NOM : Terminale S Devoir n 2 12/10/2015. Le sujet est à rendre avec la copie

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1 NOM : Termiale S Devoir 2 2/0/20 Le sjet est à redre avec la copie. sr poits Résodre das C les éqatios sivates d icoe z : a) z i iz b) i z 2z c) z² 2z 0 d) z 0 2. sr. poit O se place das le pla complexe mi d repère orthoormé direct O,, v et o cosidère les poits A, B, C et E d affixes : za 2 i ; zb i ; zc i; ze i Jstifier qe : a) Les poits A, B et C sot aligés b) Le milie K d segmet [BC] est sr l axe des abscisses. c) OABE est parallélogramme. sr poits O cosidère la foctio f défiie por tot complexe z par z f() z. z ) Calcler f( + i). O doera l écritre algébriqe d résltat. 2) Jstifier qe tos les ombres réels, différets de, ot la même image par f ) Démotrer qe f( z) f( z) ) O pose z = x + iy avec x et y réels. O admet qe l écritre algébriqe de f(z) est : x² 6 x y² 9 2xy 6y i ( x)² y² ( x)² y² Représeter ci-cotre, e coler, l esemble des poits M d affixe z tels qe f(z) soit réel. v O. sr. poits Das je e lige, le joer doit effecter 0 parties. O sppose qe totes les parties sot idépedates et qe la probabilité, por ce joer, de gager e partie est égale à. Soit X la variable aléatoire égale a ombre de parties gagées par le joer. ) a) Jstifier qe X sit e loi biomiale et e préciser les paramètres. b) Qelle est la probabilité qe le joer gage exactemet e partie? Le résltat sera arrodi à 0 2 près. c) Détermier l espérace mathématiqe de X. 2) Le joer doit payer 0 por joer les 0 parties. Chaqe partie gagée li rapporte 8. a) Expliqer porqoi ce je est désavatagex por le joer. b) Calcler la probabilité por ce joer de réaliser bééfice spérier à 0. Le résltat sera arrodi à 0 près. Site d sjet a dos de la feille

2 . sr 7 poits Partie A O défiit les sites ( ) et (S ) par : 0 = et por tot atrel, et k S k. k0 ) O doe ci-dessos la représetatio graphiqe de la foctio f défiie par f ( x) x aisi qe la droite d éqatio y = x. a) Costrire les premiers termes de la site ( ) e laissat les traits de costrctio b) Qelles cojectres pet-o faire sr le ses de variatio et la covergece de la site ( )? c) Calcler, 2, S 0, S, S 2. 2) a) Motrer par récrrece, qe, por tot atrel, = b) E dédire la limite de la site ( ) ) a) Jstifier qe la site (S ) est croissate. b) Calcler S e foctio de c) Détermier la limite de la site (S ) Partie B Etat doé e site (x ) de ombres réels, défiie por tot etier atrel, o cosidère la site (T ) défiie par T k x. k0 k Idiqer por chaqe propositio sivate, si elle est vraie o fasse, e jstifiat. Propositio : si la site (x ) est covergete, alors la site (T ) l est assi. Propositio 2 : les sites (x ) et (T ) ot même ses de variatio

3 corrigé. a) z + i = iz (-i)z = i z = z = = z = - i. S= { - } b) O pose z = x +iy, x et y reels. - i = 2 z i(x-iy) = 2(x+iy) (2x+ y -) +i(x+2y) = 0 x = et y = -. S= { - } c) Δ = -6 ; Δ < 0 doc l éqatio admet dex soltios complexes cojgées : = - - 2i ; = - + 2i. S= {--2i ;- +2i} d) - = 0 ( )( )= 0 ( )= 0 o ( )= 0 = o = - z = o z = - o z = i o z = -i. S= {- ; ;-i ;i } 2. sr poits a) z z z i 2 i i ; z z z i 2 i i AB B A AC C A zab i ( i)( i) z i ( i)( i) AC O a z z. Les poits A, B et C sot aligés ; c est vrai.. AB AC zb zc i i b) Le milie de [BC] a por affixe zk qi est réel. Doc K est sr l axe des abscisses : 2 2 c est vrai. c) z i z doc OABE est parallélogramme. C est vrai. AB OE ) f(+ i) = = = - i. 2) Soit a ombre réel différet de. Alors, f(a) = = = -. Aisi, tos les ombres réels différets de ot por image - par f. ) O a d e part = = = et d atre part =. D où l égalité. ) f (z) est réel Im(f(z)) = 0 2xy 6y = 0 ( x)² y² 2xy -6y = 0 et ( + 0 y(2x -6) = 0 et (x ; y) ( ;0) y = 0 o x = et (x ; y) ( ;0). L esemble cherché est la réio des droites d éqatios y = 0 (axe des abscisses) et x =, privée d poit A de coordoées ( ;0) v O

4 . ) a) Chaqe je présete dex isses : gager o perdre et la probabilité de gager est. O répète cette épreve dix fois, les parties état idépedates. La variable aléatoire X, qi compte le ombre de parties gagées, sit doc e loi biomiale de paramètres = 0 et p =. 0 b) p(x = ) = = 0.9 à 0-2 près c) O sait qe lorsqe X sit e loi biomiale, so espérace est p. Ici X ) a) E moyee le joer gage 2. parties sr 0 ce qi li rapporte 8 2. = 20. Mais il a payé 0 por joer : le je est doc désavatagex por le joer. b) Por qe le joer ait bééfice de 0, compte te de sa mise de 0, il doit gager a mois 70 doc a mois 9 parties. p( X 9) p( X 9) p( X 0) ) a) b) Il semble qe la site ( ) soit décroissate et coverge vers c). ; S ; S. 6. ; S ) a) O vet motrer qe, por tot atrel,, = Iitialisatio : por = 0. 0 = et 2. La propriété est vraie por = 0. 0

5 Hérédité : o admet qe la propriété est vraie por atrel c'est-à-dire qe, = récrrece) et o vet motrer q elle est alors vraie por le sivat. O vet doc motrer qe O sait qe + = par défiitio de la site doc + = 2 e tilisat l hypothèse de récrrece d où 2 2 : la propriété est héréditaire. Coclsio : o a démotré, par récrrece, qe, por tot atrel,, = (hypothèse de 2 b) lim 0 car doc lim 2 0 d où lim ) a) S S 0... ( 0... ) 2 0 La site (S ) est doc croissate. Atre méthode : comme somme de positifs, est positif por tot. Por passer de S à S + o ajote positif doc S + S et la site est croissate. b) S : o recoaît la somme de termes coséctifs d e site géométriqe de premier terme 2 et de raiso et la somme de ( +) termes tos égax à. 2 S 2 ( ) 6 c) Comme, lim 0 et lim 6 doc lim S Partie B La propositio est fasse : la partie A os forit cotre exemple pisqe la site ( ) coverge vers alors qe la site (S ) diverge vers +. O a cojectré qe la site ( ) était décroissate. Démotros le : + = Cette différece est égative, por tot atrel, doc la site ( ) est décroissate. Or, o a démotré qe la site (S ) est croissate. Ce cotre exemple prove qe la propositio 2 est fasse. O pet trover d atres cotre exemples qe cex là.

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