Durée : 4 heures. x + x x + x, lim 1 x sin

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1 PCSI DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES 9/0/00 QUESTIONS de COURS : Durée : 4 heures Soit f : I IR, soit a u réel adhéret à I Que sigifie la otatio lim fx +? x a + si x Ex Détermier lim, lim x + x x + x, lim x si x 0 x 3 Motrer que la suite u défiie par u cos admet pas de limite raisoer par l absurde, o pourra utiliser les formules cos et cos + cos + EXERCICE : Pour tout IN, o pose a C et u a 4 a Vérifier la relatio a + + a + b Motrer que la suite u est croissate c Démotrer par récurrece sur la relatio u + d E déduire l existece d u réel K apparteat à l itervalle PROBLÈME : [ ], tel que C K 4 Soit f la foctio défiie sur ], + [ par fx l + x x + x Étudier les variatios de la foctio f et les limites aux bores de l itervalle de défiitio Soit g la foctio défiie, sur ], + [, par gx x 3 6x + x + Calculer g x et g x f x E déduire le sige de gx fx pour x ], + [ 3 Soit la suite de terme gééral u + e Motrer que l o a! IN l u + l u IN + f 4 Soit la suite de terme gééral v u e IN Motrer que IN l v + l v + [ f 5 E déduire que les suites u et v sot adjacetes 6 De la covergece de la suite u, déduire lim + l! g ], puis lim +!

2 PROBLÈME : Les questios 4 et 8 peuvet se traiter idépedammet du reste du problème Soiet et p deux etiers aturels, avec Soit E {x,, x } u esemble de cardial O ote K p le ombre de combiaisos avec répétitios de objets pris p à p : cela sigifie que l o pred p objets parmi les élémets x,, x, chaque objet pouvat être pris plusieurs fois ; o regarde esuite combie de fois chaque élémet a été pris Cela correspod à la otio de tirage avec remise, mais sas teir compte de l ordre das lequel les élémets ot été piochés O coviedra que K 0 Par exemple, pour et p 3, il y a 4 combiaisos avec répétitios des deux élémets x et x pris 3 à 3, dot voici la liste exhaustive : x x x : o a pris trois fois l élémet x ; x x x : o a pris deux fois l élémet x et ue fois l élémet x ; x x x : o a pris ue fois l élémet x et deux fois l élémet x ; x x x : o a pris trois fois l élémet x Doc K 3 4 Autre exemple : o lace trois dés simultaémet les trois dés sot o discerables, jeu du 4 Le ombre de résultats possibles est K6 3 Écrire la liste exhaustive de tous les résultats possibles, e déduire la valeur de K6 3 Quelques idicatios : u résultat peut être écrit sous la forme d ue liste croissate de trois ombres parmi,,3,4,5,6 expliquer pourquoi La liste des résultats peut commecer par,, 3, 4, 5, 6,, 3, 4, 5, 6, 33, je vous laisse poursuivre Je précise efi que le ombre K 3 6 est iférieur à 60 Expliquer pourquoi K p est le ombre d applicatios croissates de [[, p]] vers [[, ]] 3 Motrer que K p est aussi le ombre de -uplets,, d etiers aturels dot la somme est égale à p : { K p Card,, IN i p} 4 Soiet m et deux etiers aturels tels que 0 m Démotrer la relatio C m C+ m+ m 5 E utilisat par exemple la questio 3, démotrer la relatio K p + Kp + K p + + K + K 0 K i IN, p IN 6 Motrer, par récurrece sur, que K p C p +p 7 Combie y a-t-il de résultats possibles lors du lacer simultaé de ciq dés? 8 Soiet IN, p IN Doer ue expressio simple de la somme S p p A p +p 0 i0 i 0

3 EXERCICE : a O a a + a *************************************************** CORRIGÉ *************************************************** C+ + C +! [ ]!! + + +!!! +!! + + b La suite u état à valeurs strictemet positives, pour motrer qu elle est croissate, motros que u + : u u u 4 + a + a O vérifie que ce rapport est supérieur à e comparat les carrés du umérateur et du déomiateur : c L iégalité est vraie pour : u 3 Supposos-la vraie à u rag doé Alors u + u + u u doc hypothèse de récurrece : u Il reste doc à prouver que + ce qui est immédiat e comparat les carrés L iégalité est doc vraie pour tout IN + + u, + + 3, ou ecore , La suite u est croissate questio b et, de la questio c, o déduit qu elle est majorée par Elle est doc covergete Soit K sa limite ; o a u K et lim u K + peut s exprimer sous la forme C K 4 PROBLÈME : O obtiet f x + x 4 + x x > 0, doc f est strictemet croissate + x + x sur so itervalle de défiitio ], + [ O obtiet sas difficulté lim fx et x

4 lim fx + x + Après réductio, o a g x x x + 6x + 6 6x + x + et g x f x 4 x 6x + x + > 0 La foctio g f est doc strictemet croissate sur ], + [ ; comme elle s aule e zéro, o a doc gx fx < 0 si < x < 0 ; gx fx > 0 si x > 0 3 Calculos gaiemet : l u + l u l u+ l e 3 l + + e +! +! + e l + u + l f 4 Ecore u petit calcul sympathique D ue part, l v + l v l v + v l u+ u l u + e + u + + e + g + f + + D autre part, après réductio,, d où l égalité demadée 5 D après les questios et, o a, pour tout etier aturel o ul, f > 0 et f g < 0, doc IN l u + l u > 0 et l v + l v < 0 ; la suite u est doc croissate et la suite v décroissate De plus, la défiitio de v motre que v u, doc u u v v ; les deux suites sot borées et mootoes, doc coverget Soiet lim u l et lim v l ; comme v u e avec lim + e, o a l l : les deux suites sot adjacetes 6 Soit l lim u O a l > 0 car u est croissate et u > 0 et lim l u l l, doc lim + l u 0, c est-à-dire

5 comme l! l lim 0, o a doc lim + E preat l expoetielle foc-! tio cotiue, o a lim + + l 0 ; +! e l PROBLÈME : Das u résultat du lacer, o cosidère les chiffres obteus, et le ombre de fois que chaque face a été obteue Le résultat 3 est idetique au résultat 3, de même pour 33 et 33 Il est doc toujours possible et il y a ue seule faço de le faire de classer les chiffres obteus e ue liste croissate pas forcémet strictemet puisqu il peut y avoir des répétitios Voici doc la liste exhaustive des résultats possibles :,, 3, 4, 5, 6,, 3, 4, 5, 6, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66,, 3, 4, 5, 6, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66, 333, 334, 335, 336, 344, 346, 355, 356, 366, 444, 445, 446, 455, 456, 466, 555, 556, 566, 666 O déombre doc 56 résultats, soit 56 combiaisos avec répétitios de 3 élémets parmi 6, doc K L explicatio demadée a déjà été fourie à la questio précédete : ue combiaiso avec répétitios de p élémets parmi les élémets,,, cosiste e ue liste de p élémets de l esemble [[, ]] que l o peut toujours écrire et de faço uique das l ordre croissat au ses large puisqu o e tiet pas compte de l ordre C est doc ue applicatio croissate de [[, p]] vers [[, ]] 3 Notos E p l esemble des -uplets d etiers aturels dot la somme est égale à p : { } E p,, IN i p À chaque combiaiso de p élémets parmi [[, ]], o associe le -uplet,, IN, où est le ombre de fois que figure l élémet,, est le ombre de fois que figure l élémet O réalise aisi ue bijectio etre l esemble des combiaisos de p élémets parmi [[, ]] et l esemble E p, d où K p Card E p À titre d exemple, aux 56 résultats du lacer simultaé de trois dés, o associe les sextuplets d etiers aturels dot la somme vaut 3 Si o repred les résultats éumérés à la questio, o leur fait correspodre das l ordre je écris que les 5 premiers et les 5 deriers : 3, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0,, 0,, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0, 3 4 D après la relatio de Pascal, C m C m+ + Cm+ i Doc

6 C m m m + m+ C m+ + Cm+ C m+ + C m+ m m C m+ m C m+ C+ m+ Cm+ m C+ m+ 5 K p + est le ombre de + -uplets,,, + d etiers aturels dot la somme est égale à p Déombros-les e discutat suivat la valeur du derier élémet + qui appartiet bie sûr à [[0, p]] : il y e a * K p tels que + 0, * K p tels que +, * K 0 tels que + p pour tout i [[0, p]], il y e a K p i Ce raisoemet doe la relatio demadée par l éocé tels que + i puisqu alors + + p i 6 O motre, par récurrece sur IN, l assertio dépedat seulemet de l etier : pour tout p etier aturel, K p C p +p Pour, K p est le ombre de -uplets!! d etiers aturels dot la somme vaut p : clairemet, avec les otatios de la questio 3, o a E p {p} {p}, doc Kp Cp p, ce qui iitialise la récurrece Supposos l assertio vraie pour u etier IN doé Alors, pour tout p IN, o a K p + K i questio 5 i0 i0 i0 p+ C i +i C +i C hypothèse de récurrece symétrie des coefficiets biomiaux traslatio d idice C +p questio 4 C p +p symétrie de ouveau et c est bie ce que l o devait obteir pour vérifier l assertio au rag + 7 Remarquos d abord que K6 3 C , ce qui redoe le résultat de la questio 3! avec trois dés Avec ciq dés, la répose est K6 5 C !

7 8 Allez, u derier petit calcul S p p! C p 0 p! +p jp +p C p j p! 0 C p +p traslatio d idice p! C p +p questio 4 O peut doer ue autre expressio : S p p! + p!! p! + p! p!

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