Exercice 1 : Probas, intervalles fluctuation (Amérique Sud Novembre 2013 avec un algo intervalle fluctuation en plus)

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1 TS Bac blanc Exercice : Probas, intervalles fluctuation (Amérique Sud Novembre 0 avec un algo intervalle fluctuation en plus) Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 0 4 près En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 0 % L étude a également permis de prouver que 0 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale On choisit au hasard une personne dans la population française et on considèe les évènements : M : "La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme " C : "La personne est victime d un accident cardiaque au cours de sa vie " ) a) Montrer que PM C 0, 0 b) Calculer PC ) On choisit au hasard une victime d un accident cardiaque Quelle est la probabilité qu elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme? La sécurité sociale décide de lancer une enquète de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population française On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme ) Définir la loi de la variable aléatoire X ) Déterminer PX 5 ) Déterminer la probabilité que 0 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme Partie C ) Compléter l algorithme suivant afin qu il affiche l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95 % Variables p réel n entier Début algorithme Lire p Lire n Si n et np et n p Alors p p p a n b

2 Afficher intervalle [a ; b] Sinon Afficher : FinSi Fin algorithme ) On considère la variable aléatoire F, définie par F 400 X, X étant la variable aléatoire de la partie B Faire tourner l algorithme pour déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 % ) Dans l échantillon considéré, 60 personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme Qu en pensez-vous? Exercice : espace (Nouvelle Calédonie mars 04) Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB, AD et AE On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments CD, EF et AB On note Q le point défini par AQ AD FIGURE On appelle plan médiateur d un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu L objectif de l exercice est de déterminer les coordonnées du centre d une sphère circinscrite au tétraèdre ABIJ (c est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J) L espace est rapporté au repère orthonormal A; AP; AQ; AE ) Justifier que les quatre points A, B, I, J ne sont pas coplanaires ) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur P du segment AB ) Soit P le plan d équation cartésienne y z4 0 Montrer que le plan P est le plan médiateur du segment IJ 4) a) Démontrer que les plans P et P sont sécants b) Montrer que leur intersection est une droite dont une représentation paramétrique est : x y t z t 4 où t décrit l ensemble des nombres réels c) Déterminer les coordonnées du point de la droite tel que A I d) Montrer que le point est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ Exercice : fonctions (Liban 0) Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction f k définie sur par f k x e kx Le plan est muni d un repère orthonormé O, i, j Dans cette partie on choisit k On a donc, pour tout réel x, f x e x La représentation graphique C de la fonction f dans le repère O, i, j est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie )Déterminer les limites de f x en et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus e x ) Démontrer que, pour tout réel x, f x e x

3 ) On appelle f la fonction dérivée de f sur Calculer, pour tout réel x, f x En déduire les variations de la fonction f sur 4) On définit le nombre I 0 f xdx Montrer que I ln e Donner une interprétation graphique de I Dans cette partie, on choisit k et on souhaite tracer la courbe C représentant la fonction f Pour tout réel x, on appelle P le point de C d abscisse x et M le point de C d abscisse x On note K le milieu du segment MP ) Montrer que, pour tout réel x, f x f x ) En déduire que le point K appartient à la droite d équation y ) Tracer la courbe C sur l ANNEXE, à rendre avec la copie 4) En déduire l aire, en unités d aire, du domaine délimité par les courbes C, C l axe des ordonnées et la droite d équation x Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse ) Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction f k est strictement comprise entre les droites d équations y 0 et y ) Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction f k est strictement croissante ) Pour tout réel k 0, f k 0, 99 Annexe Exercice 4 : complexes, suites, algo (Antilles juin 0) On considère la suite z n à termes complexes définie par z 0 i et, pour tout entier naturel n, par z n z n z n Pour tout entier naturel n, on pose: z n a n ib n, où a n est la partie réelle de z n et b n est la partie imaginaire de z n Le but de cet exercice est d étudier la convergence des suites a n et b n

4 ) Donner a 0 et b 0 ) Calculer, puis en déduire que a ) On considère l algorithme suivant : et b a) On exécute cet algorithme en saisissant N Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l état des variables au cours de l exécution de l algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 0 4 près) K A B b) Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? ) Pour tout entier naturel n, exprimer z n en fonction de a n et b n En déduire l expression de a n en fonction de a n et b n, et l expression de b n en fonction de a n et b n ) Quelle est la nature de la suite b n? En déduire l expression de b n en fonction de n, et déterminer la limite de b n ) a) On rappelle que pour tous nombres complexes z et z : zz z z (inégalité triangulaire) Montrer que pour tout entier naturel n, z n z n b) Pour tout entier naturel n, on pose u n z n Déterminer u 0 n Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n En déduire que la suite u n converge vers une limite que l on déterminera c) Montrer que, pour tout entier naturel n, a n u n En déduire que la suite a n converge vers une limite que l on déterminera Exercice 4 : spé (Antilles sept 0) 4

5 On considère l algorithme suivant : A et X sont des nombres entiers Saisir un entier positif A Affecter à X la valeur de A Tant que X supérieur ou égal à 6 Affecter à X la valeur X - 6 Fin du tant que Afficher X Qu affiche cet algorithme quand on saisit le nombre? Qu affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55? Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme? On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) : étape : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On obtient une matrice colonne correspond à la deuxième lettre du mot où correspond à la première lettre du mot et étape : est transformé en tel que 5 La matrice C 5 est appelée la matrice de codage étape : est transformé en tel que étape 4 : correspondance donné dans l étape :6 avec::0 5 :6 avec::0 5 est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de 5

6 Exemple : RE DP Le bloc RE est donc codé en DP Justifier le passage de 7 4 à 55 9 puis à 5 Soient, :, :, : quatre nombres entiers compris entre 0 et 5 tels que et sont transformés lors du procédé de codage en a Montrer que b En déduire que 6 et 6 puis que et On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP : a Vérifier que la matrice C 5 est la matrice inverse de C b Calculer tels que 5 5 c Calculer tels que 6::avec:0 5 6::avec:0 5 d Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer? Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage On considère un bloc de deux lettres et on appelle et les deux entiers compris entre 0 et 5 associés à ces lettres à l étape On cherche à trouver deux entiers et compris entre 0 et 5 qui donnent la matrice colonne procédé de codage Soient et tels que C où C par les étapes et du 5 Soient et, les nombres entiers tels que 6:avec:0 5 6:avec:0 5 Montrer que Conclure 4 Décoder QC