Divisibilité dans N ét Z

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1 1 Divisibilité das N ét Z I. Quelques rappels 1. L esemble des etiers aturels Propriété 01 a. Défiitio b. Stabilité 0;1;2;3;4;5;6;... est l esemble des etiers positifs ou uls. est stable par additio et multiplicatio seulemet., m, m et m 2. L esemble des etiers relatifs Propriété 02 : a. Défiitio b. Propriétés ; 5; 4; 3; 2; 1;0;1; 2; 3; 4; 5; est stable par additio, soustractio et multiplicatio seulemet., m, m, m et m Par cotre Propriété 03 : est pas stable pour la divisio. Par cotre est pas stable pour la soustractio et la divisio. Tout ombre etiers relatif, admet u opposé etier relatif c. Quelques axiomes Axiome 01 : Toute partie o vide de admet u plus petit élémet. Axiome 02 : Toute partie o vide et majorée de admet u plus grad Elémet. Axiome 03 : Toute suite d etiers aturels strictemet décroissate est statioaire à partir d u certai rag., Propriété 04 : Tout etier aturel est u etier relatif.,

2 2 II. c. Quelques axiomes Das, l axiome 01 et l axiome 03 sot faux mais par cotre l axiome 03 reste vrai. Axiome 03 bis : Toute partie o vide et majorée de grad élémet Divisibilité das 1. Multiple d u etier. O ote et m deux etiers relatifs Défiitio : admet u plus O dit que m est u multiple de si et seulemet si il existe u etier relatif k tel que m k 2. Diviseur d u etier O ote et m deux etiers relatifs avec 0 Défiitio : O dit que est u diviseur de m (ou que divise m) si et seulemet si il existe u etier relatif k tel que m k. (m est u multiple de ) Notatio : O otera m pour dire que divise m Quelques remarques :, 1, 0 et 1, admet au mois quatre diviseurs ; 1;1; 3. Propriétés sur la divisibilité. Propriété 05 Propriété 06 Propriété 07 a, b, b a b a a, b, b a et a 0 b a a, b, c, b a et a c Propriété 08 a, b, b a et Propriété 08 b c a b a b ou a b a, b, b a c, b ac

3 3 Propriété 09 a, b, c, b a et b c u, v, b au cv O dit que si b a et b c alors b divise toute combiaiso liéaire de a et de c. Propriété 10 a, b, b a c, bc ac O dit alors que q est le quotiet et r le reste de la divisio euclidiee de b par a. 2. Le divisio euclidiee das a. Théorème O ote a et b Théorème Il existe u couple uique ( qr, ) d etiers relatifs tels que a bq r avec 0 r b Remarque : r est toujours positif III. La divisio Euclidiee das et 1. La divisio euclidiee das a. Théorème O ote a et b O dit alors que q est le quotiet et r le reste de la divisio euclidiee de b par a. 3. Applicatio au chagemet de système de umératio. Théorème Il existe u couple uique ( qr, ) d etiers aturels tels que a bq r avec 0 r b E base 10 (système décimal, le système de umératio que l o utilise) les ombres s exprimet à l aide des puissaces de 10 et des chiffres 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

4 4 Théorème : Pour toutm, il existe tel que 1 2 k k k0 m a a a a a a Où la suite ( a ) est ue suite d élémets de 0;...;8;9 O peut écrire m, e base 2 (système biaire), e base 3 (système triaire), e base 16 (système hexadécimal), e base 60 (système sexagésimal : système horaire), etc La base 2 (système biaire) avec les chiffres 0 et 1, est souvet utilisé e électroique et e iformatique. (le courat passe ou e passe pas) Das le système biaire, les ombres s écrivet sous la forme : 1 2 k k k0 2 m a a a a a a Où la suite ( a ) est ue suite d élémets de 0;1 Das le système hexadécimal, les ombres s écrivet sous la forme : 1 2 k k k0 16 m a a a a a a Où la suite ( a ) est ue suite d élémets de 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9; A; B; C; D; E; F La base 16 (système hexadécimal) est souvet utilisée e iformatique(exemple : le codage des couleurs des écras). Les chiffres de ce système sot : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A; B; C; D; E; F

5 Cogruécé das Z IV. Cogruece das 1. Défiitio Défiitio O ote 2 u etier aturel et a et b deux etiers relatifs. O dit que a et b sot cogrus modulo et o ote a b [ ] si la différece a b est u multiple de ou si ( a b) 2. Propriétés O ote et ' deux etiers aturels 2 et a et b deux etiers relatifs. Propriété 01 Propriété 02 Si Propriété 03 a 0 [ ] a ' alors a b[ ] a b[ '] a b[ ] les divisios euclidiees de a et b par ot le même reste. 5 V. Cogrueces et opératios O ote a, a ', b et b ' quatre etiers relatifs quelcoques. 1. Additio. 2. Soustractio. a a' [ ] a b a' b' [ ] b b' [ ] a a' [ ] a b a' b' [ ] b b' [ ] 3. Produit par u etier relatif. 4. Produit. a a' [ ] ka ka' [ ] k a a' [ ] ab a' b' [ ] b b' [ ] 5. Puissace d u etier aturel. a a' [ ] p p a a' [ ] p

6 6 PGCD ét PPCM VI. PGCD et PPCM de deux etiers relatifs 1. Défiitio Défiitio : O ote a et b Le PGCD( a, b ) est le plus grad diviseur commu de a et b Le PPCM( a, b ) est le plus petit multiple commu de a et b Défiitio : Nombres étragers ou premiers etre eux a et b sot premiers etre eux 1. Le seul diviseur commu positif est Méthodes de calcul du PGCD a. Liste des diviseurs Il suffit de faire la liste des diviseurs des deux ombres et de trouver le plus grad des diviseurs commus. b. Algorithme d Euclide O effectue des divisios euclidiees successives e preat à chaque fois le diviseur et le reste de la divisio précédete. Théorème : O ote a et a bq r avec 0 r b r r q r avec 0 r r b PGCD( b, MOD( a, b)) Où MOD( a, b ) est le reste de la divisio euclidiee de a par b. c. Algorithme des soustractios O effectue des soustractios successives. Si b r1 a b r 1 b c r b c r 1 1 et b r r 1 2 Si r 1 r 2 r 1 c r 2 r 1 c r 2 et r 1 r 2 r 3 Si r r r c r r c r et r r r 2 1

7 7 Théorème : VII. Théorèmes importats e arithmétique O ote a et b 1. Théorème de BEZOUT PGCD( b, a b) Théorème de BEZOUT d. Décompositio e facteurs premiers Pour tout couple tel que ( ab, ) 2, il existe u couple ( uv, ) 2 Exemple a et b Propriété de BEZOUT au bv 3. Méthodes de calcul du PPCM a. Liste des multiples Exemple : PPCM (6,4) Propriété de BEZOUT a et b sot premiers etre eux ( uv, ) tel que au bv 1 3. Théorème de GAUSS b. Décompositio e facteurs premiers Exemple : PPCM(2 3,2 3 5 ) c. Formule reliat le PGCD et le PPCM Théorème de GAUSS a, b et c sot des etiers relatifs o uls a bc et 1 a c Théorème : a et b sot deux etiers relatifs o uls PPCM( a, b) ab

8 8 Equatios Diophatiéés VIII. Défiitio 1. Défiitio Défiitio Ue équatio diophatiee est ue équatio à coefficiets etiers et dot les icoues sot des etiers. Cette aée, de termiale, ous e résolvos que les équatios de la forme ax by k Première étape : Recherche d ue solutio particulière de ( E ) O calcule le PGCD( a, b ) par l algorithme d Euclide. O cherche ue solutio particulière ( x, y ) telle 1 1 que ax by 1 1 Le couple (, ) est doc ue solutio particulière de ( E ) O ote ( x, y ) ce couple IX. 2. Exemples de l aée de termiale 5x7y 1 6x15y 3 5x8y 2 Méthode de résolutio 1. Méthode théorique O souhaite résoudre l équatio diophatiee ax by k ( E ) Deuxième étape : Recherche de toutes les solutios de ( E ) O ote ( xy, ) u couple solutio doc ax by k ( x, y ) est ue solutio particulière de ( E ) doc ax by k Par soustractio des deux équatios, o obtiet : a( x x ) b( y y ) O a doc a( x x ) b( y y ) et e divisat par 0 PGCD( a, b ) o obtiet que a'( x x ) b'( y y ) avec 0 PGCD( a, b') 1

9 O a alors b' a'( x x ) avec a ' et b ' premiers 0 9 Quelques persoalités importates du chapitre etre eux. D après le théorème de Gauss : b' ( x x ) doc il 0 existe u etier relatif tel que x x b' 0 de plus a'( x x ) b'( y y) a' b' b'( y y) y y a' GAUSS O obtiet doc S x b y a ', ', BEZOUT Vérificatio : ax by a( x b') b( y a' ) ax by ab' ba' or a a' et b b' doc ab' ba' 0 De plus ax by k Doc ax by k D ALEMBERT WILES