Introduction aux produits de taux d intérêts

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1 Introduction aux produits de taux d intérêts R&D Banque CPR 8 avril 2002

2 Plan 1. Notations et préliminaires 2. Euribor, caplets, caps 3. Swaps, swaptions 4. Constant Maturity Swap (CMS) 5. Quelques produits exotiques 6. Annexes

3 1 Notations et préliminaires Notations et préliminaires 1-1

4 Courbe des taux Dates de valeur Par convention, il y a un décalage entre la date de fixing d un taux et la date de départ de la période d intérêt (en général 2 jours). Dans toute la suite on se place dans le monde J+2 Par exemple, r(0, T ) désignera un taux défini aujourd hui, commençant dans 2 jours et finissant à T. La période d intérêt se calculera par : Zéro-coupon On notera : fracannee(j+2,t) B(t, T ) = 1 (1 + r(t, T )) T t le prix à la date t d une unité monétaire à la date T. Notations et préliminaires 1-2

5 Changement de numéraire (1) Absence d opportunité d arbitrage Par A.O.A., on sait que si S t est le processus de prix d un actif traité sur le marché alors : [ ] [ ] S t = IE Q e RT t r s ds ST F t = IE Q Bt S B T F t T où Q est la probabilité risque-neutre et r s le taux sans risque. On peut également écrire : ds t S t = r t dt + σ dw Q t avec σ quelconque (en particulier déterministe ou non). Mesure associée à un numéraire On considère un actif traité X et on introduit la mesure Q X associée à X et définie par sa dérivée de Radon-Nikodym : Notations et préliminaires 1-3

6 Changement de numéraire (2) dq X = X T dq Ft X t B t = X T e RT t B T X t r s ds Par le théorème de Girsanov, on a la relation entre les mouvements browniens : dw QX t = dw Q t dt σx A.O.A. et changement de numéraire En effet, on peut écrire : S t X t = Si S est un actif traité, alors le processus S t X est une martingale t sous la mesure X" Q X associé au numéraire X B t 1 X t IE QB t B T S TF t=ie Q X t B TdQ dq XF t S TF t#=ie Q XS T X T F t Notations et préliminaires 1-4

7 Exemple : la mesure T -forward La mesure T -forward est la mesure associée au numéraire B(, T ). Si on note Γ(t, T ) la volatilité à la date t du zéro-coupon de maturité T, on a : dw T t := dw B(,T ) t = dw Q t dt Γ(t, T ). Notations et préliminaires 1-5

8 2 Euribor, caplets, caps Euribor, caplets, caps 2-1

9 Taux Euribor (1) Taux spot Le taux Euribor spot est le taux actuariel donné par la courbe entre aujourd hui (comprendre J+2) et la date de fin de l Euribor : δ R(0, δ) = B(0, δ) R(0, δ) = 1 ( ) 1 δ B(0, δ) 1 On peut avoir plusieurs durées : essentiellement 3M et 6M. Calcul du taux Pour calculer proprement le taux, on a besoin : d une durée δ d une convention pour calculer la période d intérêts Pour trouver la date de fin, on additionne à la date de départ la durée, en utilisant la règle modified following. Euribor, caplets, caps 2-2

10 Taux Euribor (2) Exemple : Euribor 6M Euribor 6M Début 05/04/02 05/10/02 Fin 07/10/02 03/04/02 6M δ Le 5 octobre 2002 est un samedi. Euribor, caplets, caps 2-3

11 Taux Euribor (3) Contrat forward (ou Forward Rate Agreement, FRA) Un Euribor forward de maturité T est un contrat forward sur l Euribor débutant à T (fixing à T 2J) et terminant à T + δ. La maturité T est calculée en utilisant la règle m, mais la date de référence reste la date sans modification. L expression du taux forward à la date t est : FRA(t, T, T + δ) = 1 δ ( ) B(t, T ) B(t, T + δ) 1 En particulier, le processus FRA(, T, T + δ) est une martingale sous la probabilité forward terminale Q T +δ. Euribor, caplets, caps 2-4

12 Taux Euribor (4) Exemple : Euribor 3M dans 6M Euribor 6M Date 0 05/04/02 05/10/02 Début 07/10/02 05/01/03 Fin 06/01/03 03/04/02 6M 3M δ Le 5 janvier 2003 est un dimanche. Euribor, caplets, caps 2-5

13 Caplets et Caps (1) Caplets Un caplet est une option d achat sur un Euribor forward. L option de strike K verse à la date T + δ la différence positive entre l Euribor T T + δ et K. Son prix à la date t se calcule donc par : Caplet(t, T, T + δ) = δ B(t, T + δ) IE QT +δ [ (FRA(T, T, T + δ) K) + Ft ] Comme FRA(, T, T + δ) est une martingale sous Q T +δ, si on suppose sa volatilité déterministe, le prix d un caplet est donné par la formule de Black & Scholes. Ce sont les hypothèses du modèle Libor Market Model (ou BGM pour Brace Gatarek Musiela). Euribor, caplets, caps 2-6

14 Caplets et Caps (2) Caps Un cap est une somme de caplets s enchaînant. Exemple : Cap 1Y sur Euribor 3M Euribor 3M Début 05/04/02 05/07/02 07/10/02 06/01/03 Fin 07/04/03 3M 3M 3M 3M K Le prix du cap est la somme du prix des caplets le composant. Euribor, caplets, caps 2-7

15 3 Swaps, swaptions Swaps, swaptions 3-1

16 Swaps (1) Définition Un swap est l échange de flux variables indexés sur un taux contre des flux fixes calculés à partir d un taux constant. Graphiquement : Euribor 6M Début 6M 6M 6M 6M Fin 1Y 1Y Taux fixe S Swaps, swaptions 3-2

17 Swaps (2) Construction de l échéancier Pour calculer l échéancier d un swap, on a besoin de : durée totale du swap convention pour les jours fériés branche fixe : période, base branche variable : période, base Le principe est le suivant : on calcule d abord la date théorique de fin de swap on calcule à partir de cette date de fin théorique les dates théoriques des coupons pour les deux jambes on décale éventuellement les dates théoriques pour tenir compte des jours fériés Swaps, swaptions 3-3

18 Swaps (3) Cas pratique : Swap 3Y contre Euribor 6M 1ère étape : Date de fin théorique Début 05/04/02 Fin théorique 05/04/05 1 Swaps, swaptions 3-4

19 Swaps (4) 2ème étape : Dates théoriques des coupons Début 05/04/02 05/10/02 05/04/03 05/10/03 05/04/04 05/10/04 Fin théorique 05/04/ Swaps, swaptions 3-5

20 Swaps (5) 3ème étape : Prise en compte des jours fériés Euribor 6M Début 05/04/02 07/10/02 07/04/03 06/10/03 05/04/04 05/10/04 Fin 05/04/05 Taux fixe S Swaps, swaptions 3-6

21 Swaps (6) 4ème étape : Calcul des périodes d intérêt avec les vraies dates ~ ~ ~ ~ δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 δ 5 δ 6 ~ ~ Début 05/04/02 07/10/02 07/04/03 06/10/03 05/04/04 05/10/04 Fin 05/04/05 δ 1 δ 2 δ 3 Swaps, swaptions 3-7

22 Evaluation d un swap (1) On cherche à évaluer la valeur en 0 d un swap commençant à cette date. On procède en évaluant la PV de la branche fixe puis celle de la branche variable. La PV du swap est la différence des deux PV. Branche fixe Si on note (T i, δ i ) 1 i n de la partie fixe du swap, on a en faisant abstraction du notionnel : PV fix (0, T 1 T n ) = n δ i B(0, T i ) S i=1 Swaps, swaptions 3-8

23 Evaluation d un swap (2) Branche variable On note ( T j, δ j ) 1 j m l échéancier de la partie variable du swap. La PV de la partie variable est égale à l espérance sous Q des flux actualisés, ou encore en utilisant les probabilités forward : PV var (0, T 1 T m m ) = δ j B(0, T j ) IE QeT j ( [FRA Tj 1, T j 1, T ) ] j F 0 = j=1 m j=1 δ j B(0, T j ) FRA (0, T j 1, T ) j en utilisant les propriétés de martingale des FRA. Puis avec leur définition : PV var (0, T 1 T m ) = 1 B(0, T m ) = 1 B (0, T n ) Cette valeur ne dépend pas de l échéancier de la jambe variable, mais uniquement de la date de fin. Swaps, swaptions 3-9

24 Evaluation d un swap (3) Taux de swap Le taux de swap est le taux S(0, T n ) égalisant les PV des deux branches du swap finissant en T n. En égalisant les deux expressions obtenues plus haut, on obtient : S(0, T n ) = 1 B (0, T n) n δ i B(0, T i ) i=1 Le terme n i=1 δ i B(0, T i ) peut être appelé sensibilité, level, coupon process... Swaps, swaptions 3-10

25 Taux de swap forward (1) Définition On considère un swap commençant dans le futur, à une date T. Le taux de swap forward en t est le taux S(t, T, T n ) égalisant les PV en t des deux branches du swap commençant en T et finissant en T n. En prenant l espérance des flux actualisés en t, on montre : S(t, T, T n ) = B(t, T ) B(t, T n) n δ i B(t, T i ) i=1 Swaps, swaptions 3-11

26 Taux de swap forward (2) Echéancier On calcule l échéancier à partir de la date de départ théorique. Exemple : Swap 2Y dans 1Y Date 0 05/04/02 Début 07/04/03 06/10/03 05/04/04 05/10/04 Fin 05/04/05 Départ théorique /04/03 Swaps, swaptions 3-12

27 Swaption (1) Définition Une swaption de strike K sur le swap T T n est le droit d entrer dans un swap à la date T avec un taux fixe égal à K. Deux types de swaptions : swaption payeuse : on reçoit le variable et on paye le fixe swaption receveuse : on reçoit le fixe et on paye le variable Date 0 05/04/02 Début 07/04/03 06/10/03 05/04/04 05/10/04 Fin 05/04/05 Départ théorique 05/04/03 L option est exercée une fois, au début du swap ( caps). Swaps, swaptions 3-13

28 Swaption (2) Mesure associée au swap Le prix à la date t d une swaption payeuse est donné par : Sw(t, T, T n ) = B(t, T ) IE QT [ ni=1 ] δ i B(T, T i ) (S(T, T, T n ) K) + F t On définit la mesure associée au swap Q LVL comme étant la mesure associée au numéraire : n LVL(t, T, T n ) = δ i B(t, T i ) En faisant le changement de mesure : Sw(t, T, T n ) = LVL(t, T, T n ) IE QLVL [ ] (S(T, T, T n ) K) + F t i=1 Le taux de swap forward S(, T, T n ) est une martingale sous Q LVL : sous certaines hypothèses, on peut utiliser une formule de Black-Scholes (Swap Market Model). Swaps, swaptions 3-14

29 Swaption (3) Physical settlement et Cash settlement Lorsque le swap sur lequel est écrit l option est effectivement réalisé, on parle de physical settlement. Pour des raisons pratiques, les contreparties peuvent décider de s échanger à la maturité de l option la PV du swap de strike K : elle est égale à la différence entre le taux forward et le strike, multiplié par le level. On parle alors de cash settlement. = Problème pour l évaluation des ZC On remplace les taux zéro-coupons par le taux de swap : i, B(T, T i ) 1 (1 + S(T, T n )) T i T Swaps, swaptions 3-15

30 4 Constant Maturity Swap (CMS) Constant Maturity Swap (CMS) 4-1

31 Options CMS (1) Définition Une option CMS de maturité T sur le swap T T n est une option sur la valeur du taux de swap S(T, T, T n ) à la date T. Par exemple, un CMS call verse à la date T : (S(T, T, T n ) K) +. Son prix à la date t est donc donné par : CMS call (t, T, T n ) = B(t, T ) IE QT [ (S(T, T, T n ) K) + F t ] Un CMS call (resp. put) est différent d une swaption payeuse (resp. receveuse) puisque dans un cas on paye (S K) + sous la mesure forward Q T, alors que dans l autre on paye (S K) + sous la mesure swap Q LVL. Pour passer de l un à l autre, il y a un ajustement de convexité qui correspond au drift de passage d une mesure à l autre. Constant Maturity Swap (CMS) 4-2

32 Options CMS (2) Taux CMS Le taux CMS est le taux obtenu par parité call-put appliquée aux options CMS. On obtient immédiatement : CMS(t, T, T n ) = IE QT [S(T, T, T n ) F t ] Bien entendu, on a toujours : CMS(T, T, T n ) = S(T, T, T n ) Par définition, le taux CMS est une martingale sous la probabilité forward. Il a même volatilité que le taux de swap forward. Pourquoi ne pas utiliser Black-Scholes pour calculer le prix des options CMS? = Parce qu on ne connaît pas la valeur du taux CMS aujourd hui. Constant Maturity Swap (CMS) 4-3

33 Options CMS (3) Evaluation du prix par surréplication Pay-off Pay-off CMS call Pay-off Pay-off cash-settled swaption K Taux swap K Taux swap Pay-off CMS Surréplication : w 1 Cw 1 + w 2 Cw 2 w 1 Cw 1 K = K 1 K 2 K 3 Taux swap Constant Maturity Swap (CMS) 4-4

34 Options CMS non standard Option CMS payée avec délai Une option CMS payée avec délai est une option CMS sur un swap S(T, T, T n ) payée à une date T p > T. Son prix est donc : CMS call (t, T, T n, T p ) = B(t, T p ) IE QT p [ (S(T, T, Tn ) K) + F t ] = B(t, T ) IE QT [ B(T, T p ) (S(T, T, T n ) K) + Ft ] Cap CMS Un cap CMS est un cap dont chaque caplet est une option CMS. On paye à la date T i+1 la différence positive entre le taux de swap S(T i, T i, T i + U) et un strike, U étant une constante (par ex. 10Y). Constant Maturity Swap (CMS) 4-5

35 5 Quelques produits exotiques Quelques produits exotiques 5-1

36 Flexi-caps Un flexi-cap est un cap dont seule une partie des caplets peut être exercée. Le nombre de caplets pouvant être exercés est déterminé à l avance (par exemple la moitié du nombre total). Différentes modalités d exercice : exercice dès que le caplet a une valeur intrinsèque non nulle (autocap) exercice laissé au choix du détenteur de l option (chooser-cap ou liberty-cap) Quelques produits exotiques 5-2

37 Bermudan swaptions Une Bermudan swaption est une option qui permet à son détenteur d entrer à différentes dates dans un swap jusqu à une date fixée. Les dates d exercice possibles de l option correspondent généralement à un échéancier de swap. Par exemple, si on reprend le swap 2Y dans 1Y, une Bermudan swaption permettrait : soit d entrer dans un swap 2Y le 07/04/03 soit d entrer dans un swap 1Y le 05/04/04 soit de ne rien faire Combinée avec un swap normal, une Bermudan swaption permet d obtenir un swap annulable. Quelques produits exotiques 5-3

38 Quanto swaps (1) Variable Etr. contre Fixe Dom. Exemple : Notionnel en EUR avec les flux : Libor 6M (GBP) Début 6M 6M 6M 6M Fin 1Y 1Y Taux fixe (EUR) Quelques produits exotiques 5-4

39 Quanto swaps (2) Variable Etr. contre Variable Dom. Exemple : Notionnel en EUR avec les flux : Libor 3M (GBP) Début 3M 3M 3M 3M Fin 6M 6M Euribor 6M (EUR) Quelques produits exotiques 5-5

40 6 Annexes Annexes 6-1

41 Extrait du calendrier Voici un extrait du calendrier utile pour les exemples : M J V S D L M Avril Juillet Octobre Janvier Avril Octobre Avril Octobre Avril Octobre Annexes 6-2

42 Publication de volatilités dans Alpha (1) Dans Alpha, les volatilités implicites des swaptions et de caplets se présentent sous la forme : 5Y 4Y La première colonne indique la durée du swap (1Y, 2Y,...) ou du caplet (3M ou 6M), la deuxième la maturité de l option. Le chiffre du centre (68) correspond à la volatilité absolue du produit à la monnaie, exprimée en bp. Si le taux forward du swap 2Y dans 4Y est 5.73%, la volatilité B&S que l on doit prendre pour une swaption ATM est : σ BS = = 11.9% Annexes 6-3

43 Publication de volatilités dans Alpha (2) Les chiffres de droite (88 et 0.1) permettent de calculer la volatilité pour une swaption en dehors de la monnaie. 88 serait la volatilité (absolue) de la swaption de strike : K = 5.73% = 15.73% La volatilité est interpolée linéairement entre le forward et le point donné en dehors. De même, les chiffres de gauche (148 et 0.1) permettent de trouver la volatilité d une swaption dans la monnaie. 148 serait la volatilité de la swaption de strike : K = 5.73% 0.1 = 4.27% Ce point fictif ne sert qu à donner une indication de la pente pour l interpolation linéaire. Annexes 6-4

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