Master 1 de Santé Publique. UE de biostatistique : cours 4. Principe des tests statistiques

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1 Master 1 de Santé Publique UE de biostatistique : cours 4 Principe des tests statistiques 2. Comparaison de deux pourcentages Test du χ 2 Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2

2 Comparaison d un pourcentage à une valeur théorique Test du χ 2 Hypothèse nulle H o : P = P H0 Hypothèse alternative H 1 : P P H0 M + M - Effectifs observés O 1 O 2 n Effectifs calculés C 1 = np H0 C 2 = nq H0 n Si H o est vraie et si n est assez grand : χ 0 2 = (O 1 C 1 )2 C 1 + (O 2 C 2 )2 C 2 suit une loi de χ 2 à 1 ddl => règle de décision : si χ 0 2 3,84 : rejet de H o si χ 0 2 < 3,84 : non rejet de H o Conditions d application : C 1 et C 2 5 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 1

3 Les tests Z et χ 2 sont identiques M + M - Effectifs observés O 1 O 2 n Effectifs calculés C 1 = np H0 C 2 = nq H0 n χ 2 0 = (O C 1 1 )2 + (O C 2 2 )2 = z 2 C 1 C 0 = p P 0 H 0 2 P H0 Q H0 n 2 Mêmes conditions d application : C 1, C 2 5 <=> np H0, nq H0 5 Limites de signification équivalentes : P(χ 2 1 > a) = P( Z > a) ex : P(χ 2 1 > 3,84) = P( Z > 3,84 = 1,96 ) M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 2

4 Exemple Le pourcentage d'habitants d une région qui consomment des anti-dépresseurs diffère-t-il de la valeur 20% donnée par les chiffres de vente nationaux? Pour répondre, on dispos d'un échantillon représentatif de 422 habitants de la région, dont 97 (23%) consomment des anti-dépresseurs H o : P = 0,20 H 1 : P 0,20 où P est le vrai pourcentage de consommateurs dans la région Consommation d anti-dépresseurs Oui Non Eff. observés Eff. calculés 422x0,20 = 84,4 422x0,80 = 337,6 422 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 3

5 Consommation d anti-dépresseurs Oui Non Eff. observés Eff. calculés 422x0,20 = 84,4 422x0,80 = 337,6 422 Effectifs calculés 5 => conditions d application satisfaites χ 0 2 = (97 84,4)2 84,4 + ( ,6)2 337,6 = 2,35 χ 0 2 < 3,84 => on ne rejette pas l hypothèse H o Conclusion : On ne met pas en évidence de différence entre le pourcentage de consommateurs d anti-dépresseurs dans la région et la valeur 20% (donnée par les chiffres de vente nationaux). M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 4

6 Comparaison de 2 pourcentages H o : P 1 = P 2 H 1 : P 1 P 2 P 1 et P 2 : pourcentages vrais de malades dans les populations 1 et 2 Observations : - E 1 : échantillon issu de la population 1 : n 1 et p 1 - E 2 : échantillon issu de la population 2 : n 2 et p 2 M + M - E 1 O 11 O 12 n 1 p 1 = O 11 n 1 E 2 O 21 O 22 n 2 p 2 = O 21 n 2 m 1 m 2 n C ij = valeur attendue si H o est vraie =? M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 5

7 Calcul des C ij M + M - pourcentages observés E 1 O 11 (C 11 ) O 12 (C 12 ) n 1 p 1 = O 11 n 1 E 2 O 21 (C 21 ) O 22 (C 22 ) n 2 m 1 m 2 n p 2 = O 21 n 2 Si H o est vraie : P 1 = P 2 = P (pourcentages vrais) Tout se passe comme si E 1 et E 2 étaient tirés de la même population. La meilleure estimation de P est obtenue en regroupant E 1 et E 2. => ˆP = m 1 n Le nombre de sujets attendus dans la case (E 1 M+) est donc : m C 11 = n 1ˆP = 1 n1 n = n m 1 1 n M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 6

8 De façon générale : C ij = n i m j n M + M - E 1 O 11 C 11 O 12 C 12 n 1 E 2 O 21 C 21 O 22 C 22 n 2 m 1 m 2 n M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 7

9 Comparaison de 2 pourcentages Test du χ 2 H o : P 1 = P 2 H 1 : P 1 P 2 E 1 O 11 (C 11 ) E 2 O 21 (C 21 ) M + M - O 12 (C 12 ) O 22 (C 22 ) m 1 m 2 n n 1 p 1 = O 11 / n 1 n 2 p 2 = O 21 / n 2 Si H o est vraie, et si la taille de l échantillon est assez grande : χ 2 0 = (O C )2 + (O C ) (O C ) (O C ) C 11 C 12 C 21 C 22 2 = (O C) 2 suit une loi de χ 2 avec 1 ddl C avec C ij = n i m j n Conditions d application : C ij 5 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 8

10 Exemple Le pourcentage d'hypotrophie du nouveau-né (poids trop petit) est-il différent selon que la mère a fumé ou pas pendant la grossesse? Hypothèses testées : H o : P 1 = P 2 H 1 : P 1 P 2 P 1 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des fumeuses P 2 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des non fumeuses Pour répondre, on a recueilli le poids de naissance de tous les nouveau-nés d'une maternité pendant 1 an. M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 9

11 Consommation de tabac pendant la grossesse oui non Hypotrophie Poids normal Pourcentages observés : p 1 = = 5,7% p 2 = = 3,7% M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 10

12 Test de l'hypothèse H o : P 1 = P 2 H 1 : P 1 P 2 P 1 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des fumeuses P 2 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des non fumeuses oui Hypotrophie 45 (34,0) Poids normal 748 (759,0) Consommation de tabac pendant la grossesse non 68 (79,0) (1 767,0) Conditions d'applications satisfaites : C ij 5 χ 0 2 = (45 34,0)2 34,0 + (68 79,0)2 79,0 + ( ,0)2 759,0 + ( ,0)2 1767,0 = (11)2 34,0 + ( 11)2 79,0 + ( 11)2 759,0 + (11)2 1767,0 = 5,37 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 11

13 oui Hypotrophie 45 (34,0) Poids normal 748 (759,0) Consommation de tabac pendant la grossesse χ 0 2 = 5,37 3,84 -> significatif non 68 (79,0) (1 767,0) => Rejet de H o : P 1 et P 2 sont différents (au risque α = 5%) Degré de signification : p = P(χ 1 2 > 5,37) (0,01 <) p < 0,025 degré de signification Table de la loi de χ 2 α d.d.l. 0,975 0,95 0,90 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,01 0, ,00 0,00 0,02 0,46 1,07 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 10,83 2 0,05 0,10 0,21 1,39 2,41 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 13,82 3 0,22 0,35 0,58 2,37 3,66 4,64 6,25 7,81 9,35 11,34 16, , ,2 2 43,1 9 77,9 3 46,46 59,33 65,23 68,97 74,40 79,08 83,3 0 82,36 99,33 106,9 111,6 118,50 124,3 129, ,38 99,61 135, ,4 5 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 12

14 Conclusions 1. Jugement de signification Il y a une relation entre la consommation de tabac pendant la grossesse et l hypotrophie du nouveau-né. On observe que la relation est dans le sens : plus d hypotrohiques parmi les fumeuses. 2. Jugement de causalité On ne démontre pas de lien causal entre tabac et hypotrophie. M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 13

15 Autre expression du χ 2 à 1 ddl M + M - E 1 a b n 1 E 2 c d n 2 m 1 m 2 n χ 0 2 = (O C) 2 C En réduisant au même dénominateur les 4 termes de la somme, on obtient : χ 0 2 = (ad bc)2 n n 1 n 2 m 1 m 2 expression plus simple à calculer mais, ne pas oublier de vérifier que tous les C i sont 5 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 14

16 Petits échantillons Un (au moins) des C ij est inférieur à 5 et tous les C ij sont supérieurs ou égaux à 3 E 1 O 11 (C 11 ) E 2 O 21 (C 21 ) M + M - O 12 n 1 (C 12 ) O 22 n 2 (C 22 ) m 1 m 2 n Correction de Yates : χ c 2 = ( O C 0,5) 2 C qui suit une loi de χ 2 à 1 ddl (si H o est vraie) Conditions d application : C ij 3 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 15

17 Exemple Le pourcentage d'hypotrophie du nouveau-né (poids trop petit) est-il différent selon la consommation d'alcool de la mère pendant la grossesse? Hypothèses testées : H o : P 1 = P 2 H 1 : P 1 P 2 P 1 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des buveuses P 2 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des non buveuses L'échantillon précédent de 2639 nouveau-nés permet de répondre. M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 16

18 oui Hypotrophie 7 Consommation d alcool pendant la grossesse (4,1) Poids normal 88 (90,9) non 106 (108,9) (2 435,1) % hypotrophie 7,4 % 4,4 % H o : P 1 = P 2 H 1 : P 1 P 2 P 1 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des buveuses P 2 = pourcentage vrai d hypotrophie dans la population des non buveuses Un des effectifs calculés est < 5, mais ils sont tous 3. ( 7 4,1 χ 2 0,5)2 ( ,1 0,5)2 c = ,1 2435,1 = 1,58 non significatif Conclusion : on ne met pas en évidence de liaison entre la consommation d alcool pendant la grossesse et l hypotrophie du nouveau-né. M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 17

19 Les deux expressions du χ 2 corrigé χ c 2 = ( O C 0,5) 2 C χ c 2 = n ad bc n 2 n 1 n 2 m 1 m 2 2 M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 18

20 Très petits échantillons Au moins un des C ij est inférieur à 3 Test de Fisher : pas au programme M1 de Santé Publique Biostatistique - Cours 4 - Comparaison de deux pourcentages - Test du χ 2 19

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