AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

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1 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) Note : l épreuve est composée d exercices idépedats qui peuvet être traités das u ordre idifféret. Exercice 1 U efat joue avec 20 billes, 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes das ue boite cubique et 3 rouges et 4 vertes das ue boite cylidrique. 1. Das u premier jeu, il choisit simultaémet 3 billes au hasard das la boite cubique et il regarde combie de billes rouges il a choisies. O appelle X la variable aléatoire correspodat au ombre de billes rouges choisies. a. Détermier la loi de probabilité de X. b. Calculer l espérace mathématique de X. 2. U deuxième jeu est orgaisé de telle sorte que l efat choisisse d abord au hasard ue des deux boites (probabilité idetique de tirer l ue ou l autre des deux boites), puis qu il pree alors ue bille, toujours au hasard, das la boite choisie. O cosidère les évèemets suivats : A1 : «l efat choisit la boite cubique» A2 : «l efat choisit la boite cylidrique» R : «l efat pred ue bille rouge» V : «l efat pred ue bille verte»

2 a. Calculer la probabilité de l évèemet R. b. Sachat que l efat a choisi ue bille rouge, quelle est la probabilité qu elle proviee de la boite cubique? 3. L efat reproduit fois de suite so deuxième jeu (tirage d ue bille), e remettat à chaque fois la bille tirée à sa place. a. Exprimer, e foctio de, la probabilité p que l efat ait pris au mois ue bille rouge au cours de ses choix. b. Calculer la plus petite valeur de pour laquelle p 0, 99. Exercice 2 Partie A O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle 0 ; par : f ( x) x l x. O omme sa courbe représetative das u repère orthogoal 0, i, j du pla. 1. Etudier la foctio f et tracer sa courbe représetative. 2. a. Motrer que pour tout etier aturel, l équatio f ( x) admet ue uique solutio das 0 ;. O ote cette solutio. O a doc pour tout etier aturel : l. b. Préciser la valeur de. 1 c. Démotrer que la suite est strictemet croissate. 3. a. Détermier l équatio de la tagete à la courbe au poit A d abscisse 1. b. Etudier la foctio h défiie sur ; 0 par : h ( x) l x x 1. c. E déduire la positio de la courbe par rapport à Démotrer que pour tout etier aturel o ul,. 2 Détermier la limite de la suite.

3 Partie B O cosidère ue foctio g cotiue, strictemet croissate sur 0 ; et telle que : lim g( x) et lim g( x) x 0 x O admet que l o peut, comme o l a fait das la partie A, défiir ue suite ( ) de réels tels que g( ), et que cette suite est strictemet croissate. 1. Démotrer qu ue suite croissate o majorée ted vers. 2. Motrer que la suite ( ) ted vers. Exercice Soit la suite ( u ), défiie par u 1 et par la relatio de récurrece : u 1 u a. Soit la suite ( v ) défiie pour 1 par v u : motrer que ( v ) est ue suite 5 géométrique dot o précisera la raiso. b. E déduire l expressio de v e foctio de, puis celle de u. 2. O cosidère deux dés, otés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blaches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blaches. O choisit u dé au hasard et o le lace : si o obtiet rouge, o garde le même dé, si o obtiet blac, o chage de dé. Puis o relace le dé et aisi de suite. O désige par Par Par Par A l évèemet «o utilise le dé A au A l évèemet cotraire de A '. ' R l évèemet «o obtiet rouge au R l évèemet cotraire de R '. r les probabilités respectives de Par a et a. Détermier a 1. b. Détermier r 1. ième lacer». A et R. ième lacer». c. E remarquat que, pour tout 1, R ( R A ) ( R A ), motrer que 1 2 r a. 6 3 d. Motrer que, pour tout, A ( A R ) ( A R ). 1 1

4 e. E déduire que pour tout foctio de , a 1 a, puis détermier l expressio de a e 6 3 f. E déduire l expressio de r e foctio de, puis la limite de r quad ted vers. Exercice Etudier la série de terme gééral u 1 a, avec a u ombre réel compris etre 0 et 1 iclus (idicatio : démotrer que l o peut se rameer à l étude d ue série à termes positifs et effectuer u développemet limité de u à l ordre 2) Exercice 5 1. Soit E u espace vectoriel réel de dimesio fiie. O appelle projecteur de E tout edomorphisme p de E vérifiat p 2 = p o p = p. Démotrer que p est diagoalisable. 2. Soit u, v et f trois edomorphismes de E tels qu il existe (où R désige l esemble des ombres réels) avec :, apparteat à R 2 f u v, f u v, f u v 3 2 a. Démotrer que f ( ) f f 0 b. f est-elle diagoalisable?

5 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 3 heures) Les cadidats traiterot au choix l u des trois sujets suivats. Sujet 1 Forces et faiblesses de la société démocratique (dite aussi "société ouverte"). Sujet 2 "Pas de liberté pour les eemis de la liberté" déclarait le dirigeat politique Sait-Just pedat la Révolutio Fraçaise, à l'époque de la Terreur. Que pesez-vous de cette formule? Sujet 3 La modialisatio vous paraît-elle u bie ou u mal pour l'afrique?

6 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ÉCONOMIE (Durée de l épreuve : 4 heures) Le cadidat traitera au choix l u des deux sujets suivats. Sujet 1 Mobilisez vos coaissaces théoriques pour expliquer les ejeux de la «crise» actuelle des dettes publiques européees. Sujet 2 I - Exercice de microécoomie (8 poits) Soit u producteur e cocurrece parfaite dot la foctio de productio est : f(q 1, q 2 ) = q 1 1/4 q 2 1/2 Soit p, le prix de l output, et p 1, p 2 les prix respectifs des deux iputs. 1) Quel est la ature des redemets d échelle? Iterprétez. 2) Quelle propriété importate doivet vérifier les productivités margiales e cocurrece parfaite? Est-ce le cas? 3) Après avoir rappelé sa défiitio, calculez so taux margial de substitutio techique. 4) Après avoir rappelé sa défiitio, tracez l isoquate passat par le paier (8, 4). Quelles sot ses propriétés?

7 5) Doez les coditios de maximisatio du profit, e foctio de q 1, q 2. Iterprétez. 6) Calculez les demades optimales d iputs pour des prix quelcoques. 7) Doez sa foctio d offre cocurretielle pour p 1 = p 2 = 1. Iterprétez. 8) Doer la foctio de coût (e foctio de la quatité d output), toujours pour p 1 = p 2 = 1. E déduire à ouveau la foctio d offre cocurretielle. II - Exercice de macroécoomie (6 poits) O se place das le cadre d u modèle dit «keyésie» (prix fixes et excès d offre sur le marché des bies et du travail) e écoomie ouverte e supposat ue situatio de taux de chage fixe. Ce modèle caractérise l écoomie d u «petit pays» par les trois relatios d équilibre suivates : [1] Y = c (Y T) i + i 0 + G + Z(x, Y) où Y représete le reveu, i le taux d itérêt, G les dépeses publiques, T les prélèvemets obligatoires et où c et sot deux paramètres : 0 c 1 et 0 ; où Z représete le solde de la balace commerciale (mesuré e moaie atioale), foctio du reveu Y et du taux de chage réel x (avec, où e représete le taux de chage omial coté à l icertai, P*, le prix des bies étragers e moaie étragère), soit : Z (x, Y) = ax by, a et b état deux paramètres strictemet positifs. [2] + R = Y - i où est l offre de moaie domestique, P le prix des bies domestiques et R les réserves de devises exprimées e prix domestiques ; où, et sot des paramètres : 0 1, 0 et 0. [3] R = Z(x, Y) + H où R est la variatio des réserves de devises et H le solde de la balace des capitaux supposé dépedre de l écart etre le taux d itérêt atioal (i) et le taux d itérêt «modial» (i*) : H = h (i-i*) où h est u paramètre positif ou ul. 1) Commetez les différetes relatios d équilibre (e précisat ce qu elles représetet et les hypothèses théoriques sur lesquelles elles s appuiet). (2 poits) 2) O fait l hypothèse d absece de politique de stérilisatio de la variatio de la positio moétaire extérieure. Commetez brièvemet cette hypothèse et précisez quel paramètre du modèle s e trouve affecté. (1 poit)

8 3) Quel est l impact d ue augmetatio du taux de chage réel sur le solde de la balace commerciale (explicitez votre répose)? (1 poit) 4) Quels est l impact d ue politique budgétaire expasioiste das ue situatio où les capitaux sot supposé totalemet immobiles? Vous étayerez votre répose sur ue aalyse graphique. (2 poits) III - Questios (6 poits) 1) Iovatio et destructio créatrice chez J. Schumpeter (3 poits). 2) Le travail commadé chez A. Smith (3 poits).

9 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ANALYSE D UNE DOCUMENTATION STATISTIQUE (Durée de l épreuve : 2 heures) Note : La ote fiale tiedra compte, de faço o égligeable, des commetaires demadés explicitemet. Le sujet porte sur l exame d ue partie des comptes atioaux du Maroc etre 1980 et Les tableaux sot extraits du documet établi par le Haut-Commissariat au Pla de ce pays e avril Le Produit Itérieur Brut (PIB) état utilisé pour des otios parfois différetes e comptabilité atioale, il est précisé ici que celui qui servira de référece das les calculs demadés correspod à la lige «Produit itérieur brut» des tableaux 1 et 2. Il y a doc aucu calcul à evisager pour repérer les motats du PIB. A partir du tableau 1 joit e aexe (Ressources et emplois de bies et services à prix courats base 1998), il vous est demadé de : Questio 1 Calculer l évolutio auelle moyee 1 etre 1980 et 2008 des trois grads idicateurs de la saté écoomique d u pays : a) Le Produit Itérieur Brut (PIB) b) Les importatios c) Les exportatios d) Commeter ces évolutios Questio 2 a) Calculer la part des importatios et des exportatios das le PIB e 1980 et e 2008 b) Commeter 1 Il s agit d ue moyee géométrique

10 Questio 3 a) Calculer l évolutio auelle moyee 1 du PIB sur chacue des périodes suivates : , , , , , b) Commeter Questio 4 a) Calculer le solde commercial qui est la différece etre les exportatios et les importatios e 1980, 1990, 2000, 2005 et 2008 b) Calculer la part du déficit commercial das le PIB pour les mêmes aées c) Commeter Questio 5 a) L ivestissemet est représeté par la Formatio brute de Capital Fixe, calculer sa part das le PIB pour les aées 1980, 1990, 2000 et 2008 b) Commeter Questio 6 a) A partir du tableau 2 joit e aexe (Ressources et emplois de bies et services e volume prix chaîés base 1998), calculer l évolutio auelle moyee 1 du PIB e volume sur chacue des périodes suivates : , , , , , b) Commeter e mettat e regard les doées de la questio 6a avec celles de la questio 3a Questio 7 Estimer le taux d iflatio etre 2007 et Il s agit d ue moyee géométrique

11 Tableau 1

12 Tableau 2

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