Dénombrement et échantillonnage

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1 Déombremet et échatilloage Lauret DELSOL Das de ombreuses situatios o cherche à déombrer le ombre d idividus, d aimaux, de végétaux ou d objets se trouvat das ue zoe géographique doée. Il est parfois possible de faire u décompte exact des idividus. Cepedat, il est le plus souvet très difficile, voire impossible de déombrer tous les idividus e raiso de la grade étedue que l o doit cosidérer ou parce que la populatio est trop importate. Das ces situatios, o cherche plutôt à utiliser des méthodes, appelées méthodes d échatilloage, permettat d avoir ue approximatio de la taille de la populatio étudiée e observat que certais idividus ou certaies zoes géographiques. L objectif de cet atelier et de vous familiariser avec ces méthodes au travers de quelques exemples et de vous préseter les résultats mathématiques sur lesquels elles reposet. 1 Exercice itroductif Chaque participat lace 6 fois 5 dés et ote les résultats obteus. O supposera que les lacers sot idépedats et que les dés e sot pas truqués. Chaque participat compte le ombre de faces 5 ou 6 qu il a observé. Il fait égalemet la moyee des scores obteus. Comparer les résultats obteus par chacu d etre vous. D où provieet ces différeces? Lorsqu o lace u dé : quelle est la probabilité que l o tombe sur ue certaie face? quelle est la probabilité de tomber sur 5 ou 6? quel est le score moye auquel o peut s attedre? Quelle est la proportio globale de 5 ou 6 observés? Quelle est la moyee globale des scores obteus? Que remarquez-vous? Ce phéomèe, appelé loi des grads ombre est à la base de ombreuses méthodes statistiques. Supposos que l o dispose de observatios idépedates (X 1,..., X ) (appelées échatillo) d u phéomèe aléatoire X de valeur moyee m. O peut motrer de maière rigoureuse que sous des coditios géérales la moyee des (X 1,..., X ) coverge vers m lorsque ted vers l ifii. E d autres termes la valeur moyee de X qui ous est icoue peut être approchée par la moyee de observatios de ce phéomèe si est assez grad. De même, la probabilité d u évéemet peut être approchée par la proportio de fois où il a été observé au cours de observatios idépedates. E pratique, > 30 suffit assez souvet pour obteir ue boe approximatio. 1

2 Pour aller plus loi... Comme ous veos de le voir, la loi des grads ombres fourit ue méthode géérale permettat d approcher la moyee icoue m du phéomèe étudié (respectivemet la probabilité P qu u évéemet A se produise) à partir de la moyee X = 1 i=1 X i de quelques observatios idépedates de celui-ci (respectivemet la proportio p de fois où il s est produit parmi observatios idépedates). Costruites à partir d observatios de phéomèes aléatoires, os approximatios présetet ue certaie variabilité qui semble dimiuer lorsque le ombre d observatios augmete (voir les graphiques présetés). Il est doc importat de doer e plus d ue approximatio de m ou de P ue idée de la précisio de la valeur obteue. O appelle variace de os observatios l écart carré moye à la moyee défii par σ 2 1 = 1 1 (X i X) 2. O peut motrer sous des hypothèses géérales que σ 2 1 coverge vers la variace V (écart carré moye à la moyee m) du phéomèe observé et que la loi de i=1 T = X m σ 1 2 peut être approchée lorsque le ombre d observatios est assez grad par ue loi coue appelée loi ormale cetrée réduite (otée N (0, 1)) [théorème de la limite cetrale]. Le fait de coaître cette loi permet de doer des approximatios de la probabilité d évéemets tels que { T c} par la probabilité qu ue variable U de loi ormale cetrée réduite soit e valeur absolue plus petite que c. O sait par exemple que l o a P ( T 1.96) Ce résultat est itéressat car il permet de doer ce que l o appelle u itervalle de cofiace pour m, c est à dire u itervalle costruit à partir de os observatios das lequel o peut dire que m se trouve (avec u risque de 0.05 de se tromper). E effet, o a P (X σ m X + σ ) = P ( T 1.96) O peut voir que la précisio augmete lorsque le ombre d observatios croît. Ce résultat est égalemet itéressat pour costruire des tests statistique portat sur la valeur de la moyee m. 2

3 2 Echatilloage ale atoire Voici tout d abord u premier exemple das lequel o cherche a e valuer le ombre N d e rables se trouvat das ue fore t s e tedat sur ue grade superficie ( = km2 ). La carte suivate repre sete les e rables se trouvat das la zoe d e tude (image tire e de Google Maps). Pesez-vous que cela soit evisagable de de ombrer tous les e rables de cette fore t? les e rables se trouvat das diffe retes zoes d assez petite taille? O suppose que l o peut de couper la fore t e 256 zoes plus petites et de me me forme sur lesquelles o peut compter de maie re exacte le ombre d e rables. Quel est, e foctio de N, le ombre moye m d e rables par zoe? Commet pesez-vous que l o puisse doer ue approximatio de m e observat seulemet u petit ombre de ces zoes? Commet choisir les zoes a e tudier? Combie faut-il e predre? O pourrait choisir de maie re de termiiste les zoes a e tudier pre cise met. Cepedat, u choix de termiiste de celles-ci peut pre seter des de fauts. E effet, se restreidre a e tudier des zoes de fiies a priori par l observateur ou suivat ue grille re gulie re peut ameer u biais si ces zoes e sot pas repre setatives de l esemble de la fore t. Afi 3

4 de parer à ce problème, o propose souvet de réaliser u échatilloage aléatoire qui cosiste à choisir de maière aléatoire (et avec remise) les zoes à étudier. Das le cas le plus simple où l o suppose que les arbres sot répartis de maière homogèe, toutes les zoes ot la même probabilité d être observées. Decoupage de la foret e parcelles plus petites

5 O ote X i le ombre d érables se trouvat das la ième parcelle observée. Comme les parcelles sot choisies au hasard et de maière idépedates, ces X i formet u échatillo de variables idépedates dot la moyee commue est m. Grâce au phéomèe de la loi des grads ombres que ous avos observé au cours de l exercice itroductif, o sait que la moyee de ces variables doera ue boe approximatio de m. Exemples de choix aléatoires : x y x y Compter le ombre d érables se trouvat das les zoes sélectioées par cet échatilloage aléatoire. Doer ue approximatio de m à partir des doées recueillies. E déduire ue approximatio de N. ATTENTION : Il est importat de compredre qu il y a de la variabilité das les résultats obteus e foctio de l échatilloage. O peut obteir de mois bos résultats. Cepedat, o peut voir que la variabilité des résultats dimiue lorsque la taille de l échatillo augmete. =1 =25 moyee Desity Desity 0e+00 2e 04 4e 04 6e moyee = Desity Desity moyee = moyee moyee 5

6 O peut aller plus loi : calculer la variace de os observatios. doer la valeur de l itervalle de cofiace associé à m. e déduire u itervalle de cofiace pour N. Remarque : Si la répartitio des arbres est vraimet différete das certaies portios de la forêt (chagemets de reliefs, de ressources aturelles, présece d u cours d eau), il est pertiet de réaliser u échatilloage stratifié teat compte de ces variatios. 3 Méthode de capture re-capture O s itéresse à préset à ue autre méthode de déombremet, appelée capture recapture, qui est pas basée sur u choix aléatoire de parcelles. Elle peut être utilisée das des situatios pour lesquelles la répartitio des idividus est pas uiforme mais écessite que les idividus présets das ue portio de la zoe à u istat t 0 doé se soiet réparti de maière uiforme sur l esemble de la zoe étudiée au bout d u certai temps (à l istat t 0 + T ). Cette méthode a l avatage de pouvoir être utilisée das des situatios où l o est pas e mesure de compter de maière exacte les idividus présets das ue zoe doée (même si sa superficie est petite). C est otammet le cas lorsque l o souhaite doer u ordre de gradeur du ombre de poissos se trouvat das ue grade étedue d eau. Il peut être difficile voire impossible de compter le ombre exact de poissos se trouvat das ue petite portio de cette étedue d eau e raiso de la profodeur, du fait que l eau est trouble, de la fragilité des poissos,... Supposos pour simplifier les choses que l o souhaite faire subir le mois de stress possible aux poissos et que l o décide de relâcher immédiatemet toute prise. O e peut doc observer qu u poisso à la fois (cette restrictio pourrait être elevée mais cela compliquerait les calculs et les résultats). Expérimetatio et mise e pratique : Vous disposez d u récipiet coteat u certai ombre N icou d objets idetiques. Vous e pouvez sortir du récipiet qu u objet à la fois et devez mélager avat chaque tirage afi de que l objet sorti la fois précédete e se trouve pas forcémet sur le dessus. Vous avez à votre dispositio u feutre idélébile. Commet pesez-vous que l o puisse avoir ue idée du ombre total d objets présets das la boîte? A quoi peut servir le feutre? Imagios que les objets coteus das la boîte e soiet pas idetiques. Supposos qu il y ait u ombre cou N M d objets portat u sige distictif. Quelle serait la probabilité P de choisir au hasard u objet portat u sige distictif e foctio de N? 6

7 Supposos que l o fasse tirages avec remise das le récipiet e otat si l objet porte ue marque ou o. Commet peut-o doer ue approximatio p de P? Déduire de p ue approximatio de N. Reveos à otre problème cocret. Tous os objets sot idetiques. Proposer ue méthode permettat de se rameer à l étude d u récipiet coteat 20 objets marqués. [ETAPE DE CAPTURE] Mélager les objets pour modéliser la répartitio uiforme des idividus marqués das la zoe d étude. [DELAI D ATTENTE] Effectuer esuite = 40 tirages avec remise. E déduire ue approximatio de N. [ETAPE DE RECAPTURE] Il faut bie compredre ici ecore que la ature aléatoire des observatios produit de la variabilité au iveau des approximatios obteues. O voit au travers du graphique ci-dessous que de petites erreurs d approximatio cocerat la proportio p peuvet coduire à des erreurs assez importates das l approximatio de N. Cela viet du fait qu e gééral p est petit et que o obtiet ue approximatio de N e divisat N M par p. O peut cepedat motrer que cette variabilité décroît lorsque le ombre d observatios augmete. proportio p approximatio de N Cette méthode est e gééral utilisée lorsque les ombres N, N M et sot plus importats. Das ce cotexte o peut obteir de meilleurs résultats e termes d approximatio. Voici par exemple ce que l o peut obteir sur 100 echatillos e preat N = et 7

8 N M = proportio p approximatio de N Lorsque le ombre d observatio et la proportio de poissos marqués sot assez grad (c est le cas das ce derier exemple) o peut égalemet utiliser le théorème de la limite cetrale pour motrer que p (1 p ) p (1 p ) P (p 1.96 P p ) O peut voir que la précisio de l itervalle de cofiace augmete lorsque le ombre d observatios croît. Supposos que sur 1000 observatios o ait ue proportio de poissos marqués. Doer u itervalle de cofiace pour P. E déduire u itervalle de cofiace pour N. 4 Méthode du maximum de vraisemblace Ue autre méthode appelée maximum de vraisemblace peut être utilisée pour doer ue approximatio du ombre N d idividus. L idée pricipale est de choisir la valeur de N avec laquelle o a le plus de chace d obteir les observatios qui ot été faites. Preos 8

9 u exemple cocret avec peu de doées pour illustrer la méthode. O suppose que l o cherche à doer ue approximatio du ombre de rhiocéros se trouvat das ue zoe géographique assez vaste. O suppose qu ue étude préalable a motré que les rhiocéros ot chaque jour ue probabilité de 1 d aller se désaltérer à l u des rares 3 poits d eau e fi d après-midi. O propose de se redre à plusieurs reprises autour de ce poit d eau et de compter le ombre de rhiocéros que l o observe. Pour simplifier os calculs, o supposera que les rhiocéros ot des comportemets idépedats les us des autres (ce qui peut s expliquer par le fait qu ils vivet e solitaire). O suppose égalemet que les jours d étude sot choisis de maière à avoir des observatios idépedates. O fait les décomptes suivats : Nombre de rhiocéros O ote b i le ombre de rhiocéros observés le jour i. O peut motrer que le ombre de rhiocéros veat s abreuver e fi d après-midi u jour doée peut être modélisé par ue variable aléatoire B de loi Bi(N, 1 ). Par coséquet o peut doer ue expressio 3 explicite de la probabilité d avoir observé b 1,..., b 5 rhiocéros e foctio de N : ( ) 5N 2 N 4 (N 1) 2 P N (Observatios : 0, 1, 2, 2, 1) = Est-ce que N peut valoir 0 ou 1? A partir du graphique ci-dessous dire pour quelle valeur de N la probabilité est la plus forte que se produise ce que l o a observé. P(Observatios:0,1,2,2,1) N E déduire la valeur de N la plus probable à partir des doées. Cette méthode présete égalemet de la variabilité à cause de l aspect aléatoire des observatios. L ampleur de cette variabilité décroît lorsque le ombre d observatios aug- 9

10 mete. Nous e parleros pas e détail ici. O peut égalemet s itéresser à appliquer cette méthode das des cotexte différets. Imagios par exemple qu u ouveau participat arrive e fi de séace et qu il e sache pas combie de dés vous avez lacé au début. S il dispose uiquemet du ombre de 5 ou 6 observés pour chaque lacé de 5 dés, il peut utiliser la méthode du maximum de vraisemblace pour détermier à partir des observatios la valeur la plus vraisemblable de dés que vous avez jeté. E effet, ici aussi le ombre de 5 ou 6 obteus à chacu de vos lacés peut être modélisé par ue variable de loi Bi(N, 1 ), où N représete le ombre 3 icou de dés que vous avez lacé. 5 E guise de coclusio Nous avos vu différetes méthodes statistiques permettat de doer ue approximatio du ombre d idividus mais aussi de doer u ordre de gradeur de la précisio de otre estimatio. Comme ous l avos vu, le caractère aléatoire de ces méthodes amèe ue certaie variabilité de os résultats, qui dimiue cepedat lorsque le ombre d observatios augmete. Il est doc importat de predre e compte la qualité des doées (taille de l échatillo, représetativité) lorsque l o cherche à iterpréter les résultats doés par ue méthode d estimatio (par exemple u sodage). Les méthodes basiques que ous avos vues sot e gééral modifiées et complexifiées pour fourir de meilleurs résultats. 10

11 Prise de otes et calculs itermédiaires 11