11 G 18bis A 01 Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

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1 UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 11 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 55-DAKAR-Fann-Sénégal Serveur Vocal: Téléfa (1) Tél : M A T H E M A T I Q U E S 11 G 18bis A 1 Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff 8 Les calcularices élecroniques non imprimanes avec enrée unique par clavier son auorisées Les calcularices permean d afficher des formulaires ou des racés de courbe son inerdies Leur uilisaion sera considérée comme une fraude(cfcirculaire n 599/OB/DIR du ) CORRECTION 1 1 CORRECTIONS 1 u = 7, u 1 = 77, u = 7, u 4 = 677 Conjecurons que les deu derniers chiffres de u n son 7 ou 77 Puisque le premier erme u es un enier, on monre facilemen par récurrence que pour ou n N, u n es un enier On a pour ou n N : u n+ = 3 u n+1 4 = 3 (3 u n 4) 4 = 9 u n 16; donc u n+ u n = 8 u n 16 = 8( u n ) Ainsi u n+ u n es un muliple de 8; ce qui se radui par u n+ u n [8] En prenan pour n un enier pair p, p N cee relaion se radui par u (p+1) u p [8] c es à dire en posan pour ou p N : u p = a p : a p+1 a p [8] Deu ermes consécuifs de la suie (a p ) son donc congrus modulo 8; donc ous les ermes son congrus au premier erme a = u = 7 qui lui-même es congru à 3 Conclusion u n 3 [8] En prenan pour n un enier impair p+1, p N cee relaion se radui par u (p+1)+1 u p+1 [8] c es à dire en posan pour ou p N : u p+1 = b p : b p+1 b p [8] Deu ermes consécuifs de la suie (b p ) son donc congrus modulo 8; donc ous les ermes son congrus au premier erme b = u 1 = 77 qui lui-même es congru à 5 Conclusion u n+1 5 [8] 3 On a pour ou n N : v n+1 = u n+1 = 3u n 6 = 3(u n ) = 3v n La suie (v n ) es donc géomérique de raison 3 e de premier erme v = u = 5 Par conséquen, pour ou n N : v n = 3 n v c es à dire u n = n ou u n = n 4 De cee relaion on dédui u n 54 = 5(3 n 1), ce qui enraîne : u n 54 [5] De plus (3 n 1) es pair parce que 3 n es impair; donc u n 54 es un muliple de 5 = 1 c es à dire u n 54 [1] Cee dernière relaion se radui par : il eise un enier q el que u n = 54+1p soi, u n = 7 + 5p Le nombre 5p se erminan par 5 ou 1, le nombre u n se ermine par 7+5 = 77 ou 7+ = 7 5 Remarquons d abord que u n es impair parce que son écriure décimale se ermine par 7; donc ous ses diviseurs son impairs Soi d un diviseur commun posiif de u n+1 e u n Il eise deu eniers p e q (dépendan de n) els que u n+1 = pd e u n = qd 1

2 M A T H E M A T I Q U E S /11 11 G 18 bis A 1 La relaion u n+1 = 3u n 4 qui défini la suie (u n ) devien d(3q p) = 4 Ainsi d, qui es un nombre impair, divise 4 c es à dire d = 1 e u n+1 e u n son bien premiers enre eu On peu aussi dire : Si a e b son deu eniers els qu il eise deu eniers q e r avec a = bq+r alors a b = b r e l écriure u n+1 = 3u n 4 monre que u n+1 u n = u n 4 = 1 la dernière égalié provenan de ce que les seuls diviseurs posiifs de 4 son 1, e 4 e u n es impair CORRECTION 1 a) Pour monrer que f es une isomérie, il suffi de vérifier qu elle conserve la disance Soien M( M,y M,z M ) e N( N,y N,z N ) deu poins quelconques de E em ( M,y M,z M ) e N ( N,y N,z N ) leurs images respecives par f c es à dire M = y M y M = z M +1 z M = M 1 e N = y N y N = z N +1 z N = N 1 Alors M N = ( N M ) +(y N y M ) +(y N y M ) = (y N y M ) +(z N z M ) +( N M ) = MN Un poin M(,y,z) de E es invarian si e seulemen si f(m) = M c es à dire = y y = z +1 z = 1 Ce sysème es donc équivalen à = y = z +1 On reconnaî là un sysème d équaions d une droie L ensemble des poins invarians par f es la droie d équaions : = y = z +1 Le poin A apparien manifesemen à cee droie puisque A = y A = z A +1 Le poin B(1,1,) apparien aussi à cee droie puisque B = y B = z B +1 Le veceur u = AB(1,1,1) es donc un veceur direceur de cee droie L ensemble des poins invarians par f es bien la droie On peu aussi rouver un veceur direceur de en paran d une représenaion paramérique de Prenons z comme paramère La relaion = y = z +1 es équivalene à = +1 y = +1 z = ; R Le veceur u(1,1,1) es donc un veceur direceur de cee droie Ean donné que le poin A apparien à P, pour prouver que le poin I apparien à P, il suffi d éablir que AI es orhogonal à u c es à dire AI u = AI ayan pour coordonnées ( 1,,1) on a bien : AI u = = I = y I = a) I = f(i) a pour coordonnées y I = z I +1 = 1 z I = I 1 = Ean donné que le poin A apparien à P,

3 M A T H E M A T I Q U E S 3 /11 11 G 18 bis A 1 3 pour prouver que le poin I apparien à P, il suffi d éablir que AI es orhogonal à u c es à dire AI u = AI ayan pour coordonnées (,1, ) on a bien : AI u = = On peu aussi donner une équaion de P e éablir que les coordonnées des poins I e I vérifien cee équaion Puisque le veceur u es normal à P, une équaion carésienne de P sera de la forme +y +z +d = Dire que A apparien P signifie alors que 1+d = c es à dire d = 1 f éan une isomérie de l espace don l ensemble des poins invarians es la droie 3, elle es une roaion d ae Son angle a pour mesure θ = ( AI, AI ) Or AI AI = AIAI cosθ; AI a pour coordonnées ( 1,,1) e AI a pour coordonnées (1,, 1) Donc 1 = cosθ c es à dire cosθ = 1 ; on peu donc prendre θ = π 3 ou θ = π 3 (selon l orienaion de ) 4 a) Noons Q 1 l ensemble des poins M de E d images M els que le milieu J de [MM ] apparien au plan Q d équaion +y z = = y Soi M(,y,z) unpoinde E e M (,y,z ) sonimageparf c es àdire y = z +1 z = 1 Les coordonnées du milieu J de [MM ] son J = 1 (+ ), y J = 1 (y +y ) e z J = 1 (z +z ) J = 1 (+y), y J = 1 (y +z +1) e z J = 1 (z + 1) Donc M Q 1 J Q (+y)+(y +z +1) (z + 1) = +3y + = L ensemble des poins M de E d images M els que le milieu J de [MM ] apparien au plan Q d équaion +y z = es donc le plan d équaion +3y + = b) Noons D 1 l ensemble des poins M de E d images M els que le milieu J de [MM ] apparien à la droie (D) d équaions = y = z Soi M(,y,z) un poin de Q 1 e M (,y,z ) son image par f Les coordonnées du milieu J de [MM ] son J = 1 ( + y), y J = 1 (y + z + 1) e z J = 1 (z + 1) Donc M D 1 J (D) { +y = y +z +1 = z + 1( ) z 1 = +y + =

4 4M A T H E M A T I Q U E S 4 /11 11 G 18 bis A 1 L ensemble des poins M de E d images M els que le milieu J de [MM ] apparien { à la droie (D) d équaions = y = z es donc le droie d équaions z 1 = y = La relaion ( ) consiue aussi un sysème d équaions de nore ensemble! PROBLEME (1 ps) Parie A 1 a) La foncion f éan coninue dans l inervalle fermé borné I, es bornée (e aein même ses bornes) Il eise donc un réel K > el que pour ou I, f () K Alors (a ) f () d signe(a) (a ) f () d Msigne(a) (a ) d = 1 [ ] a 3 Msigne(a) (a ) 3 = 1 3 Msigne(a)a3 = 1 3 M a 3 Ensuie 1 (a ) f () d 1 a 3 M a a 1 e (Théorème des gendarmes) : lim a a b) La dérivée de f g f g es (a ) f () d = ( f g f g ) = f g +f g (f g +f g ) = f g f g En inégran cee relaion de à a on obien : ) () ( ) (f g f g d = f ()g () f ()g () d c es à dire la relaion demandée [ ] a f ()g () d = (f g f g )() + On prend g() = 1 6 (a )3 f ()g () d a) g () = 1 (a ), g () = a e g () = 1, e la relaion précédene devien : f () d = [ ] a (f g f g )() + En remarquan que g e g s annulen au poin a : f ()g () d

5 M A T H E M A T I Q U E S 5 /11 (f(a) f()) = (f ()g () f ()g ()) 1 11 G 18 bis A 1 5 (a ) f () d Ilnereseplusqu àremplacerg ()eg ()parleursvaleursrespecives 1 a eapouravoir la relaion demandée f(a) = f()+f ()a+ 1 f ()a + 1 (a ) f () d b) Appliquons le résula précéden à la foncion f définie par f() = e Toues les dérivées de f en son égales à e ; donc oues les dérivées de f en son égales à 1 La relaion précédene devien alors : e a = 1+1a+ 1 1a + 1 (a ) e d e a a 1 c es à dire = 1 a + 1 (a ) e d e la quesion 1 perme de conclure, a puisque la foncion e es bornée dans [ 1,1] : lim a e a a 1 a = 1 + lim a 1 a (a ) e d = 1 3 a) lim() = lim = 1 = (), donc la foncion es coninue au poin e 1 lim() = lim()e = 1 = y(), donc la foncion y es coninue au poin Regardons le au d accroissemen τ 1 de au poin, τ 1 () = () () = e +1 (e 1) = e 1 e 1 Le premier faceur de ce dernier membre a pour limie 1 quand end vers d après l applicaion Le deuième faceur a pour limie 1 quand end vers Donc es dérivable au poin e () = 1 Regardons le au d accroissemen τ de y au poin, τ () = y() y() = ()e 1 = () e 1 + () 1

6 6M A T H E M A T I Q U E S 6 /11 11 G 18 bis A 1 Puisque () a pour limie 1 quand end vers, τ () a pour limie = 1 quand end vers Donc y es dérivable au poin e y () = 1 b) La angene à G au poin A(1, 1) es la droie passan par A e de veceur direceur le veceur de coordonnées ( 1, 1 ) Parie B 1 a) Pour simplifier, nous allons poser u n = e+ 1 n Lafoncionf 1 : e es dérivable sur Re R, f 1 () = e ; lafoncionf : es dérivable sur R + e R +, f () = 1 Comme f égale f 1 f u n f, elle es dérivable sur R + e ) R +, f () = f 1 (f ())f () u n f () = f () (f 1 (f ()) u n R +, f () = 1 (e ) u n Pour éudier la dérivabilié de f n à droie en, regardons le au d accroissemen τ() = f() f(), > τ() = e u n 1 Posons a = Alors quand end vers +, a aussi end vers + e τ() = ea u n a 1 a = ea a 1 + (1 u n) a a Dans le dernier membre de cee relaion, le premier erme a pour limie 1 d après la parie A; le deuième erme a pour limie Donc lim τ() = + La foncion f n n es donc pas dérivable au poin e de plus au poin de C fn d abscisse (c es le poin de coordonnées (, 1)) il y a une demi-angene vericale Remarque 1 Pour éudier la dérivabilié de f n en, on uilise souven le héorème suivan : Théorème 1 Soi f une foncion définie e coninue sur un inervalle I, dérivable sur I sauf peu-êre en un poin a de I Alors (i) Si f a une limie l quand end vers a, alors f es dérivable en a e f (a) = l (ii) Si f a pour limie + ou quand end vers a, alors f n es pas dérivable en a e de plus au poin de C f d abscisse a il y a une angene vericale

7 M A T H E M A T I Q U E S 7 /11 11 G 18 bis A 1 7 Dans le cas présen, >, f n () = 1 (e u n ) e en posan comme précédemmen a =, on a : >, f n () = 1 e a u n a = 1 e a 1 a u n a a + 1 = b) Au voisinage de +, on a un indéerminaion de la forme + Pour lever cee indéerminaion écrivons : f n () = ( e u n ), puis en posan oujours a =, ( e a ) f n () = a a u e a n Comme lim = +, il vien lim a + a f n() = + a + On a aussi f ( n() e a = a u ) n f n () puis lim = + a + Pour > on a : Voici le ableau de variaions de f n f n () > e u n > e > u n > lnu n > (lnu n ) f n() f n α n 1 (lnu n ) n u n (1 lnu n ) β n c) E voici la courbe C 1 e ses angenes vericale e horizonale 1 α β 1 1 a) Puisque u n es sricemen supérieur à e,lnu n es sricemen supérieur 1; donc f((lnu n ) ) = u n (1 lnu n ) es sricemen négaif Comme f() = 1 es sricemen posiif, d après le héorème des valeurs inermédiaires, l équaion f n () = adme dans ],(lnu n ) [ une soluion unique α n

8 8M A T H E M A T I Q U E S 8 /11 11 G 18 bis A 1 De même, lim f n() = + perme d affirmer d après ce même héorème que l équaion + f n () = adme dans ](lnu n ),+ [ une soluion unique β n 1 < (lnu n ) e f n (1) = 1 n < = f n(α n ) enraîne α n < 1 car f n es sricemen décroissane dans [1,(lnu n ) ] Ainsi on a bien α n < 1 < (lnu n ) < β n b) Pour que la formule d inégraion par paries puisse êre appliquée, v doi êre el que uv = e, ce qui nécessie v = e ( ou v = e ) On peu donc prendre v = e La formule donne alors b e d = [ uv ] b b 1 e d Finalemen c) On a b = [ uv ] b b = [ uv v ] b b Par conséquen v d e d = +e b ( b 1) b 1 [ 3 d = d = 3 b ] b = [ ] b 3 = 3 b b f() d = +e b ( b 1) 3 u nb b La relaion f n (α n ) = se radui par e α n u n αn = c es à dire e α n = u n αn Donc I n = = +e α n ( α n 1) 3 u nα n αn = +u n αn ( α n 1) 3 u nα n αn ( αn I n = +u n αn 1 ) 3 α n 1 3 Pour ou R e +, on pose ϕ() = a) La foncion ϕ es coninue e dérivable dans R +, e R +, ϕ () = 1 e Le signe de ϕ () es donc celui de 1 Voici le ableau de variaions de ϕ

9 M A T H E M A T I Q U E S 9 /11 11 G 18 bis A 1 9 ϕ () ϕ + + e La foncion ϕ es coninue e sricemen décroissane dans V 1 Sa resricion à V 1 es donc une bijecion h 1 de V 1 dans ϕ(v 1 ) = W = [e,+ [ La foncion ϕ es coninue e sricemen croissane dans V Sa resricion à V es donc une bijecion h de V dans ϕ(v ) = W b) La relaion f n (α n ) = se radui par e α n u n αn = c es à dire e α n αn = u n ou, puisque α n apparien à V 1, u n = h 1 (α n ) On en dédui, puisque h 1 es une bijecion : α n = h 1 1 (u n ) La foncion h 1 éan coninue e la suie (u n ) convergene de limie e, la suie (α n ) es convergene e de limie h 1 1 (e) = 1 ( αn Sachan que la suie (α n ) es convergene, la relaion I n = +u n αn 1 ) 3 α n 1 monre que la suie (I n ) es aussi convergene e de limie +e1( ) = 3 e c) Le même raisonnemen monre que la suie (β n ) es convergene e de limie h 1 (e) = 1 4 a) Les relaions e α n αn = e β n βn = u n monren que ϕ( α n ) = ϕ( β n ) c es à dire, puisque α n V 1 e β n V, h 1 ( α n ) = h ( β n ) ou, β n = h 1 h 1 ( α n ) = h( α n ) le poin M n apparien bien au graphe de h b) Soi un réel { { Dh1 V1 D h h 1 () D V h 1 h 1 () V 1 Lorsque end vers,h 1 () = ϕ() end vers + Lorsque end vers +,h 1 () end vers + donc lim h() = + Lorsque end vers 1,h 1 () = ϕ() end vers e Lorsque end vers e,h 1 () end vers 1 donc lim 1 h() = 1 La foncion h es décroissane car elle la composée de la foncion décroissane h 1 par la foncion croissane h 1

10 1M A T H E M A T I Q U E S 1 /11 11 G 18 bis A 1 c) La foncion h 1 es dérivable sur ],1[ car c es la resricion de ϕ à V 1 La foncion h 1 es dérivable sur ]e, + [ car h es dérivable sur V ( c es la resricion de ϕ à V,) e sa dérivée ne s annule pas dans ]1, + [ Donc h = h 1 h 1 es dérivable dans ],1[ Pour ou apparenan à V 1 on a ϕ[h()] = h [h()] car h() V = h [h 1 h 1 ()] = h 1 () = ϕ() car V 1 Remarquons que R +, = ϕ () = 1 e = 1 ϕ () En dérivan par rappor à la relaion ϕ(h()) = ϕ(), pour ], 1[ on obien : ], 1[, ϕ (h())h () = ϕ () c es à dire ], 1[, h () = ϕ () ϕ (h()) = 1 = 1 ϕ() h() h() 1) h() (h() 1) ϕ(h()) car ϕ() = ϕ(h()) 5 La angene au poin A a pour pene h (,4) =,4 1 h(, 4),4 h(,4) 1 = 3 Une équaion de cee angene es donc y = 3(,4)+ Finalemen T A : 3+3, La angene T B es déjà déerminée dans la parie A puisque G = C h

11 M A T H E M A T I Q U E S 11 / G 18 bis A