TP 9 Matrices et systèmes d équations linéaires

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1 I.N.S.S.E.T. Uversté de Pcrde Lcece Mths et SPI ème ée Itto à Mtl M. Mrcou TP 9 Mtrces et systèmes d équtos léres. Itroducto Ce TP trodut le clcul mtrcel sous Mtl et l résoluto d u système d équtos. Les pots suvts serot ordés : - Boucle for - Opértos sur les mtrces. Rppels Opértos mtrcelles Nous vos déà remrqué qu ue mtrce tel que : A [ m A est u tleu d élémets d u corps K ] M m L L M m O ote M m K l esemle des mtrces m sur lequel des règles de clcul s pplquet : ddto soustrcto multplcto pr u sclre permettt à cet esemle d vor ue structure d espce vectorel de dmeso m. Des règles de multplcto s pplquet églemet etre les mtrces : ue mtrce A de dmeso m peut être multplée pr ue mtrce B de dmeso p et le résultt est ue mtrce C de dmeso mp telle que : C A. B c 9 -

2 Les mtrces permettet églemet de représeter des opértos courtes de trsformto géométrque ou d ue mère plus compcte les systèmes d équtos léres Systèmes d équtos léres Sot pr eemple u système lére de équtos à coues y z : Celu-c peut uss s écrre sous forme mtrcelle :. y z. e. A. X B S le détermt du système D deta est ul lors sot ce système ps de soluto sot l des solutos multples. Ds le cs cotrre lorsque det A le système dmet ue uque soluto que l o peut oter pr dfféretes méthodes. c Méthodes de résoluto Méthode mtrcelle mtrce verse S A est l mtrce verse de A A le système A X B s écrt uss : L cossce de mtrcel drect. X A B A permet lors de clculer drectemet l soluto X pr produt Méthode des détermts règle de Crmer Cette méthode est sée sur le clcul de l mtrce verse cofcteurs : A à l de de l mtrce des 9 -

3 Il s gt lors de clculer le détermt de l mtrce oteue e remplçt ds l mtrce A du système l ère coloe pr celle des termes dépedts : N O clcule esute de l même mère : N et N L opérto est effectuée utt de fos qu l y de coloes ds l mtrce. L soluto du système est lors doée pr : X N N N D Remrque : L méthode clssque de Crmer qu repose sur le clcul de détermts écesste opértos s est le rg de l mtrce Méthode du pvot Guss-Jord L méthode du pvot est plus commode pour les systèmes deses d ordre élevé s que pour les mtrces de. Preos l eemple d u système de équtos à coues : Ds cette méthode o chost successvemet chque lge comme lge pvot le pvot étt le premer élémet o ul de l lge. O dvse lors l lge du système pr : 9 -

4 9 - O ule esute le premer terme de chcue des utres lges e retrcht à l ème lge l ère lge multplée pr etc L ème lge est mtet cosdérée comme pvot et comme l élémet pvot. O répète sur cette lge les opértos précédetes o otet lors : O cosdère esute l ème et l ème lge comme pvots ce qu doe flemet : O otet lors drectemet l soluto du système : D ue mère géérle s o pplque cette procédure u système B X A où A est ue mtrce d ordre o : A A et pus pour vrt de à o : K. K K

5 L soluto X du système résultt s écrt lors smplemet : pour K Remrques : Cette méthode écesste evro opértos de clcul S le pvot est ul l dvso est plus possle. Il fut lors permuter les coloes S le pvot est fle << les erreurs d rrod deveet mporttes et ffectet toute l sute du clcul. Il fut lors ormlser le système.. Mpulto Allez ds le répertore correspodt à votre om c:\tpmtl\votreom Créez u répertore TP9 et llez ds celu-c. Sse d ue mtrce Créez u scrpt ttulé sse.m permettt à l utlsteur près vor doé le rg de ssr u pr u les élémets de l mtrce pr ue vte dqut le uméro de lge et de coloe de l élémet à ssr. Ce scrpt dot esute ffcher l mtrce complète Testez votre scrpt sur les deu mtrces A et B suvtes : A et B Opértos élémetres Créez u scrpt ttulé operelem.m permettt de clculer et d ffcher l somme A B de deu mtrces A et B et leur produt A. B. Applquez ce scrpt u deu mtrce A et B précédetes NB : Vous pouvez utlser les formules de clcul mtrcel ou les opérteurs pproprés de Mtl plus smples 9-5

6 c Trsformtos élémetres Créez u scrpt ttulé trsfelem.m permettt de clculer et d ffcher l trsposée t A d ue mtrce A so détermt A et so verse A Applquez ce scrpt à chcue des mtrces A et B précédetes d Résoluto mtrcelle Implémetez ds u scrpt verse.m l méthode de clcul de l soluto d u système d équtos pr l méthode mtrcelle utlst l mtrce verse. Les prmètres d etrée sot les mtrces A et B du système et le prmètre de sorte est le vecteur X cotet l soluto. Détermez vec votre scrpt l soluto des systèmes suvts : y z y z et y z e Méthode de Crmer Rélsez u scrpt crmer.m qu clculer les solutos d u système d équtos léres pr l méthode de Crmer décrte précédemmet. Applquez cette résoluto u systèmes à et coues précédets f Méthode du pvot Impltez u scrpt ommée guss.m utlst l méthode du pvot pour résoudre u système d équtos ffchez le système u fur et à mesure de l résoluto Applquez cette résoluto u systèmes à et coues précédets Comprez ces dfféretes méthodes de résoluto Commet vérfer les résultts oteus?. 9-6

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