Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux modèles de taux d intérêt engendrant des formules

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1 Calculs sochasique e de Malliavin appliqués aux modèles de aux d inérê engendran des formules fermées Caroline Pinoux To cie his version: Caroline Pinoux. Calculs sochasique e de Malliavin appliqués aux modèles de aux d inérê engendran des formules fermées. Mahemaics. Universié de Poiiers, 1. French. <el > HAL Id: el hps://el.archives-ouveres.fr/el Submied on 14 Jan 11 HAL is a muli-disciplinary open access archive for he deposi and disseminaion of scienific research documens, wheher hey are published or no. The documens may come from eaching and research insiuions in France or abroad, or from public or privae research ceners. L archive ouvere pluridisciplinaire HAL, es desinée au dépô e à la diffusion de documens scienifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanan des éablissemens d enseignemen e de recherche français ou érangers, des laboraoires publics ou privés.

2 Universié de Poiiers Thèse pour l obenion du grade de Doceur de l Universié de Poiiers, spécialié «Mahémaiques e leurs inéracions» préparée au Laboraoire de Mahémaiques e Applicaions, UMR 686 dans le cadre de l École Docorale Sciences de l Ingénieur e l Informaion SI présenée e souenue publiquemen le 1 Décembre 1 par Caroline Pinoux Calculs sochasique e de Malliavin appliqués aux modèles de aux d inérê engendran des formules fermées Direceur de hèse : Marc Arnaudon Direceur de hèse : Nicolas Privaul Thèse souenue devan la commission d examen Jury Larbi Alili Marc Arnaudon Clémen Dombry Julien Michel Nicolas Privaul Thomas Simon Anon Thalmaier Professeur des Universiés, GBR - Universié de Warwick Rapporeur Professeur des Universiés, Universié de Poiiers Direceur Maîre de conférences, Universié de Poiiers Examinaeur Professeur des Universiés, Universié de Poiiers Examinaeur Professeur des Universiés, SIN - Universié Naionale de Singapour Direceur Professeur des Universiés, Universié de Lille 1 Rapporeur Professeur des Universiés, LUX - Universié du Luxembourg Examinaeur

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4 Remerciemens Remercier chaleureusemen les personnes qui m on souenue ou au moins côoyée pendan ces 3 années, 3 mois e 7 jours précisémen es un exercice compliqué, voire périlleux. Mais le proocole éan ce qu il es, je m y plie de bonne grâce, en espéran occuper un momen les gens qui assisen à ma souenance e qui s y embêen un peu. J apprécie que vous soyez venus. Je iens d abord à exprimer ma graiude aux membres du jury, qui me fon l honneur d évaluer mon ravail : merci à messieurs les professeurs Larbi Alili de Warwick e Thomas Simon de Lille d avoir accepé d êre les rapporeurs de cee hèse. Leurs remarques, quesions e suggesions m on permis d apporer des amélioraions à la qualié de ce documen. Merci égalemen aux professeurs Julien Michel de Poiiers e Anon Thalmaier de l Universié du Luxembourg, ainsi qu à Clémen Dombry de Poiiers pour avoir accepé d examiner mon mémoire e de faire parie de mon jury de hèse. Marc Arnaudon e Nicolas Privaul m on émoigné une grande confiance en accepan de diriger cee hèse. Marc, la solliciude e le souien que u m as émoignés en oues circonsances pendan ces 3 années 3 mois e 7 jours, encore m on éé précieux. En m incian énergiquemen à prendre des iniiaives e des "risques", Nicolas Privaul m a appris l auonomie e a façonné mon profil de chercheuse, je lui en suis reconnaissane. Malgré l éloignemen, sa conribuion e ses conseils avisés on éé indispensables au bon déroulemen de la hèse. À Pol Vanhaecke, direceur du laboraoire de Mahémaiques e Applicaions de Poiiers, je dois l excellen accueil don j ai éé graifiée au sein de l équipe. Menions spéciales aux fondamenaux Musapha Raïs, Pierre Torasso, Parice Tauvel, Abderrazak Bouaziz, Alain Miranville e Claude Quié qui ne son pas érangers à mon enêemen mahémaique, au même ire que M. Rober Louise. Je iens évidemmen à remercier l ensemble des enseignans-chercheurs ainsi que Nahalie Mongin, Benoî Méro e Brigie Braul pour leur genillesse e leur efficacié lors des difficulés adminisraives ou logisiques que j ai pu renconrer. Les documenalises Jocelyne Aab e Nahalie Marle son aussi charmanes que remarquables, elles m on sauvé la mise de nombreuses fois e on fai preuve d une paience infinie envers ma médiocre gesion des reours d ouvrages. Elles son oujours ravies de recevoir de la visie, passez donc leur faire coucou à l occasion. Des remerciemens pour les copains hésards qui m on aidée, ou pas, au cours des 3 ans 3 mois e 7 jours... de cee hèse : les aînés e doceurs Marie-Eve Modolo encore merci pour es bons plans de 6!, Guilhem Coq sans qui cee hèse serai sans doue oujours en «éa de sorie 1» sous Kile, Koléhé Coulibaly a fore personnalié manque ici, e égalemen Armel, Idriss, Sami, Toufic e Khaoula. Je remercie aussi Mikaël, qui n es pas de la maison mais ou aussi doceur que ceux-là e un ami rès cher qui m a souven remoné le moral, avec subilié qui plus es. Delphine David, Anhony Reveillac e Benjamin Laquerrière, en an que demi-frères e soeur de hèse, vous êes imporans. Une pensée pour les "cades", don la fuure réussie ne fai aucun doue : Paul, Wesam, Gang, Houssam, Haïdi, Jules, Apollinaire, Floren, Le, Brice, Anouar, Baoul, Alice, Anis, Daniel, Frédéric e Guilnard. Benjamin D. prépare égalemen un docora, e sa grande amiié lui ocroie le privilège d apparaîre deux fois dans ces remerciemens. Je ermine préséance, exhausivié... : les usages m échappen iii

5 par les deux copines du bureau -9, don le souien sans faille es remarquable: Caroline, on organisaion sans pli me sidère, je suis pas loin d êre jalouse, mais n éan pas une brue, je e souhaie oue la réussie possible. Hélène, en sepembre, ça fera une décennie qu on se connaî, ce qui fai accessoiremen de nous deux vieilles peaux. Du groupe de khôlle à la hèse, en passan par le compagnonnage agrégaif, nous avons eu maines occasions de nous serrer les coudes, e je crois que ce n es pas fini. Merci pour le po les filles, à charge de revanche. Il rese une bonne dose de graiude à disribuer avec fadeur dans les lignes qui suiven, mais c es surou pour la posérié aux amis-copains qui me son infinimen précieux : Cahy, la déenrice du record de longévié ou à son honneur, l amie de oujours; Benjamin S., le plus officiel enre ous, e le plus barbu aussi; Marine l unique, la fanaisise au rire magique; Ondine la fidèle rings a bell? e simulane; Séphane l irremplaçable énor, oujours prê à m accorder l asile poliique; Double-M la fée, qui récemmen a su veiller sur moi quand j en avais besoin, e l air de rien en plus; Cloé l abonnée au saumon e à la Belgique, aux calembours approximaifs que je préfère; Anabelle la voyageuse e Anaëlle aux yeux azur, les benjamines mais non moins musiciennes; Raphaël, si l assiduié rese à améliorer, u reses pouran le seul l humour a ses limies mais non moins respecable représenan du minisère de la Défense que je fréquene; Taa, je ne oublie pas, ce serai vulgaire; e puis les rois mousqueaires Nico, Benjamin e Fabien, primordiaux, avec leurs moiiés non respecives Amandine e Ludmilla, sans qui la vie serai moins drôle; e enfin le nécessaire e inesimable d Aragnan, qui se reconnaîra, la clef de voûe essenielle n es-il pas classe, mon pléonasme?. On a plus souven l occasion de l écrire que de le dire, mais ça rese rare : je vous sais gré d êre mes amis. Quan aux copains musiciens, vous m en voyez confuse, mais vous êes rop nombreux pour que je me risque à vexer vos sensibiliés d arises en oublian de vous cier individuellemen; sans vous, ça ferai vide, sachez-le, mais je ne suis pas assez éméraire pour risquer l inciden diplomaique. Un gros, énorme merci à ma peie e inversemen proporionnellemen merveilleuse famille, que je ne changerais pour rien au monde. Les parens, c es sans doue creux de vous l écrire, mais sans vous je ne serais pas là. C es l une des seules ceriudes que j ai, iens. Vous êes de loin les plus mérians éan donné que vous me supporez depuis avan la vicoire de Yannick Noah à Roland Garros, c es dire. Je concluerai en dédian cee hèse à Pinllau. Poiiers, le 1 décembre 1. iv

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7 Table des maières Table des maières vi 1 Inroducion Conexe Enjeux e moivaions Objecifs e présenaion générale Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin Calcul de sensibiliés : le B.A.-BA Calcul de Malliavin pour des diffusions à généraeur infiniésimal hypoellipique 19 Le modèle de Dohan revisié 7.1 Inroducion The Dohan PDE PDE soluion using Bessel funcions PDE soluion using he Gamma funcion Appendix Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Inroducion Main resul and is consequences Inegral represenaions and Bessel funcions Appendix Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien Inroducion Mahieu funcions and specral decomposiion Soluions o he ime-dependenmahieu s equaions Bond pricing wih periodic raes Periodic poenials in ime-dependenschrödinger equaions Appendice Généraliés sur les groupes de Lie Taux d inérê sur le cercle Tenaive de généralisaion à SO Taux d inérê sur SL Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin Inroducion Theory Financial applicaions A paricular hypoellipic diffusion for Asian opions Langevin process Geomeric Brownian moion and Black-Scholes model Vasicek ineres rae model Appendix vi

8 Perspecives 113 Lise des figures 114 Noaions 115 Bibliographie 117 vii

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10 Inroducion 1 Sommaire 1.1 Conexe Enjeux e moivaions Objecifs e présenaion générale Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin Calcul de sensibiliés : le B.A.-BA Calcul de Malliavin pour des diffusions à généraeur infiniésimal hypoellipique 19 Ce premier chapire présene les noions e les hèmes abordés dans ce ravail de hèse. 1

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12 1.1. Conexe 1.1 Conexe Enjeux e moivaions La consrucion de modèles de aux d inérê fiables e adapés à la fois à l uilisaion praique e à l économie représene un enjeu majeur de la héorie acuelle des mahémaiques e probabiliés appliquées. Les aux d inérê apparaissen dans oues les ransacions, y compris les plus simples comme les empruns ou les prês. Depuis quelques décennies, leur imporance e les insrumens financiers connexes se son développés en suivan l évoluion de l économie mondiale, e la nécessié pour les invesisseurs de pouvoir prédire avec acuié le niveau fuur des aux d inérê s es par conséquen elle aussi accrue. En pariculier, il es aujourd hui d une imporance cruciale de savoir comprendre e gérer les risques associés aux divers aux d inérê cours, insananés, longs ec... qui on souven des comporemens eux-mêmes rès variables. Depuis environ 4 ans, la modélisaion des aux d inérê es un problème de recherche à par enière. Jusqu à présen, aucun modèle saisfaisan n a pu êre élaboré au sens où pas un seul modèle ne perme d expliquer ous les comporemens des aux observés sur le marché ainsi que leurs inéracions héoriques e praiques, ou en impliquan une uilisaion praique aisée Objecifs e présenaion générale Les principaux objes d éude de cee hèse son les modèles de aux d inérê à un seul faceur, donnan lieu à des résulas numériques explicies e fermés, e noammen le modèle de Dohan []. Ce ravail es consiué de 5 chapires, don nous allons déailler le conenu dans la suie de cee inroducion. Nous présenons mainenan les résulas obenus ainsi que les objes mahémaiques considérés dans les chapires suivans. Nous rappelons égalemen quelques rudimens de vocabulaire relaifs aux mahémaiques financières, e noammen aux domaines des aux d inérê e de l analyse de sensibiliés d opions. Les chapires e 3 son d abord consacrés à l éude des foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien e au modèle de Dohan. Nous donnons une preuve inégrale e direce qui complèe celle du résula éabli dans []. Nous uilisons pour ce faire des noyaux de la chaleur ainsi qu une nouvelle représenaion pour le module au carré de la foncion Gamma d Euler. Nous nous inéressons ensuie, dans le chapire 4, aux foncionnelles périodiques du mouvemen brownien. Nous suivons la même méhode que dans les chapires précédens afin d obenir des expressions explicies de ransformées de Laplace de densiés de elles 3

13 Chapire 1. Inroducion foncionnelles e d appliquer ces résulas aux mahémaiques financières e à la physique. Nous évoquons, en appendice de ce chapire, le proje d élaboraion de nouveaux modèles de aux sur des groupes de Lie, inspiré par l éude du modèle de Dohan. Nous y présenons les quelques résulas obenus e les perspecives de cee recherche. Dans le dernier chapire, nous abordons le problème du calcul de sensibiliés par le calcul de Malliavin. Nous cherchons plus pariculièremen à donner des expressions explicies de l indicaeur dela pour les prix d opions asiaiques e d obligaions don le modèle de aux cour sous-jacen a éé éudié dans les chapires précédens. 1. Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Les chapires e 3 de cee hèse son consacrés aux foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien, e en pariculier à l éude de l équaion aux dérivées parielles donnan le prix de l obligaion zéro coupon basée sur un aux d inérê cour modélisé par un mouvemen brownien géomérique. On pose pour σ > e λ IR A T = T expσb σ / + λd, T, où B es un mouvemen brownien réel sandard. Ces foncionnelles exponenielles jouen un rôle imporan dans la physique saisique des sysèmes désordonnés, où A T es la foncion de pariion e log A T représene l énergie libre du sysème, cf. [17]. Nous nous inéresserons ici à leurs implicaions en mahémaiques financières, elles qu elles apparaissen dans les références [7], [14], [4], ou [5]. Lemodèledeauxàunfaceurquenous allons considéreraééinrodui pourlapremière fois dans [] e c es un cas pariculier du modèle général présené dans [16]. Leprocessusdeauxd inérêcour r IR+ yesreprésenéparunmouvemen brownien géomérique dr = λr d + σr db, 1..1 oùlavolailié σ > eledrif λ IRsondesconsanes,eoù B IR+ esunmouvemen brownien sandard. Le aux cour r demeure posiif, andis que le erme de volailié proporionnelle σr rend compe de la sensibilié de la volailié du aux par rappor au niveau du aux r lui-même. Par ailleurs,le modèle de Dohanes le seul modèle de auxcour lognormal qui permee d obenir une formule analyique pour le prix de l obligaion zéro coupon d échéance T, au emps P,T = IE [e ] T r s ds F, T, cf. [], e il es bien souven cié dans la liéraure, cf. [1] ou [11]. 4

14 1.. Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Par commodié, nous posons p = 1 λ/σ, ce qui perme de réécrire l équaion différenielle sochasique 1..1 sous la forme dr = 1 p 1 σ r d + σr db, 1.. avec pour soluion r = r exp σb pσ /, IR +, où pσ/ s idenifie au prix de marché du risque en anglais, marke price of risk, cf. [55], Secion 4.. Par la propriéé de Markov de r IR+, le prix de l obligaion P,T es une foncion Fτ,r du emps resan avan l échéance τ = T e du aux r, P,T = Fτ,r = IE [e ] T r s ds r, T Le prix d obligaion zéro coupon es donné page 64 dans [], cf. aussi [1] page 63, par Fτ,r = x p/ π e σ τp /8 sin xsinha usinuae u σ πu τ/8 Γ cosh p +iu duda + xp/ Γp K p x, 1..4 avec x = r/σ e où Γz = es la foncion Gamma, e K w x = + e xcoshz coshwzdz = 1 z 1 e d, z C, Rz >, + e xcoshz+wz dz, x IR, 1..5 es la foncion de Bessel modifiée de deuxième espèce d ordre w C, aussi appelée foncion de MacDonald, cf. [1] page 376 ou [63] page 181 ou encore [6]. Une preuve de 1..4es donnéedans [] pourle casoù p = 1,mais l argumen fourni n es pascomple pour le cas général p IR. Nous monrons en pariculier dans le chapire que 1..4 ne saisfai pas correcemen à la condiion iniiale F, r = 1 pour oues les valeurs du paramère p. Plus précisémen, lorsque p 1,, la formule 1..4 devien en τ = alors que 1..4 es vraie pour p = 1. F,r = 1 + xp/ Γp K p x = 1, Dans [64], Proposiion, la densié de probabilié joine du couple τ e σb s pσ s/ ds,b τ, τ >, 5

15 Chapire 1. Inroducion es calculée dans le cas où σ =, cf. aussi [45]. Dans la proposiion suivane, nous éablissons à nouveau ce résula pour un paramère de variance σ arbiraire, par changemen d échelle brownienne. Soi θv, la foncion définie par θv, = veπ / π 3 e ξ / e vcosh ξ sinhξsin πξ/dξ, v, > Proposiion 1..1 Pour ou τ >, on a τ P e σb s pσ s/ ds du,b τ dy = σ e pσy/ p σ τ/8 exp 1 +eσy 4e σy/ σ θ u σ u, σ τ du 4 u dy, 1..7 u >, y IR. En calculan l espérance condiionnelle 1..3 avec 1..7, nous obenons facilemen le résula qui sui. Proposiion 1.. par Le prix d obligaion zéro coupon P,T = FT,r es donné pour ou p IR Fτ,r = e σ p τ/8 e ur exp 1 +z σ u 4z θ σ u, σ τ du 4 u dz zp La formule ci-dessus fai apparaîre une inégrale riple, qui es compliquée à uiliser en praique dès qu il s agi de faire des calculs de prix. Dans le chapire, ainsi que dans [51], nous présenons des formules alernaives de représenaion de la soluion qui fon plus simplemen inervenir une inégrale double e des foncions spéciales, ce qui les rend plus appropriées pour les calculs numériques. On remarque que les echniques associées s appliquen à la déerminaion de prix d opions asiaiques, cf. [7], [14], [4] e les références conenues dans ces aricles. Par un argumen rès classique d arbirage, ou en uilisan le calcul sochasique e la formule demarkovappliquéeà P,T,onpeumonrer que Fτ,r vérifiel EDP suivane F τ τ,r = 1 σ r F F τ,r + λr τ,r rfτ,r r r 1..9 F,r = 1, r IR +. Décrivons la méhode de noyau de la chaleur uilisée dans le chapire. Il es bien connu que l EDP de Black-Scholes voir par exemple [55] ou [35] rf,x = f f,x +rx x,x + 1 σ x f x,x, ft,x = hx 6

16 1.. Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien peu êre changée en une équaion sandard de la chaleur g,y = 1 g y,y g,y = he σy, après la ransformaion g,y = e r σ σy+ ft,e r. Dans ce chapire, nous procédons sensiblemen de la même manière afin de réécrire 1..9 comme une équaion de la chaleur avec poeniel de Surm-Liouville. Proposiion 1..3 Alors Soi Us, y la soluion de U s s,y = 1 U y s,y 1 ey + p Us,y U,y = e py, Fτ,r := y IR. 3/ p r σ τ U σ 4,log 3/ r σ 1..1 es soluion de Remarquons que 1..1 se réécri sous la forme où U H s s,y = + p Us, y H = 1 y + 1 ey es un opéraeur hamilonien avec poeniel de Surm-Liouville, cf. [3], donc la soluion Us,y de 1..1 es donnée par Us,y = e sp / où q s x,y es le noyau de e sh s IR+. q s y,xe px dx, Par conséquen, le prix de l obligaion zéro coupon P,T = FT,r es donné pour ou p IR par Fτ, r = 3/ p r σ τ U σ 4,log = p r p/ σ p exp σ p τ 8 3/ r σ e py q σ τ/4 log r,y dy. σ Dans la suie du chapire, nous discuons de l usage de plusieurs représenaions inégrales du noyau q x,y qui permeen de réduire le calcul de Fτ,r à celui d une inégrale double sous ceraines condiions d inégrabilié. 7

17 Chapire 1. Inroducion Nous rerouvons ensuie le résula 1..8 ainsi que d aures formules de représenaion pour le prix de l obligaion zéro coupon P,T en uilisan des noyaux de la chaleur, comme en pariculier dans les deux corollaires suivans, qui reposen sur l idenié K ν z = zν ν+1 exp u z du 4u uν+1, ν IR, 1..1 pour les foncions de Bessel modifiées de deuxième espèce, cf. [63] page 183, pourvu que Rz >. Corollaire 1..4 par Le prix de l obligaion zéro coupon P,T = FT,r es donné pour ou p IR Fτ, r = 8 r σ π 3 τ e σ p τ/8+π /σ τ e ξ /σ τ sinhξsin 4πξ/σ τ 8r K z + ξz + ξ 1 1 z + ξz + ξ 1 /σ dξ dz z p. Le corollaire suivan fourni une aure expression pour le prix de l obligaion conenan une inégrale double, mais cee formule n es cee fois valide que pour p < 1. Nous y uilisons la majoraion où θv, Cve v, v, >, C = = eπ / e ξ / sinhξdξ π 3 1 π 3 e/+π / / e x dx <, >. Corollaire 1..5 Le prix de l obligaion P,T = FT,r es donné pour ou p < 1 par Fτ,r = e σ p τ/8 v +8r/σ p/ θ v, σ τ dv K p v 4 +8r/σ vp Puis, par le même argumen que dans le Corollaire 1..4, nous avons une formule analyique pour le prix d une opion sur une obligaion avec foncion de réribuion hx [ T ] IE exp r s ds hfs T,r T F, T < S, en uilisan la foncion densié de probabilié Proposiion 1..6 Le prix d une opion sur une obligaion avec pour foncion de réribuion hx es donné pour ou p IR par [ T ] IE exp r s ds hfs T,r T F 8 r = σ π 3 τ eπ /στ pσ τ/8 z p 1 hfs T,r e pστ/ z e ξ /σ τ sinhξsin 4πξ/σ τ 8r K 1 z +e z +e ξ z +e ξ σ ξ z +e ξ dξdz. 8

18 1.. Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Dans la proposiion suivane, nous donnons l expression du noyau de la chaleur, qui apparaî dans l aricle [] p.4, e que nous uilisons immédiaemen après pour éablir une aure formule de représenaion inégrale de la soluion de l équaion Proposiion 1..7 Pour > e x,y IR, le noyau q x,y es donné par q x,y = π ue u/ sinhπuk iu e y K iu e x du En uilisan cee dernière représenaion inégrale du noyau q x,y, il vien direcemen la proposiion suivane. Proposiion 1..8 par Le prix de l obligaion zéro coupon P,T = FT,r es donné pour ou p IR Fτ,r = r >, τ >. p+1 r p π σ p e p σ τ/ e py usinhπue u σ τ/8 K iu 8r/σK iu e y dudy, Nous obenons encore en corollaire une aure représenaion inégrale pour la soluion de l EDP donnan le prix de l obligaion pour p,, e qui se rapproche de la formule originalededohan1..4.pour p <,cerésulanecoincideclairemenpasavecceluide Dohan 1..4, e cela es dû à l absence du erme xp/ Γp K p x dans la formule ci-dessous. Corollaire 1..9 Le prix de l obligaion zéro coupon P,T = FT,r es donné pour ou p < par Fτ,r = x p/ π e p s/ sin πu xsinha ue us/4 Γ cosh p +iu sinuaduda, r >, τ >, avec x = r/σ e s = σ τ/. Dans la Proposiion 1..1 ci-dessous, nous vérifions de plus que la condiion F, r = 1 es saisfaiepar la foncion donnée par pour ou p 1,,ce qui confirme que la formule de Dohan 1..4 ne saisfai pas la bonne condiion iniiale pour ou r >, bien qu elle saisfasse Fτ, = 1 pour ous p e τ. Plus précisémen, la formule 1..4 de Dohan vérifie F,r = 1 + p/+1 r p/ 8r σ p K p Γp σ = 1, p < Proposiion 1..1 Pourou p 1,,la foncion FT,r donnée par1..18 saisfai la condiion iniiale F,r = 1 pour ou r. 9

19 Chapire 1. Inroducion Dans le chapire 3, nous poursuivons le ravail du chapire e nous nous inéressons oujours à la foncionnelle exponenielle du mouvemen brownien A T = T don la ransformée de Laplace [ Fτ,r = E exp r τ e σw s σ s/+λs ds, T, ] e σw s σ s/+λs ds, r IR +, τ, es soluion de l EDP 1..9, e nous cherchons à prolonger à IR le résula obenu en Corollaire 1..9 pour p = 1 λ/σ <. La densié de probabilié Ψ,y de A, définie par F,x = e xy Ψ,ydy,,x IR +, es soluion de l équaion de Fokker-Planck Ψ,y = 1 σ y y Ψ,y λ Ψ yψ,y y y,y, Ψ,y = δ y. 1.. La soluion de l équaion 1.. es donnée dans [59] grâce à des développemens specraux, e cee soluion es noammen ciée dans [,.5 p.16] e communémen uilisée aussi bien dans la liéraure de la physique mahémaique, cf. [17], [18], [19] e les références qu ils coniennen, qu en finance, cf. [44]. Cependan, le calcul comple des consanes de normalisaion associées au specre coninu n es pas clairemen déaillé dans [59], cf. page 1641 où le résula y es simplemen énoncé; cela es dû à de grandes complicaions analyiques lors du calcul de ces consanes, avec l appariion de foncions spéciales de Meijer. Récemmen, le calcul du développemen en série de foncions propres a éé fai dans [44] par le biais d un passage à la limie dans des versions approchées de l équaion 1... Néanmoins, cee méhode repose sur un argumen délica e complexe de passage à la limie. Nous proposons dans le chapire 3 de donner une soluion direce de 1..9 e 1.. via un argumen simple basé sur les noyaux de la chaleur, comme dans le chapire, ainsi qu une nouvelle représenaion inégrale 1..1 pour le carré du module de la foncion Gamma Γ p +is = 4 p K x isx 1 m<p/ 1 p p m dx K p m x m!p m! x Cee approche repose sur des argumens de prolongemen analyique, des développemens asympoiques e sur des ideniés combinaoires pour les foncions de Bessel modifiées qui présenen un inérê scienifique pour elles-mêmes, elles p k= p k k!p k! I p ky =, y IR, p IN. 1

20 1.. Foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien Ainsi, il vien la proposiion suivane, qui donne la soluion de l équaion 1..9, valable pour ou paramère réel p. Proposiion Pour ou p IR la soluion de 1..9 es F p τ,r = rp/ π σ p ue σ p +u τ/8 sinhπu Γ p +iu 8r Kiu du σ + rp/ p k σ + 8r p k!p k! eσ kk pτ/ K p k, 1.. σ k= r >, τ >. Par inversion de la ransformée de Laplace, nous obenons dans la proposiion suivane la densié de probabilié Ψ de A, soluion de l équaion de Fokker-Planck 1... Cela fourni une aure expression pour la densié d une foncionnelle exponenielle A, que l on peu comparer avec celles de [64], Proposiion, e de [45], comme il es noé dans [17], [18] ou encore [19]. Proposiion 1..1 Ψ p,z = e 1/σ z 4zπ Pour ous,z >, nous avons +e /σ z p 1/ σ z où W p+1/,is/ e L p m m son respecivemen une foncion de Whiaker e un polynôme de Laguerre généralisé. m<p/ 1 m z ssinhπse σ p +s /8 Γ p +iz W p+1,is σ z σ z p m p m p m! e σ mp m/ Lm p m σ z, 1..3 Afin de rerouver la forme 1..4 pour le prix d obligaion dans le modèle de [], la Proposiion perme d écrire F p τ,r = r p/ π σ p + rp/ σ p 8r sin σ sinha ue σ p +u πu τ/8 Γ cosh p +iu sinuaduda p m 8r m!p m! eσ mm pτ/ K p m, 1..4 σ m<p/ pour ous p IR, r >, e τ >. La formule ci-dessus éend le Corollaire 1..9, qui es aussi le Corollaire 3. de [5], à ou paramère p, e elle corrige le prix d obligaion zéro-coupon 1..4 donné dans [] page 64, cf. aussi [1] page 63, qui es seulemen valable pour p,], cf. [5]. ds 11

21 Chapire 1. Inroducion 1.3 Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien Le chapire 4 raie esseniellemen des foncionnelles périodiques du mouvemen brownien sandard B T de la forme A T = T β + αcoswb + µd. Comme nous le déaillons dans la suie de cee inroducion, on rouve des applicaions aussi bien en mécanique qu en mahémaiques financières de la foncionnelle A T. Le chapire 4 me en évidence les applicaions aux mahémaiques financières, sous la forme d un aricle en préparaion, puis dans une coure secion, nous présenons les implicaions mécaniques e physiques de l éude de elles foncionnelles. La dernière secion es consacrée à la modélisaion des aux d inérê sur les groupe de Lie, en an que prolongemen du ravail mené dans les secions précédenes. Depuis environ ans, les foncionnelles du mouvemen brownien son largemen éudiées avec bien souven des applicaions financières en ligne de mire : en effe, les prix d opions exoiques elles que les opions asiaiques dépenden d un processus sochasique sur un inervalle de emps comple [, T], d où le qualificaif de dépendan du chemin pah-dependen en anglais qu on donne généralemen à ces opions, e l uilié de l éude de foncionnelles de la forme T A ϕ T = ϕb d, ainsi que de leurs propriéés mahémaiques. Par exemple, on es souven amené à considérer le mouvemen brownien géomérique comme processus régissan une opion asiaique, c es à dire avec ϕx = expσx, où on cherche à explicier des quaniés elles que [ 1 ] IE expσb s + µsds K. + Pour ce faire, on peu simuler ou faire des approximaions mahémaiques en appliquan les echniques numériques des équaions aux dérivées parielles, voir [4] e les références qu il conien. Une aure façon de procéder es de déerminer les lois explicies pour les processus qui apparaissen lorsqu on cherche à explicier des prix d opions. En ce qui concerne le mouvemen brownien géomérique, nous nous référons à [1] qui rassemble un grand nombre de formules associées à des foncionnelles du mouvemen brownien, ainsi qu aux aricles [64], [45] e les références qu ils coniennen. En héorie de la modélisaion des aux d inérê, si le processus de aux insanané es noé r s s, alors nous rappelons que le prix de l obligaion zéro coupon associée au emps pour l échéance T > es donné par la formule T ] P,T = IE [exp r s ds, 1

22 1.3. Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien qui se calcule à parir du momen où on connaî de façon explicie la disribuion de T exp r s ds, ou lorsqu on peu au moins la caracériser en foncion des dynamiques du processus r, condiionnellemen à l informaion disponible au emps. Pour un modèle donné de aux cour r, la formule de Feynman-Kac voir par exemple [57] perme de consruire des algorihmes numériques e de calculer des prix en uilisan des simulaions de Mone-Carlo. Cependan, il subsise oujours un gouffre enre les implicaions héoriques e praiques de n impore quel modèle de aux, e ou le problème es de rouver des modèles de aux qui puissen à la fois représener fidèlemen la réalié des marchés e permere de calculer des prix expliciemen e rapidemen. Les modèles classiques les plus connus pour le processus r de aux cour insanané donnen avec l hypohèse d absence d arbirage des formules explicies pour les prix d obligaions P, T. Ces prix proviennen de la résoluion d une équaion aux dérivées parielles que le processus de prix d obligaion saisfai. Cerains modèles donnen donc des prix explicies e uilisables en praique comme celui de Vasiçek, 1977, mais ils on l inconvénien majeur de permere aux aux de devenir négaifs ou non bornés, alors que d aures modèles son rop simples ou au conraire ne permeen aucun calcul uile en praique, voir par exemple [1], [51], [5] e les références conenues dans ces documens. Jusqu à présen, mis à par le mouvemen brownien géomérique, d aures inégrales de chemins browniens on éé éudiées avec des perspecives d applicaions financières, e les principaux résulas obenus son regroupés dans [34]. Récemmen, le cas général des foncionnelles ϕx = x p a éé raié, monran que des lois faisan inervenir uniquemen des foncions spéciales usuelles ne pouvaien êre expliciées que dans les cas p = 1 e p =, voir à nouveau [34], ainsi que [36] ou encore [6]. Il semble qu assez peu de choses aien éé dies sur les foncionnelles périodiques e hyperboliques du mouvemen brownien en ermes de lois explicies. Par conséquen, il paraî raisonnable de creuser un peu cee quesion de aux d inérê posiifs e bornés de la forme r = β + αcoswb + µ, avec η IR, >, β > α, µ [, π] e w >, qui pourraien donner des prix d obligaions explicies e représenaifs de ceux qu on rouve sur le marché. Il semble clair en effe que les marchés financiers e d assurances son cycliques : en périodes d expansion ou de récession économiques, les mesures prises par les invesisseurs financiers ou les assureurs pour faire du profi son sraégiquemen différenes e on de l influence sur les marchés. Par exemple, les aux d inérê on endance à revenir vers des niveaux moyens variables qui dépenden du cycle des affairesen anglais, business cycle, cf. [1]. La variabilié des aux d inérê influence ainsi les décisions économiques e d invesissemens. Les invesisseurs changen d aiude vis à vis de la gesion des acifs risqués els que les acions e les obligaions, en foncion de l éa des marchés. Ces différenes aiudes e sraégies peuven êre naurellemen représenés mahémaiquemen par des 13

23 Chapire 1. Inroducion foncions périodiques elles que les foncions rigonomériques, e il paraî donc naurel de calculer des prix d obligaions avec des aux d inérê cours sous-jacens modélisés par Ces implicaions financières son déaillées dans le chapire 4. En pariculier, la Relaion nous perme de faire des calculs exacs de prix d obligaions zéro-coupon, e on obien P,T = FT,r 1.3. = { π π e ηβ+w a n 4ηα/w /4T ce n x, 4ηα } wr + µ n= w dx ce n, 4ηα w. Dans le domaine de la physique, comme il en a déjà éé quesion dans le chapire 3, les foncionnelles exponenielles du ype A exp L apparaissen quand on éudie les propriéés de ranspor de sysèmes chaoiques de longueur finie L, ou quand on s inéresse aux mouvemens d une paricule brownienne dans un poeniel brownien, voir [37], ou encore en physique saisique des sysèmes désordonnés, voir [19]. Dans ce conexe, il fau connaîre la moyenne de l énergie libre sur l ensemble du désordre afin d obenir des informaions sur les propriéés hermodynamiques du sysème désordonné concerné. L énergie libre es une quanié fondamenale de la physique quanique, modélisée par αloga exp L, avec Aexp L qui représene la foncion de pariion du sysème. La formule de Feynman-Kacvoir par exemple[57] appliquée à l équaion de Schrödinger perme ensuie de consruire des algorihmes numériques e de calculer la moyenne sur le désordre de l énergie libre d un sysème donné, de sore qu on obienne les propriéés hermodynamiques de ce sysème. Comme cela es proposé en Secion 7.. dans [5], nous nous inéressons pariculièremen dans le chapire 5 à des équaions de Schrödinger dépendan du emps, faisan apparaîre des poeniels rigonomériques, e nous donnons une expression explicie de la ransformée de Laplace [ ] F,y; η = IE exp η β + αcoswb s + µds, sous forme d une série absolumen convergene, à viesse de convergence exponenielle de foncions spéciales de Mahieu. Il s agi des foncions propres périodiques associées à l équaion die de Mahieu, y x + a qcosxyx =, a IR, q Les foncions de Mahieu son noées ce n lorsqu elles son paires, e se n lorsqu elles son impaires, pour ou n IN. Iniialemen, elles on éé inroduies par E. L. Mahieu en 1868 afin de résoudre le problème de Dirichle dans une ellipse, cf. [1], [13] ou encore [3]. L équaion de Mahieu es foremen liée à l équaion des ondes plane e à l équaion de Schrödinger avec poeniel périodique en emps, voir par exemple [4], [61] ou [3] p.119. Nous rappelons dans le chapire 4 quelques élémens imporans de la héorie des foncions de Mahieu, en uilisan [13] e [9, p.95] e en gardan leurs noaions. D après les 14

24 1.3. Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien résulas sur le développemen specral pour des opéraeurs de Schrödinger avec poeniel de Surm-Liouville de [43] e [44], nous pourrons ensuie résoudre l équaion de Mahieu avec dépendance au emps. À parir de l équaion 1.3.3, noons H q l hamilonien de Mahieu, c es à dire l opéraeur différeniel du second ordre suivan [H q +ay]x := y x + a qcosxyx =, a IR, q Des élémens esseniels concernan la héorie des foncions spéciales associées à ce opéraeur seron donnés en Proposiion Nous résolvons ensuie l équaion de Mahieu sandard avec dépendance au emps f,x = [H q +af],x. Pour >, β > α, µ [, π] e w >, soi A = β + αcoswb s + µds, avec B un mouvemen brownien réel sandard. Par la Proposiion 5.8 p.51 de [56], qui es une version de la formule de Feynman-Kac, pour ou η fixé, la foncion ] F,y; η = IE y [e ηa, y IR, e soluion de l équaion aux dérivées parielles suivane F,y; η = 1 F,y; η = 1, y IR. F,y; η η {β + αcoswy + µ}f,y; η,, x Nous allons donner une soluion exace e explicie de l équaion de Mahieu sandard dépendan du emps sous forme d un développemen en série de foncions de Mahieu paires e π-périodiques, elles que définies dans la proposiion L équaion es une équaion de la chaleur avec poeniel de Surm-Liouville. Pour la résoudre, nous commençons par faire la ransformaion R, x; η = F, y; η, avec x = β + αcoswy + µ, pour nous ramener à sa forme algébrique, ou forme de Fokker- Planck. Proposiion Pour ou η fixé, la foncion R es la soluion principale de l équaion R [ w,x; η = α x β ] R x w,x; η avec la condiion iniiale R,x; η = 1, pour x β α, β + α. Nous donnons mainenan le résula principal du chapire 4. R x β,x; η ηxr,x; η, x

25 Chapire 1. Inroducion Proposiion 1.3. Soien η IR + e qη = 4ηα/w. Pour >, y IR, nous avons F,y; η = = π n= e w qβ/α+a n q/4 A n wy + µ qce n { π } e w qβ/α+a n q/4 ce n x,qdx n=,q wy + µ ce n,q Comme applicaion direce de cee Proposiion 1.3., calculons le prix d une obligaion zéro-coupon dans le cas où le aux cour sous-jacen es périodique, ensuie de quoi nous donnerons un résula imporan de viesse de convergence des séries apparaissan dans Supposons que le aux cour r IR+ soi modélisé par r = β + αcoswb, β > α >, w >, >, de sore que r rese posiif e borné. Ce genre de aux peu correspondre aux cycles commerciaux qu on peu observer sur les marchés, cf [1]. Pour T, le prix de l obligaion zéro coupon es donné par P,T = IE [e ] [ T r s ds T B ] F = IE exp {β + αcoswb s }ds = ft,b. Proposiion Pour T, P,T = n= e w qβ/α+a n qt /4 A n qce n wx,q x=b. Enfin, il nous fau remarquer le résula de convergence suivan, qui perme de ronquer les séries apparaissan dans la relaion de façon à effecuer des calculs praiques concres en des emps raisonnables. Proposiion Pour ous paramères β > α, w, η IR + fixés, avec qη = 4ηα/w, e pour >, la relaion défini F comme éan une série absolumen e uniformémen convergene, e plus précisémen, pour ou N 1, nous avons la majoraion sup y IR F,y; η N n= e w qβ/α+a n q/4 A n wy + µ qce n π,q e ηβ+w N. w La moivaion iniiale de ce ravail de hèse éai de considérer de nouveaux modèles de aux d inérê sur des groupes de Lie compacs, comme suggéré dans [49] e [33]. Nous avons déjà souligné le fai que le aux cour r es une quanié fondamenale des mahémaiques financières, qui ser noammen à déerminer les prix d obligaions zéro coupon, e don la modélisaion es un problème majeur : en effe, le prix d une obligaion zéro coupon d échéance T >, au emps T es donné par P,T = E [e ] [ T rsds F = E e ] T rsds, 16

26 1.3. Foncionnelles périodiques du mouvemen brownien e nous consaons bien que la courbe de prix es enièremen caracérisée par l évoluion de la seule quanié r : comme nous l avons déjà di, de nombreux modèles de aux avec leurs avanages e leurs inconvéniens on éé proposés depuis une quaranaine d années, mais la quesion de commen concilier héorie e praique dans le domaine des aux d inérê rese ouvere. L enjeu crucial rese de choisir le bon cadre de ravail e le bon modèle pour obenir des formules permean des calculs praiques, des résulas, des prix cohérens en un emps de calcul saisfaisan. Dans la dernière secion du chapire 4, nous présenons les premiers résulas obenus dans l opique d une modélisaion des aux d inérê sur les groupes de Lie. Ces modèles fon le lien avec le débu du chapire, car ils impliquen des foncionnelles périodiques de mouvemens browniens sandards. Nous commençons avec les aux d inérê sur le cercle en posan G := SO, B un mouvemen brownien réel sandard e G l algèbre de Lie associée au groupe de Lie. La soluion de l équaion différenielle sochasique sur G suivane es le processus X, qui s écri X = dx = XdM coswb + θ sinwb + θ, sinwb + θ coswb + θ pour ou, avec la condiion iniiale θ IR. Le aux cour r es ensuie défini par rx = β +TrSX, S = S, β > e r = rx,. Nous obenons la proposiion suivane. Proposiion es L équaion régissanl évoluionduprocessusr définici-avanpar1.3.11e1.3.1 dr = 1 rdx 1 4 r βd. Avec les noaions ci-dessus, pour β >, posons θ = e S = αi avec < α < β. Alors r = β + αcoswb la proposiion 1.3.3nous donne immédiaemen le prix de l obligaion zéro coupon associée, au emps pour une échéance T > donnée P,T = n= e w 4β/w +a n 4α/w T /4 A n 4α wx w ce n, 4α w. x=b Nous présenons une généralisaion du modèle au groupe de Lie SO3, en posan X = expw, > 17

27 Chapire 1. Inroducion avec W := W 1 W 1 W un mouvemen brownien à valeurs dans l algèbre de Lie G = so3. Ses composanes W réelles W 1 e W son des mouvemens browniens de marice de covariance, avec < ρ < 1. Nous éablissons la proposiion 1 ρ ρ 1 suivane. Proposiion Le processus X s écri 1 K B 1 B K kb 1 +B B 1 B X = k k 4 B 1 +B 1 KB1 +B 4 B 1 B K B 1 B kb1 B 1 K, B 1 +B avec B 1 = 1 W 1 + W, B = 1 W W 1, k = sin B 1 +B B1 +B e K = 1 cos B 1 +B B 1 +B, pour. L idée es ensuie de considérer un aux cour r de la forme r = α +TrQX, où Q, marice symérique à composanes réelles, e α IR son choisis de sore que r rese posiif pour ou. Il s avère que le prix de l obligaion zéro-coupon associée es soluion d une équaion aux dérivées aprielles en dimension 3 don l éude n a pour l insan rien donné d explicie. Une enaive de modélisaion sur le groupe SL, bien qu il s agisse d un groupe non compac, offre des perspecives de recherche sur les foncionnelles hyperboliques. 1.4 Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin Dans le chapire 5, nous appliquons le calcul de Malliavin à quelques exemples praiques de calculs de sensibiliés d opions, aussi appelées grecques Calcul de sensibiliés : le B.A.-BA Lorsqu on gère un porefeuille d opions, l un des bus principaux es de conrôler l exposiion de ce porefeuille aux risques inhérens au marché. Savoir calculer la sensibilié du porefeuille ou du conra aux variaions des paramères du modèle sous-jacen, c es savoir aniciper ou esimer quaniaivemen les variaions des prix d opions en foncion de faceurs déerminans els que la volailié ou la condiion iniiale. Cela perme surou de gérer les risques d évoluion défavorable de ces conras ou porefeuilles. De manière informelle, on peu voir les sensibiliés comme éan des dérivées du prix par rappor à un paramère λ IE [φst], λ 18

28 1.4. Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin où φst es la foncion de réribuion ou payoff, en anglais e ST es l acif sousjacen, qui dépend du paramère λ e du emps T. Trois indicaeurs de sensibiliés jouen un rôle fondamenal dans la praique : le dela es la sensibilié du prix d opion par rappor à la valeur iniiale de l acif, δ = ; x le vega es la sensibilié par rappor à la volailié implicie, V = ; e le hea es la σ sensibilié par rappor au emps resan avan l échéance de l opion, θ = τ = T, où τ = T. Cions égalemen le rho qui mesure la sensibilié de l opion à la variaion du aux d inérê cour, ρ = ; e le gamma qui mesure le aux de variaion du dela r par rappor au prix de l acif sous-jacen convexié par rappor au sous-jacen, γ =. On comprend alors aisémen d où vien le qualificaif de grecques pour ces différens indicaeurs de sensibiliés. x Les grecques son des quaniés non observables du marché, e afin de les esimer correcemen, il fau soigneusemen choisir un modèle pour l acif sous-jacen. Si on noe comme d habiude {r } le aux d inérê cour, e si on considère la foncion de payoff f : IR + IR, alors la sensibilié δ du prix d opion à la variaion de r, le aux cour iniial, s écri δ = die[fr ] dr [ f = r dr IE dr De elles quaniés son bien sûr calculables par approximaion de Mone-Carlo. Seulemen, la convergence es pariculièremen lene dans le cas de foncions f aux dérivées disconinues ce qui es souven le cas en praique, e les esimaions ne son généralemen pas saisfaisanes, avec une variance e/ou un biais rop grands voir [8], ec... L objecif, en uilisan le calcul de Malliavin, es de se ramener à une expression ne faisan plus inervenir la dérivée de la foncion f, de sore qu on pourra prendre pour payoff f n impore quelle foncion d une régularié non nécessairemen D. ]. Les aricles de référence en maière de calcul de Malliavin appliqué à l analyse des grecques son [7] e [8] qui uilisen pour la première fois, e sur des exemples concres, la formule d inégraion par paries, pivo du calcul de Malliavin, pour calculer les dérivées du prix d une opion Calcul de Malliavin pour des diffusions à généraeur infiniésimal hypoellipique Dans le chapire 5, nous nous inéressons pariculièremen aux processus régis par une équaion différenielle sochasique à généraeur infiniésimal hypoellipique, aux formules d inégraion par paries obenues dans ce conexe par le calcul de Malliavin, e aux calculs explicies de sensibiliés δ qui en résulen. 19

29 Chapire 1. Inroducion Soi M une variéé lisse de dimension n. On considère l équaion différenielle sochasique au sens de Sraonovich suivane δx x = AX xδz + A X xd X x = x avec x M, A ΓTM, A ΓIR r TM pour ou r e Z un mouvemen brownien sandard à valeurs dans IR r sur un espace de probabilié filré donné. Les soluions de son les diffusions de généraeur infiniésimal donné par L = A + 1 r A i, 1.4. i=1 avec A i = A e i ΓTM où e i es le i-ème veceur unié de la base canonique de IR r. Soi P fx = IE [f X x] le semi-groupe associé à l équaion1.4.1, agissan sur les foncions bornées e mesurables f : M IR. La propriéé de Markov fore éabli que si on pose F,x := P T fx, alors F,X x es une maringale locale, e FT, x = fx. Par conséquen, le processus dérivé df, T x X es encore une maringale locale. Ces foncionnelles son rès uiles en mahémaiques financières pour le calcul des grecques, en pariculier celles associées aux opions asiaiques e aux prix d obligaions, voir par exemple [1], [15], [4], [5] ainsi que les références conenues dans ces aricles. Dans cerains cas, FT, x es un prix d opion asiaique, e si on souhaie calculer des grecques, une relaion de la forme suivane s avère perinene d x P fv = IE[fX xφ v], avec φ un poids qui ne fai inervenir ni la foncion f ni ses dérivées. En effe, cela nous perme de choisir une foncion de payoff f non nécessairemen régulière. Nous développons ce inérê financier dans le chapire 5 sur des exemples concres de prix d obligaions associés à des modèles usuels de aux d inérê. Nous adopons dans la suie les noaions de [4]. Soi X x la soluion de l équaion Rappelons que la condiion d hypoellipicié de Hörmander,voir par exemple [48] p.49, s écri dans nore conexe Lie A i, [A,A i ] : i = 1,...,r x = T x M pour ou x M Le héorème de Hörmander voir [48] p.5 di que es, sous la condiion 1.4.4, un semi-groupe de Feller for qui envoie les foncions bornées mesurables sur M sur les foncions bornées coninues sur M. Le bu es à présen d obenir des représenaions sochasiques pour la différeniellede ce semi-groupe dp f qui ne fassen pas apparaîre les dérivées de la foncion f, oujours sous la condiion

30 1.4. Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin Définiion définie par La marice de Malliavin de X x ou marice de covariance de Malliavin es C x := Soien λ T xm e db λ = db +aλd avec X 1 s A x Xs 1 A x ds. a s = X 1 s A x Le héorème suivan, éabli e démonré dans [4], Theorem 3. p.5, donne une expression pour dp f qui ne fai pas inervenir la dérivée de la foncion f. Théorème 1.4. Soi Munevariéécompace, f C 1 Me x M.Supposonsquelacondiion1.4.4 soi vérifiée. Alors pour chaque v T x M, d P f x v = IE[f X xφ v], où φ es un processus adapéprenan ses valeurs dans T x M, el que φ soi L p pour ous 1 p < e >, e donné par φ v = + i,k X 1 s A x db s C 1 x C 1 xv ] C 1 x [ λ i λ= C λ x v k. ik En guise d applicaion, nous commençons par considérer des opions asiaiques. Un acif S dirige une opion de la forme [ T ] V = IE f S d, pour une échéance T > e une foncion mesurable f de croissance au plus exponenielle à l infini données. Par exemple, dans le cas d un Call, on pose fx = x K +, où K > es fixé e correspond au prix d exercice de l opion en anglais, le srike. On veu calculer le dela On pose A T = d EDS suivan T δ = V S S d. Supposons aussi que le couple S,A soi régi par le sysème ds = σs db + µs d da = S d,, S IR, où les foncions σ e µ appariennen à C 1 IR e B es un mouvemen brownien réel sandard. Ainsi, le processus X = S,A es une diffusion hypoellipique avec S, pour condiion iniiale, mais il peu aussi êre vu comme une exension du cas ellipique raié dans [7] e [8]. 1

31 Chapire 1. Inroducion Proposiion Pour ous T > e S IR, la marice de Malliavin de X T es donnée par C T S = T y σs 1 y s ds y s ds avec y = exp σ S s db s + µ S s ds pour >. y s ds d, Dans [7] p.44, le dela es calculé dans le cas ellipique unidimensionnel sous la forme [ T Y T ] 1 δ = IE S f A T Ysds db, σs où Y, es le processus de variaion du premier ordre, donné par dy Y = µ S d + σ S db, Y = 1. Cee formule pluô générale condui à l obenion d expressions simples pour le poids φ T sur de nombreux exemples, comme nous le déaillons dans le chapire 5. Cependan, φ T es donné sous la forme d une inégrale de Skorohod, alors que le Théorème 1.4. donne un poids sous forme d inégrales d Iô, qui peuven êre calculées numériquemen dans ous les cas via dessommes deriemann ou desméhodes de Mone-Carlo.Enoure, le Théorème 1.4. perme de considérer des foncions de réribuion plus générales du couple S T,A T e rese valable dans n impore quelle dimension, andis que ne s applique qu en dimension 1 e à des foncions de réribuions du seul processus A T. Dans lecasrivialduprocessus delangevin,évoquép.19dans[4],leprocessus S,A es soluion d un sysème d équaions différenielles sochasiques qui n es aure que avec σs = σ > e µ. Proposiion Le processus delangevin A,S, avec,s pourcondiion iniiale, es un processus gaussien donné par S = σb +S, A = σ B s ds +S,, avec pour foncion de densié pu,v;s dudv = P S A,S dudv = 3 { σ π exp 6u S σ 3 + 6u S v S σ v S } σ dudv. Dans le corollaire suivan, pour oue foncion f mesurable e à parir des relaions 1.4.7, IE[fA T,S T ] = fu,vpu,v;s dudv e 5.3.3, nous obenons le même résula que IR celui donné par le Théorème 1.4..

32 1.4. Calcul de sensibiliés via le calcul de Malliavin Corollaire Pour ou T >, δ = IE [fa T,S T φ T ] p = fu,v u,v;s dudv S = = IR 6 σ T 6 3 σ 4 T 3 π IR avec φ T expliciemen donnée par IR u fu,v T S +v pu,v;s dudv 3 u fu,v T S +v exp { 6u S 3 σ 3 + 6u S v S σ v S } σ, φ T = 6 σt 1 T B d 1 T 3 B T. Comme nous l avons déjà di, les foncionnelles exponenielles du mouvemen brownien jouen un rôle imporan en mahémaiques financières, noammen pour éablir des prix d opions asiaiques ainsi que dans cerains modèles de prix d obligaions. En effe, si le processus de aux cour {r } es modélisé par un mouvemen brownien géomérique, alors on se siue dans le cadre suivan : dr = σr db + µr d dx = r d,, r,x IR, où B es un mouvemen brownien réel sandard, σ > es la volailié du modèle, µ IR es le drif e la condiion iniiale es x = r,x IR. Proposiion Noons La soluion de es r = r exp σb + µ σ X = X + { y := exp σb + r s ds = X +r } µ σ e σb s+ µ σ e z = s ds, y s ds, de sore que r x = r y e X x = X +r z. D après les relaions e , il vien [ P fx = IE [exp X x] = e X IE exp e par le Théorème 1.4., nous obenons [ d P f x v = e X IE exp r e σb s+ r µ σ e σb s+ µ σ ] s ds φ v, s ds ], 3

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