NOM : Premières S A B Devoir n 4

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1 NOM : Premières S A B Devoir n EXERCICE points 5 Répondre aux premières questions directement sur cette feuille, par simple lecture graphique, et sans justification. On a tracé ci-contre la courbe (C) représentation graphique d une fonction f définie sur R ainsi que deux de ses tangentes (en pointillées).. Compléter : f() = f () = f (0) = On donne f () =. Tracer la tangente à (C) au point d abscisse en laissant les traits de construction. -. Résoudre - -. On précise maintenant que f. Vrai ou faux : la tangente à la courbe au point d'abscisse,5 passe par l'origine du repère. Justifier. EXERCICE.5 point Dans cet exercice, on ne demande aucune justification. Répondre directement sur cette feuille. On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction f définie et dérivable sur [ ; 5] x 0 5 variations 6 de f -0 - ) Quel est le signe de f (x) sur l intervalle ]0 ;5[? ) Donner une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse. ) On précise que l équation f(x) = 0 admet pour ensemble solution Donner l ensemble de définition de f 8 S ;9; EXERCICE.5 points Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes (sans se préoccuper de l ensemble de dérivabilité): Suite du texte au dos de la feuille

2 EXERCICE.5 points Soit f la fonction définie sur par (D) la droite d équation y9x dans le même repère. ) Calculer f (x) ) Etudier le signe de f (x) ) En déduire le tableau de variations de f ) Etudier la position relative de (D) et (C) 5) La droite (D) est-elle tangente à (C)? f ( x) x x 9x, (C) sa représentation graphique dans un repère et EXERCICE 5 point R.O.C. : en utilisant le taux d accroissement, justifier que la fonction carré est dérivable sur et que sa fonction dérivée est la fonction x x EXERCICE 6.5 points Soit a un réel donné et f la fonction définie sur par f ( x) ax x x Peut-on trouver un réel a tel que la fonction f soit strictement croissante sur? EXERCICE 7 6 points La figure donnée ci-dessous peut être utilisée pour vérifier les résultats mais elle ne peut pas servir de justification. Le plan est muni d un repère orthonormé (O,I,J) On considère les points A(- ;), B( ;), C( ;5), D(- ;0) et F(-,-). Justifier que les points A, B et C sont alignés.. Montrer que F est le symétrique de A par rapport à D.. Soit G le point défini par FG FC. Calculer les coordonnées de G.. Les droites (BG) et (AD) ont-elles parallèles? 5. Les droites (AG), (DC) et (BF) sont-elles concourantes?

3 y Corrigé de l exercice. Compléter : f() = 0 ; f () = ; f (0) = points. voir ci-contre. Résoudre S = [0 ;] [ ; +[ x. f. f ( x) x² 6x f (,5) =- 0.5 f(,5) = 0.75 La tangente à la courbe au point d abscisse,5 a pour équation : y f '(.5)( x.5) f (,5) 0.5( x.5) x x Cette droite a 0 pour ordonnée à l origine, elle passe donc par l origine du repère. L affirmation est vraie. Corrigé du n ) + car la fonction f est croissante sur cet intervalle ) y = 6 car la tangente en ce point est horizontale et passe par un point d ordonnée 6. 8 ;9 ) D = ;5 f car est définie là où f est définie et positive ou nulle. pts Corrigé de l exercice f ( x) 6x 5 forme u avec u = x - ; u = ; v = 5x ; v = 5 v (5x ) 5(x ) 0x 6 0x 5 g'( x) (5x )² (5x )² (5x )² pts forme v avec v = x² + x ; v = x + (x ) x h'( x) ( x² x)² ( x² x)² i'( x) x 6 x² x² x

4 Corrigé du n Soit f la fonction définie sur par et (D) la droite d équation y9x dans le même repère. ) f ( x) x² 6x 9 f ( x) x x 9x, (C) sa représentation graphique dans un repère ) f (x) est un polynôme du second degré ; = ; Deux racines : et x signe de f (x) variations de f -8 ) Pour étudier la position relative de (C) et (D) on étudie le signe de la différence d( x) f ( x) (9x ) x x x²( x ) x signe de x² signe de x + 0 signe de d(x) Sur ], [ (C) est au-dessus de (D) ; sur ] ; 0[ et ]0 ;+[, (C) est au-dessous de (D) ; (C) et (D) sont sécants aux points d abscisse et 0 5) (D) ne peut être tangente à (C) qu en un de leurs points communs. f ( ) = 0 : (D) n est pas tangente à (C) en ce point f (0) = 9 qui est le coefficient directeur de (D) donc (D) est tangente à (C) au point d abscisse 0..5 pts Corrigé du n 5 : voir le cours point Corrigé du n 6. Soit a un réel donné et f la fonction définie sur par f x ax x x ( ) Pour que f soit strictement croissante sur il faut que f (x) soit positif pour tout réel x. f ( x) ax² x : Premier cas : a n est pas nul. Alors f (x) est un polynôme du second degré. Pour qu il soit positif sur, il faut qu il n y ait aucune racine ou une seule et il faut de plus que le coefficient de x² soit positif strictement. On doit donc avoir : 0 et a > 0. 6 = 6 + a. 0 6 a 0 a a Il est impossible que a soit en même temps strictement positif et inférieur à. Deuxième cas : a = 0. Alors f ( x) x qui n est pas de signe constant sur. Il est donc impossible de trouver un réel a tel que cette fonction soit croissante sur..5 pts

5 Corrigé du n 7. Le plan est muni d un repère orthonormé (O,I,J) On considère les points A(- ;), B( ;), C( ;5), D(- ;0) et F(-,-) 6 points ) xb xa 6 AB donc AB et AC yb ya On remarque que AC AB donc AC et alignés. AB sont colinéaires donc les points A, B et C sont ) On calcule les coordonnées du milieu de [AF] : xa xf ya yf 0 x et y 0 On retrouve les coordonnées de D : D est le milieu de [AF] donc F est le symétrique de A par rapport à D. ) ( ) 8 FC donc FC d'où FC ; 5 ( ) xg xg FG FC. Le point G a pour coordonnées 8 yg yg 5 8 ; ) 5 8 BG ; donc BG ; x y y x ( ) 0 BG AD BG AD donc (BG) et (AD) sont parallèles. et AD; BG et AD sont colinéaires. Par suite, les droites 5) On détermine une équation de la droite (DC) sous la forme y = ax + b : yc yd 5 coefficient directeur a donc y = x + b x x 5 C D D (CD) d où : 0 = + b b = La droite (DC) a pour équation : y = x + On détermine de même une équation de la droite (BF) : 6 a et avec B : +b = b = La droite (BF) a pour équation : y = x +. Les droites (BF) et (CD) n ont pas le même coefficient directeur : elles sont donc sécantes. Soit H leur point d intersection. Les coordonnées de H sont solution du système formé par les équations : y x 5 5 x x x x D'où on déduit : y. Donc ; y x H. On regarde maintenant si les points A, G et H sont alignés : 5 8 AG ; donc AG ; et 5 7 AH ; donc AH ; 7 x y y x 0 : les vecteurs AG et AH sont colinéaires. AG AH AG AH Par conséquent, le point H est aussi sur la droite (AG) et les trois droites (AG), (BF) et (CD) sont concourantes..5