I. Trigonométrie. 1S Corrigé de l évaluation n 1 de mathématiques lundi 7/11/2011 Calculatrice autorisée. Exercice n 1 : ( 8,5 points)

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1 1S Corrigé de l évaluation n 1 de mathématiques lundi 7/11/011 Durée : h Calculatrice autorisée. I. Trigonométrie. Eercice n 1 : ( 8,5 points) Résoudre dans ] π ; π] les équations et inéquations suivantes: 1) sin = 1 sin = 1 S = ) cos > 1 cos < 1 cos < S= ] π 4 ; π 4 [ ) cos ² + cos = 0 Posons X = cos L équation devient : X² + X = 0 Δ = ² 4 ( ) = = 5 X 1 = + 5 = 4 = 1 5 X = = 8 4 = D où cos = 1 ou cos = cos = impossible car 1 cos 1 cos = 1 S = II. Analyse Eercice n : ( 6 points) Résoudre dans IR : 1) a) = S= { ;} b) = 7 S= { ; } c) = 5 impossible car une valeur absolue est toujours positive. S= ø ) a) < S= ]- ;[ b) > S= ] - ;-[ ] ; + [

2 Eercice n : ( 11 points) Soit f et g les fonctions définies par f () = ² 10 et g ()= 4. 1) Montrer que f () g () = f () g () = ² 10 ( ) (² 1) Donc f () g () = ( ) (² 1). 4 = ² = ² 1 ² ( ) (² 1) ) Déterminer le signe de f () g (). Racines de ² 1 : Δ = b² 4ac = ( 1)² 4 1 ( 1) = = 49 1 = b Δ a = b + Δ a a > 0 et Δ > 0 = 1 7 = = = 4 donc = ² = ² = ² Signe de Signe de + + ² Signe de Signe de ( ) (² 1) ) Quelle interprétation graphique peut-on deduire du ). La courbe représentative de la fonction f est au dessus de celle de g sur ] ; [ ] 0 ; [ ] 4 ; + [ Eercice n 4 : ( 6 points) La trajectoire du ballon dégagé par un gardien de but est modélisée dans un repère par un arc de parabole. La parabole représente la fonction définie par : f () = ² +. 1) A quelle distance du gardien le ballon retombe-t-il? f () = 0 ² + = 0 ( 1 + 1) = 0 = 0 ou = 0 = 0 ou 1 = 1 = 0 ou = Le ballon va retomber à mètres du gardien.

3 ) Quelle est la hauteur maimale atteinte par le ballon? a = 1 donc a < 0. Par conséquent, la fonction f est d abord croissante puis décroissante. f admet donc un maimum (qui est l ordonnée du sommet S de la parabole) S = b a = 1 1 = = 16 y S = f ( S ) = f (16) = 16² + 16 = = 8. La hauteur maimale atteinte par le ballon est 8 mètres. Eercice n 5 : ( 6 points) : Le professeur a demandé de résoudre dans IR l inéquation 1. Voici trois rédaction d élèves. Relever les erreurs dans les copies ci-dessous : entourer l endroit de l erreur et préciser pour chacune pourquoi. On ne peut pas multiplier par de chaque coté de l inégalité car on ne connait pas le signe de. Si est négatif, l inégalité devrait changer de sens. La fonction inverse est bien décroissante, mais sur ] ; 0[ et sur ] 0 ;+ [. Or ici 1 est inférieur à, c'est-à-dire dans ] ; [, intervalle sur lequel la fonction inverse n est pas décroissante. Oubli de la valeur interdite en 0. Eercice n 6 : ( 6 points) Le produit de deu entiers consécutifs est égal à 86. En justifiant rigoureusement votre démarche, déterminer ces deu entiers. Soit un nombre entier ( + 1) = 86 ² + 86 = 0 Δ = b² 4ac = 1² 4 1 ( 86) = = = b Δ = = 108 a = 54 = b + Δ = = 106 a = 5 Les deu nombres entiers consécutifs tels que leur produit soit égal à 86 sont soit 54 et 5, soit 5 et 54.

4 Eercice n 7: ( 8 points) En justifiant, déterminer les ensembles de définition des fonctions f, g et h définies par: 1) a) f () = Df = ] ; 5 [ b) g () = ² 1 ² 1 0 ² 1 Dg = ] 1[ ] 1 ; + [ c) h () = 1 0 et et 0 Dh = ] 0 ; + [ ) Soit u la fonction définie sur ] ; 5 [ par u() = 5. u est affine de coefficient directeur < 0 donc u est strictement décroissante sur ] ; 5 [. f = donc f et u ont les mêmes variations, ainsi f est strictement décroissante sur ] ; 5 [. Eercice n 8: ( 6 points) OABC est un carré de coté cm. A tout réel strictement positif, on associe le point M de [OA) n appartenant pas à [AO], tel que AM=. La droite (MB) coupe (OC) en P. On pose f () = OP. 1) Démontrer que pour tout > 0, f () = + 4. Les droites (AB) et (OP) sont parallèles Les points M, A et O sont distincts et alignés Les points M, B et P sont distincts et alignés D après le théorème de Thalès, on a : AM OM = AB OP D où + = f () Par conséquent, f () = ( + ) ( + ) f () = f () = 4 + f () = 4 + ) En déduire le sens de variation de f. f est définie sur ]0 ; + [ 1 est décroissante sur ]0 ; + [. Comme 4 est positif, 4 1 est aussi décroissante sur ]0 ; + [ (car si k est positif, les fonctions g et k g ont les mêmes variations) est décroissante sur ]0 ; + [ (car les fonctions g et k + g ont les mêmes variations) donc f est décroissante sur ]0 ; + [.

5 III. Géométrie Eercice n 9 : ( 6 points) ABCD est un rectangle, I, J et K sont trois points définis par: I est le symétrique de A par rapport à D, DJ = DC et AK = 4 AB. 1) Faire une figure. ) a) Eprimer IK en fonction de AB et AD. IK = IA + AK d après la relation de Chasles IK = AD + 4 AB b) De même eprimer IJ en fonction de AB et de AD. IJ = ID + DJ d après la relation de Chasles IJ = AD + DC ) a) En déduire une relation entre IK et IJ. AD + 4 AB = ( AD + DC ) Donc IK = IJ b) Que peut-on en déduire? Les points I, J et K sont alignés et J est le milieu de [IK] IV. Pourcentages Eercice n 10 : ( 4 points) Dans une publicité parue cette semaine on peut lire en grand "50% de baisse immédiate". Or si certains articles ont bien une baisse de pri de 50%, d'autres sont au même pri que d'habitude, mais avec 50% de produit en plus. Le deuième cas est-il plus interessant que ce qui est annoncé dans la publicité ou peut-on parler de tromperie? (vous justifierez votre point de vue par des calculs) Notons p le pri d un article, et q la quantité(poids ou volume de l article). Dans le deuième cas, on propose donc d obtenir une quantité q + 50% q = 1 + 0,5q = 1,5q pour un pri inchangé égal à p. Par proportionnalité, on obtient : Ainsi pour la quantité q, le pri de revient p est : 1,5 = p = p pri quantité p 1,5q p 1,5 q La réduction est donc de 1 du pri de départ, soit environ %, on peut donc parler de tromperie.

6 V. Statistiques Eercice n 11 : ( 10 points) 1) Déterminer la taille moyenne des enfants nés cette année = = ,9 cm ) Déterminer la médiane et les quartiles de cette série. Taille i Nombre Eff cum Médiane : 550 = 75 donc la médiane est la moyenne entre la 75 ème et la 76 ème valeur Ainsi Med = = 49,5 cm Quartiles : = 17,5 donc Q 1 est la 18 ème valeur. Ainsi Q 1 = 48 cm = 41,5 donc Q est la 41 ème valeur. Ainsi Q = 5 cm ) Dans une maternité d un autre pays, on a effectué la même étude avec pour résultats : Le premier quartile vaut 46cm, le troisième 54cm, la médiane 49,5cm et la moyenne 50,cm. Comparer ces deu séries. On constate que les nourissons sont en moyenne legérement plus grands dans la deuième maternité. On constate aussi que la dispersion est plus grande pour la deuième maternité, ce qui signifie que les tailles sont moins homogènes (plus hétérogènes) dans la deuième maternité. 4) Répondre par vrai ou fau au affirmations suivantes en justifiant : a) Dans la seconde maternité environ la moitié des nourissons mesurent plus de 50, cm. Fau, environ la moitié des nourissons mesurent plus de 49,5 cm, la médiane. b) Dans la seconde maternité environ les trois quarts des nourissons mesurent plus de 46cm. Vrai, car environ un quart sont plus petits que 46cm, le premier quartile, donc environ les trois quarts sont plus grands. c) Dans la seconde maternité environ la moitié des nourissons mesurent entre 46 et 54 cm. Vrai, car environ 50% des valeurs sont entre Q 1 et Q.