,F 2, Mat(ϕ + ψ,e,f = Mat(ϕ,E,F + Mat(ψ,E,F (b (A,B M n,p (K 2, App(A + B,E,F = App(A,E,F + App(B,E,F 2 Multiplication par un scalaire (a ϕ L (E,F, λ K, Mat(λϕ,E,F = λmat(ϕ,e,f (b A M n,p (K, λ K, App(λ A,E,F = λapp(a,e,f 3 Composée d applications linéaires et produit matriciel Soit G un K-espace vectoriel de dimension m N et soit G = (g 1,, g m une base de G (a ϕ L (E,F, ψ L (F,G, Mat(ψ ϕ,e,g = Mat(ψ,F,G Mat(ϕ,E,F (b A M n,p (K, B M m,n (K, App(B A,E,G = App(B,F,G App(A,E,F 4 Isomorphisme et application inversible On suppose ici que p = n, ie que E et F ont même dimension La matrice Mat(ϕ,E,F est donc carrée (a Soit ϕ L (E,F On a : De plus, si ϕ est un isomorphisme, on a : (b Soit A M n (K On a : De plus, si A est inversible, on a : ϕ isomorphisme Mat(ϕ, E, F inversible Mat(ϕ 1,F,E = (Mat(ϕ,E,F 1 A inversible App(A, E, F isomorphisme App(A 1,F,E = (App(A,E,F 1 9 Rang d une matrice Définition 14 (Rang d une matrice Soit A M n,p (K Soit C 1,,C p les vecteurs colonnes de la matrice A Le rang de A est défini par Rg(A = dim(vect(c 1,,C p Proposition 2 (Rang d une matrice et rang de l application linéaire canoniquement associée Soit A M n,p (K Soit ϕ A : M p,1 (K M n,1 (K X AX l application linéaire de M p,1 (K dans M n,1 (K canoniquement associée Alors Rg(A = Rg(ϕ A 8

9 Lemme 1 (Invariance du rang par composition avec un automorphisme Soit E et F des K-espaces vectoriels de dimension finie Soit ϕ L (E,F 1 Si ψ est un automorphisme de E, alors Rg(ϕ ψ = Rg(ϕ 2 Si ψ est un automorphisme de F, alors Rg(ψ ϕ = Rg(ϕ Lemme 2 (Une application linéaire de rang r peut être représentée par une matrice J(r Soit E et F des K-espaces vectoriels de dimension finie, de dimensions respectives p et n Soit ϕ L (E,F Pour tout r 1,min(n, p, on note J n,p (r la matrice de format n p décrite par blocs comme suit ( Ir 0 J n,p (r := 0 0 Il existe une base E de E et une base F de F telle que En particulier, Rg(ϕ min(n, p Mat(ϕ,E,F = J n,p (Rg(ϕ Théorème 14 (Rang d une matrice et classes d équivalences des matrices J(r Soit A M n,p (K Soit r N Rg(A = r (P,Q GL n (K GL p (K A = P J n,p (r Q Théorème 15 (Propriété du rang d une matrice 1 Majoration du rang Pour tout A M n,p (K, Rg(A n et Rg(A p 2 Rang de la transposée Pour tout A M n,p (K, Rg(A = Rg( t A 3 Rang d une matrice versus rang de l application linéaire canoniquement associée Soit A M n,p (K, Rg(A = Rg ( App(A,C an K p,c an K n 4 Critère d inversibilité pour une matrice carrée Pour tout A M n (K, A est inversible si et seulement si Rg(A = n 9

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