MEC6212: GENERATION de MAILLAGES. Travail pratique: Génération de mailles par des équations différentielles elliptiques.

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1 MEC6212: GENERATION de MAILLAGES Travail pratique: Génération de mailles par des équations différentielles elliptiques 28 janvier 2018 Énoncé L objectif est de mailler un domaine 2D défini à partir de quatre courbes quelconques Le maillage est obtenu par la résolution des équations de mailles issues d une équation différentielle elliptique Figure 1 Maillage Elliptique 1 Ecrire une fonction winslow à partir d un algorithme basé sur cette méthode, avec le protocole d appel suivant : winslow(nbiter,omega,m,n,debutface,finface) 1

2 où : nbiter : nombre d itérations ; omega : facteur de surrelaxation ; mxn : dimensions de la discrétisation de la face Dans l exemple de la Fig 1, m = 5 et n = 3 ; debutface : indice du début des noeuds de la face ; finface : indice de la fin des noeuds de la face 2 Ecrire une fonction MaillageConvergence_40 qui affiche l historique de la convergence de la solution itérative MaillageConvergence_40(NormeXS, NormeYS) où : NormeXS : la norme L 2 du résidue de x ; NormeYS : la norme L 2 du résidue de y ; Les données NormeXS et NormeYS sont calculées dans la fonction winslow 1 Construction du domaine Cette étape se fait dans MARS 1 La géométrie comprend quatre courbes quelconques, construites dans le module Geometrie ; 2 Le domaine est borné par quatre bords définis sur ces courbes avec le module Domaine ; 3 Les bords sont discrétisés avec m et n sommets, dans les directions ξ et τ, respectivement, spécifiés dans Domaine ; Figure 2 Discrétisations des frontières du domaine 2

3 4 Ces informations constituent le point de départ de la fonction winslow, Coins : les coordonnées des quatre coins sont stockées dans les vecteurs, x(1 :nbcoin) et y(1 :nbcoin) ; Bords : les coordonnées des quatre bords suivent séquentiellement, x(inibrd1 :finbrd1) et y(inibrd1 :finbrd1) pour le premier bord, x(inibrd2 :finbrd2) et y(inibrd2 :finbrd2) pour le second bord, 5 Ces données sont accessibles dans la fonction winslow via la déclaration, global x y nbnod V 2 La fonction winslow Cette fonction, winslow(nbiter,omega,m,n,debutface,finface) résoud les équations de maille par une méthode numérique décrite à la Section 4, et donne le résultat illustré à la Fig 3 Figure 3 Calcul du maillage Cette fonction partage les variables x,y, nbnod et V avec les autres fonctions de l application MARS, global x y nbnod V global NormeX NormeY Les coordonnées des sommets intérieurs suivent séquentiellement les noeuds des bords 3

4 x et y : coordonnées des noeuds du maillage qui sont stockées suite aux coordonnées des bords, x(debutface1 :finface1) et y(debutface1 :finface1) pour la première face, x(debutface2 :finface2) et y(debutface2 :finface2) pour la deuxième face, Dans l exemple de la Fig 3, debutface=21 et finface=35 ; nbnod : nombre de noeuds du maillage Dans l exemple de la Fig 3, nbnod=finface=35 ; V : vecteur d adressage (voisinage) du ième noeud 3 Structure de données et numérotation Tous les sommets reposant sur les entités COIN, BRD et FACE sont stockés dans deux tableaux x et y, et sont regroupés selon ces types comme illustré à la Fig 4 COIN: 1:nbCOIN COIN1 COIN2 nbcoin x y BRD1: inibrd:finbrd BRD: 1:nbBRD BRD2: inibrd:finbrd nbbrd: inibrd:finbrd FACE1: debutface:finface FACE: 1:nbFACE FACE2: debutface:finface nbface: debutface:finface Figure 4 Structure de données pour les sommets du maillage 4

5 Avec cette structure, les sommets sont référencés par un seul indice, k, soit, x(k) et y(k) Cependant, la structure du résoluteur présenté à la Section 8 a été formulée en différrences finies, avec un référencement avec deux indices, soit, x(i,j) et y(i,j) Il faut donc rétablir le voisinage des noeuds (i,j) dans la numérotation k Cette correspondance est illustrée à la Figure 5 (i 1,j+1) (i,j+1) (i+1,j+1) (i 1,j) 4 3 (i+1,j) (i 1,j 1) (i,j 1) (i+1,j 1 Figure 5 Vecteur d adressage du noeud (k) <==> (i,j) Les pointeurs pour le voisinage du noeud (i, j) se trouvent dans le vecteur d adressage au tableau V(i,1 :8) 4 Modèle de maille (i,j) k V (i+1,j) ip1j V(k,3) (i-1,j) im1j V(k,4) (i,j+1) ijp1 V(k,1) (i,j-1) ijm1 V(k,2) (i+1,j+1) ip1jp1 V(k,5) (i-1,j-1) im1jm1 V(k,6) (i-1,j+1) im1jp1 V(k,8) (i+1,j-1) ip1jm1 V(k,7) Un maillage est généré dans l espace paramétrique comme un maillage régulier cartésien, et le maillage dans l espace physique est obtenu par une transformation de la forme : x i = x i (u 1,u 2,u 3 ) 5

6 y v x(u,v) y(u,v) x u On propose un modèle de maille basé sur des équations différentielles à partir d une analogie thermiquesoit un domaine borné par quatre cotés On pose que les lignes curvilignes d un maillage peuvent être obtenues comme le réseau d isothermes résultant de la solution d un problème thermique y T=0 T=0 y T=1 T=0 T=1 T=0 T=0 T=0 x x Deux cotés sont posés à un differentiel de température, tandis que les deux autres sont adiabatiques 5 Équations différentielles de maille Ainsi formulé, le problème de génération de mailles se transforme en un problème différentiel aux valeurs frontières Formellement, les coordonnées curvilignes ξ i où ξ 1 = τ et ξ 2 = η sont obtenues en résolvant le système : avec les conditions limites suivantes : 2 ξ i = 0 i = 1,2 6

7 Le long de la frontière : La variable ξ 1 La variable ξ 2 Γ 1 (premier coté) ξ 1 (x,y) = 0 ξ 2 (x,y)/ n = 0 Γ 2 (second coté) ξ 1 (x,y) = 1 ξ 2 (x,y)/ n = 0 Γ 3 (troisième coté) ξ 1 (x,y)/ n = 0 ξ 2 (x,y) = 0 Γ 4 (quatrième coté) ξ 1 (x,y)/ n = 0 ξ 2 (x,y) = 1 6 Inversion des variables Le problème est reformulé par l inversion des variables dépendantes et indépendantes du problème C est-à-dire que le problème ne sera pas résolu dans l espace physique mais plutôt dans l espace des "températures" ou plus formellement dans l espace paramètrique Ce qui revient à chercher le point (x, y) de l espace physique correspondant aux deux températures (η, τ), plutôt que résoudre les températures (η,τ) en fonction du point (x,y) Ceci équivaut à un changement de variables de τ = τ(x,y) et η = η(x,y) vers x = x(η,τ) et y = y(η,τ) Pour un problème en dimension 2, on pose x 1 = x et x 2 = y, et ξ 1 = η et ξ 2 = τ [ ] [ ] [ ] xηη xτη xττ α +2β +γ = 0 où les coefficients : y ηη y τη y ττ α = J 2 (η 2 x +η 2 y) = (x 2 τ +y 2 τ) β = J 2 (η x τ x +η y τ y ) = (x η x τ +y η y τ ) γ = J 2 (τ 2 x +τ 2 y) = (x 2 η +y 2 η) Ce système peut être exprimé sous la forme d un opérateur : où L est donné par : Lx = 0 et L = α β η2 η τ x = [ x y ] +γ 2 τ 2 7

8 7 Résolution numérique Les équations de maille forment un système couplé, nonlinéaire qui pour des conditions frontières générales ne peuvent être résolues que par des méthodes numériques La substitution des expressions aux différences divisées dans les équations de maille, L = α β η2 η τ +γ 2 τ 2 donne pour un noeud (i,j) du réseau de l espace paramétrique une relation algébrique pour les coordonnées x et y, α [x i+1,j 2x i,j +x i 1,j ]+γ [x i,j+1 2x i,j +x i,j 1 ] 2β [x i+1,j+1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 +x i 1,j 1 ] = 0 où 8 Le résoluteur α [y i+1,j 2y i,j +y i 1,j ]+γ [y i,j+1 2y i,j +y i,j 1 ] 2β [y i+1,j+1 y i 1,j+1 y i+1,j 1 +y i 1,j 1 ] = 0 α = (x i,j+1 x i,j 1 ) 2 +(y i,j+1 y i,j 1 ) 2 (2 τ η) 2 γ = (x i+1,j x i 1,j ) 2 +(y i+1,j y i 1,j ) 2 (2 τ η) 2 β = (x i+1,j x i 1,j )(x i,j+1 x i,j 1 ) (4 τ η) 2 + (y i+1,j y i 1,j )(y i,j+1 y i,j 1 ) (4 τ η) 2 Le schéma de relaxation par point consiste à corriger sucessivement les inconnues par un balayage lexicographique du domaine discret 8

9 j+1 j j 1 valeurs à l étape n + 1 valeur courante valeurs à l étape n i 1 i i+1 La fonction itérante est dérivée du système algébrique écrit au noeud (i, j) à l étape courante du processus itératif en tenant compte de l état, c-à-d valeur ancienne ou corrigée, des variables du voisinage avec les résidus : les corrections 2(α +γ ) C x i,j = R x i,j +α C x i 1,j ω β (C x i 1,j 1 C x i+1,j 1)+γ C x i,j 1 2(α +γ ) C y i,j = R y i,j +α C y i 1,j ω β (C y i 1,j 1 C y i+1,j 1)+γ C y i,j 1 R x i,j = α [x i+1,j 2x i,j +x i 1,j ]+γ [x i,j+1 2x i,j +x i,j 1 ] 2β [x i+1,j+1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 +x i 1,j 1 ] R y i,j = α [y i+1,j 2y i,j +y i 1,j ]+γ [y i,j+1 2y i,j +y i,j 1 ] 2β [y i+1,j+1 y i 1,j+1 y i+1,j 1 +y i 1,j 1 ] C x i,j = x + i,j x i,j C y i,j = y + i,j y i,j La fonction itérante est obtenue en remplaçant dans l équation discrétisée, on obtient : 2(α +γ ) C x i,j = R x i,j +α C x i 1,j ω β (C x i 1,j 1 C x i+1,j 1)+γ C x i,j 1 2(α +γ ) C y i,j = R y i,j +α C y i 1,j ω β (C y i 1,j 1 C y i+1,j 1)+γ C y i,j 1 9

10 avec les résidus : R x i,j = α [x i+1,j 2x i,j +x i 1,j ]+γ [x i,j+1 2x i,j +x i,j 1 ] 2β [x i+1,j+1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 +x i 1,j 1 ] R y i,j = α [y i+1,j 2y i,j +y i 1,j ]+γ [y i,j+1 2y i,j +y i,j 1 ] 2β [y i+1,j+1 y i 1,j+1 y i+1,j 1 +y i 1,j 1 ] 9 Algorithme global 1 Le maillage initial est obtenu par une méthode d interpolation transfinie ; 2 Les équation de mailles discrétisées sont résolues par une méthode itérative par points de Gauss-Seidel, avec ou sans surrelaxation ; 3 À chaque étape du processus, on calcule le résidu (une norme) et on pose un critère d arrêt sur les itérations ; 4 L historique de la converge est affiché 10