J AUVRAY traitement du Signal SIGNAUX ET SYSTEMES NON LINEAIRES

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1 J UV trtement du gnl - 55 Dénton IGNU ET TEME NON LINEIE Un ytème et non lnére l n oét p u prncpe de uperpoton Il gt d une dénton négtve qu utore un grnd nomre de non lnérté Nou cteron : - Le ytème prmétrque : l oncton de trnert et oncton du gnl C et le c de crcut contennt une thermtnce ou un vrctor - Le ytème à hytéré, type rel ou trgger de chmtt Le clcul de leur perormnce en préence de rut et trè complee - Le ytème à non lnérté ndépendnte du temp, type y Ce ont le eul qu ont ordle de çon un peu générle et encore dn l c lmtt d un gnl d entrée guen Proprété prtculère d un gnl Guen Condéron un enemle de vrle létore guenne de moyenne nulle E Le coecent de corrélton entre deu de ce vrle et dén comme j j, l et nul on dr que le vrle ne ont p corrélée ttenton non corrélton ne veut p dre ndépendnce Pr eemple coωt et nωt pour Ω létore ne ont évdemment p ndépendnte m cependnt leur produt et de moyenne nulle Pour tro vrle l moyenne du produt et toujour nul C et une proprété eentelle de vrle guenne qu et utlée pro pour le crctérer recherche de compont déectueu dont le rut propre n et p guen pr tr corrélton Pour vrle on retrouve un réultt non nul, on peut montrer que pour une guenne et eulement dn ce c : L moyenne et cée en tro coecent de corrélton pour lequel le ndce prennent toute le poton pole Ce réultt e générle pour un nomre pr quelconque de vrle : n n n Il y utnt de terme que de permutton pole de ndce ot n n n 5] C et à dre pour n 5 pour n6 5 pour n etc Pour un nomre mpr de vrle l moyenne et nulle n n --- Unverté Perre et Mre Cure IT ETI --- k L [ Le qudrteur C et l eemple le plu mple et le plu cournt Il gt d un ytème à non lnérté ndépendnte du temp ytème mnéque dén pr : y v Pour que le réultt y t le dmenon d une tenon et une tenon l ut que le coecent multplct ot l nvere d une tenon c et pourquo nou l von noté provorement /v Pour un gnl d entrée détermnte le clcul du gnl de orte ne préente ucune dculté, pr eemple pour un gnl d entrée nuoïdl ce crcut et douleur de tenon M pour un gnl létore le eul recour et le théorème de Wener Kntchne

2 J UV trtement du gnl - 56 C d un gnl d entrée létore guen L oncton d utocorrélton de y et : y y t y t pour lléger l notton nou poeron yt-y lor en vertu du théorème précédent, et guen : C et à dre en pont y [ ] Le théorème de Wener Kntchne punce : y [ ] nou ournt lor pr trnormée de Fourer le pectre de [ ] Pour vuler le réultt nou étuderon d ord le c d un rut lnc ltré pe Dn ce c comme nou l von vu plu hut l rut lnc ltré pe punce et C d ou C Le premer terme de l epreon précédente et un drc à l orgne, c et l tenon contnue otenue pr redreement Pour le econd l ut clculer le produt de convoluton u u du Le clcul peut être t grphquement en nt gler deu rectngle l un ur l utre D ou le pectre du gnl y : pectre de y pour guen y c -c Clcul du produt de convoluton -c u c c² c U -c c le gnl d entrée n et p guen ce réultt n et plu ect, c et en prtculer le c cournt d un gnl nuoïdl uperpoé à un rut guen gnl nuoïdl plu rut guen Le gnl nuoïdl coπt donne évdemment en orte coπ t y c et à dre un Drc à l orgne d mpltude ²²/ et deu re pour ± M le pectre complet n et p l omme de contruton ndvduelle de et du rut guen cr le ytème n oét p u prncpe de uperpoton, l ut eectuer le clcul complet y vec étnt le rut létore vec l notton précédente : y --- Unverté Perre et Mre Cure IT ETI ---

3 J UV trtement du gnl Unverté Perre et Mre Cure IT ETI [ ] [ ] ot 9 terme qu l et cle de clculer : précédent réultt ndépendnt rut et gnl nulle moyenne de et rut le cr t t co co co co ot en regroupnt le terme : co co et pr trnormton de Fourer : [ ] ] [ Le terme à l orgne et l punce totle de omme de celle de et de, le econd le deu re ttentue à ±c, le derner le produt de convoluton précédent, le troéme et du à l non lnérté l correpond à l nterrcton ur cette non lnérté de deu componte de Le pectre otenu à lor l orme nttendue c deou pectre à l orte d un qudrteur ttqué pr une nuoïde noyée dn un rut lnc ltré guen -c c y o -o o -o -c c ²/ ² ² c c ²

4 J UV trtement du gnl - 5 C du -qudrteur y On ne peut p le condérer comme l me en ére de qudrteur cr le gnl e orte du premer n et p guen Le clcul drect et trè loreu cr le développement de t ntervenr 5 terme en et Il ete heureuement un théorème qu permet de réoudre ce prolème Théorème de Prce Ce théorème à l énoncé trè zrre et démontré en nnee Il pplque à toute non lnérté ndépendnte du temp du type on énoncé et réumé pr l ormule uvnte : K K E y K K { [ t] [ t ]} l t ntervenr le dérvée de y pr rpport à celle de à tou le ordre Ce théorème et urtout commode lorque n, pour le qudrteur : ² donc [ ] lor u premer ordre le théorème de Prce donne : qu ntègre drectement en : d d t t L contnte et détermnée en nt tendre ver l nn En eet pour un tel retrd t et t- ne ont plu corrélé c et à dre,lor Cte M l ndépendnce permet de cer l moyenne : --- Unverté Perre et Mre Cure IT ETI --- Cte donc c et l vleur de l contnte précédente On retrouve en le réultt précédent Pour un degré plu élevé de contnte pprent à chque étpe de l ntégrton m on peut n en clculer que en nt tendre ver l nn ou Une ttque drecte n et donc p pole, Pr eemple pour le -qudrteur l ut utler le théorème à l ordre et non comme on pourrt le pener u vu de dérvée ot y u econd ordre : d d qu ntègre en étpe dy d y d y d d d t t [ ] d prè le réultt précédent 7 C C tend ver l nn et nul comme on l vu plu hut M lor vec pour un gnl guen : Il vent Donc : C C C 9

5 J UV trtement du gnl M pour et En reportnt dn l epreon l vent nlement On pourr trter de l même çon le c y 7 9 Ecrêteur prt : proprété ondmentle de gnu guen L écrêteur prt et dén pr y gn Or nou von vu que l on pouvt dénr une dérvée : dgn d Le théorème de Prce donne lor u premer ordre : d d [ t ] [ ] t En pont t et t- cec devent pour un gnl ergodque d d [ ] E que l on clcule en nt ntervenr le denté de prolté : [ ] p d d p E m pour un proceu guen à dmenon : donc En reportnt plu hut : p π p, π d d équton dérentelle en connue en termnle π ep rcn π L contnte et nulle cr pour tendnt ver l nn yt et yt- ont ndépendnt Cette ormule et nutlle pour clculer le pectre cr cel ert ntervenr l trnormée de Fourer d un rcn, m elle et nverle On en tre en eet : π n Il et donc pole en théore, à une contnte multplctve prè, de clculer donc le pectre de punce du gnl d entrée, à prtr de y c et à dre le gnl de orte D ou le réultt ondmentl : Le crctértque pectrle d un gnl guen ont entèrement détermnée pr e pge pr zéro Cte --- Unverté Perre et Mre Cure IT ETI ---