Affecter. Fin tant que Afficher U Afficher V

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1 EXERCICE 1 5 poits Commu à tous les cadidats Soit f la foctio dérivable, défiie sur l itervalle ] 0 ; + [ par : f () = e Étude d ue foctio auiliaire a. Soit la foctio g dérivable, défiie sur [ 0 ; + [ par : g () = e 1. Étudier le ses de variatio de la foctio g. b. Démotrer qu il eiste u uique réel apparteat à [ 0 ; + [ tel que g () = 0. Démotrer que appartiet à l itervalle [ 0,70 ; 0,70 [. c. Détermier le sige de g () sur [ 0 ; + [.. Étude de la foctio f a. Détermier les limites de la foctio f e 0 et e +. b. O ote f la foctio dérivée de f sur l itervalle ] 0 ; + [. g ( ) Démotrer que pour tout réel strictemet positif, f () =. c. E déduire le ses de variatio de la foctio f et dresser so tableau de variatio sur l itervalle ] 0 ; + [. d. 1 1 Démotrer que la foctio f admet pour miimum le ombre réel m. e. Justifier que, < m <,5. EXERCICE 5 poits Commu à tous les cadidats Soiet deu suites (u ) et (v ) défiies par u 0 = et v 0 = 10 et pour tout etier aturel, u + 1 = PARTIE A O cosidère l algorithme suivat : Variables : Début : N est u etier U,V,W sot des réels K est u etier Affecter 0 à K Affecter à U Affecter 10 à V Saisir N Tat que K < N Affecter K + 1 à K Affecter U à W Affecter U V à U Fi tat que Afficher U Afficher V W Affecter V à V u v et v + 1 = Fi O eécute cet algorithme e saisissat N =. Recopier et compléter le tableau doé ci-dessous doat l état des variables au cours de l eécutio de l algorithme. K W U V 0 1 PARTIE B 1. a. Motrer que pour tout etier aturel, v + 1 u + 1 = 5 1 (v u ). b. Pour tout etier aturel o pose w = v u. 5 Motrer que pour tout etier aturel, w = a. Démotrer que la suite (u ) est croissate et que la suite (v ) est décroissate. b. c. Déduire des résultats des questios 1. b. et. a. que pour tout etier aturel o a u 10 et v. E déduire que tes suites (u ) et (v ) sot covergetes... Motrer que les suites (u ) et (v ) ot la même limite. Motrer que la suite (t ) défiie par t = u + v est costate. E déduire que la limite commue des suites (u ) et (v ) est 6 7. u v.

2 EXERCICE 5 poits Commu à tous les cadidats Tous les résultats umériques devrot être doés sous forme décimale et arrodis au di-millième Ue usie fabrique des billes sphériques dot le diamètre est eprimé e millimètres. Ue bille est dite hors orme lorsque so diamètre est iférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm. Partie A 1. O appelle X la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard das la productio associe so diamètre eprimé e mm. O admet que la variable aléatoire X suit la loi ormale d espérace 10 et d écart-type 0,. Motrer qu ue valeur approchée à 0,000 1 près de la probabilité qu ue bille soit hors orme est 0,01. O pourra utiliser la table de valeurs doée e aee.. O met e place u cotrôle de productio tel que 98 % des billes hors orme sot écartés et 99% des billes correctes sot coservées. O choisit ue bille au hasard das la productio. O ote N l évèemet : «la bille choisie est au ormes», A l évèemet : «la bille choisie est acceptée à l issue du cotrôle». a. Costruire u arbre podéré qui réuit les doées de l éocé. b. Calculer la probabilité de l évèemet A. c. Quelle est la probabilité pour qu ue bille acceptée soit hors orme? Partie B Ce cotrôle de productio se révélat trop coûteu pour l etreprise, il est abadoé : doréavat, toutes les billes produites sot doc coservées, et elles sot coditioées par sacs de 100 billes. O cosidère que la probabilité qu ue bille soit hors orme est de 0,01. O admettra que predre au hasard u sac de 100 billes reviet à effectuer u tirage avec remise de 100 billes das l esemble des billes fabriquées. O appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le ombre de billes hors orme de ce sac. 1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y?. Quels sot l espérace et l écart-type de la variable aléatoire Y?. Quelle est la probabilité pour qu u sac de 100 billes cotiee eactemet deu billes hors orme?. Quelle est la probabilité pour qu u sac de 100 billes cotiee au plus ue bille hors orme? EXERCICE 5 poits Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Le pla est rapporté à u repère orthoormal direct ( O ; u, v ). O ote l esemble des ombres complees. Pour chacue des propositios suivates, dire si elle est vraie ou fausse e justifiat la répose. 1. Propositio : Pour tout etier aturel : (1 + i) = ( ).. Soit (E) l équatio (z ) (z z + 8) = 0 où z désige u ombre complee. Propositio : Les poits dot les affies sot les solutios, das, de (E) sot les sommets d u triagle d aire 8.. Propositio : Pour tout ombre réel, 1 + e i = e i cos().. Soit A le poit d affie z A = 1 (1 + i) et M le poit d affie (z A) où désige u etier aturel supérieur ou égal à. Propositio : si 1 est divisible par, alors les poits O, A et M sot aligés. 5. Soit j le ombre complee de module 1 et d argumet. Propositio : 1 + j + j = 0.

3 EXERCICE 5 poits Pour les cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité O ote E l esemble des vigt-sept ombres etiers compris etre 0 et 6. O ote A l esemble dot les élémets sot les vigt-si lettres de l alphabet et u séparateur etre deu mots, oté cosidéré comme u caractère. Pour coder les élémets de A, o procède de la faço suivate : Premièremet : O associe à chacue des lettres de l alphabet, ragées par ordre alphabétique, u ombre etier aturel compris etre 0 et 5, ragés par ordre croissat. O a doc a 0, b 1,... z 5. O associe au séparateur le ombre 6. a b c d e f g h i j k l m o p q r s t u v w y z O dit que a a pour rag 0, b a pour rag 1,..., z a pour rag 5 et le séparateur a pour rag 6. Deuièmemet : à chaque élémet de E, l applicatio g associe le reste de la divisio euclidiee de + par 7. O remarquera que pour tout de E, g () appartiet à E. Troisièmemet : Le caractère iitial est alors remplacé par le caractère de rag g (). Eemple : s 18, g (18) = 1 et 1 v. Doc la lettre s est remplacée lors du codage par la lettre v. 1. Trouver tous les etiers de E tels que g () = c est-à-dire ivariats par g. E déduire les caractères ivariats das ce codage.. Démotrer que, pour tout etier aturel apparteat à E et tout etier aturel y apparteat à E, si y + modulo 7 alors 7 y + 6 modulo 7. E déduire que deu caractères disticts sot codés par deu caractères disticts.. Proposer ue méthode de décodage.. Décoder le mot «v f v». Aee Eercice A B 1 d P(X < d ) 0,06E-18 1,08E-11,75E ,16E-69 6,67E ,7E ,6E- 9 7,19E ,87E , , , , Copie d écra d ue feuille de calcul

4 EXERCICE 1 5 poits Commu à tous les cadidats 1. Étude d ue foctio auiliaire a. Soit v( ) e v '( ) e u( ) u '( ) CORRECTION doc g () = e + e = e ( + ) g est défiie sur [ 0 ; + [ doc ( + ) 0, la foctio epoetielle est strictemet positive sur R doc : 0 + g () 0 + g + 1 lim e = + doc lim g() = +. b. La foctio g est défiie cotiue strictemet croissate sur [ 0 ; + [, g(0) = 1 et lim g() = +, 0 [ 1 ; + [ doc il eiste u uique réel apparteat à [ 0 ; + [ tel que g () = 0. g(0,70) < 0 et g(0,70) > 0 doc appartiet à l itervalle [ 0,70 ; 0,70 [. c g 0 1 g() 0 +. Étude de la foctio f a. f () = e + 1, lim e 1 = + et lim lim e 1 = 1 et lim = + doc lim f () = = 0 doc lim f () = + b. f () = e 1 doc pour tout réel strictemet positif, f () = e 1 = g ( ). c. > 0 doc f () a le même sige que g () 0 + f () f () f () + d. f est décroissate sur ] 0 ; ]et croissate sur [ ; + [ doc la foctio f admet pour miimum f (). g() = 0 doc e 1 = 0 doc e 1 = f () = e + 1 = doc la foctio f admet pour miimum le ombre réel m 1 1. e. 0,70 < 0,70 doc 1, , 70 0,70 0, et doc ,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 1, , 70,,5 0,70 0,70 doc, < m <,5. or

5 EXERCICE 5 poits Commu à tous les cadidats PARTIE A K W U V PARTIE B 1. a. Pour tout etier aturel, u + 1 = u v u et v + 1 = v + 1 u + 1 = ( u ) ( ) v u v 1 v + 1 u + 1 = 5 v 5 u doc v + 1 u + 1 = (v u ). v doc v + 1 u + 1 = u v u v b. w 0 = v 0 u 0 = 10 soit w 0 = 8 Pour tout etier aturel v + 1 u + 1 = 5 1 (v u ). or w = v u doc w 1 = 5 1 w, la suite (w ) est géométrique de premier terme w 0 = 8 et de raiso q = 5 1 aturel, w = w 0 q 5 doc w = 8 1. doc pour tout etier. a. u + 1 u = u v u = u v u v u u + 1 u = = 1 w 5 Pour tout etier aturel, w = 8 1 La suite (u ) est croissate v + 1 v = u v v = doc w > 0 doc u + 1 u > 0 u v v u v v + 1 v = 1 w or pour tout etier aturel, w > 0 doc v + 1 v < 0 La suite (v ) est décroissate. b. La suite (u ) est croissate doc pour tout etier aturel : u u 0 soit u La suite (v ) est décroissate doc pour tout etier aturel : v v 0 soit v 10 Pour tout etier aturel, w > 0 doc v > u doc u < v 10 doc pour tout etier aturel o a u 10 et v. c. La suite (u ) est croissate, majorée par 10 doc coverge et sa limite l est iférieure ou égale à 10 La suite (v ) est décroissate, miorée par doc coverge et sa limite l est supérieure ou égale à 5. Pour tout etier aturel, w = 8, 1 < 5 5 < 1 doc lim = 0 doc lim w = or w = v u doc lim w = l l doc l l = 0 doc les suites (u ) et (v ) ot la même limite.. Pour tout etier aturel, t + 1 = u v + 1 = u v u v + = u + v + u + v t + 1 = u + v = t doc la suite (t ) défiie par t = u + v est costate doc t = t 0 = u 0 + v 0 = + 10 doc pour tout etier aturel, t = 6 Soit l la limite commue des suites (u ) et (v ). lim t = lim u + lim v = l + l = 7 l doc 7 l = 6 La limite commue des suites (u ) et (v ) est 6 7.

6 EXERCICE 5 poits Commu à tous les cadidats Partie A 1. Ue bille est dite hors orme lorsque so diamètre est iférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm, ue bille est das la orme lorsque so diamètre est compris etre 9 mm et 11 mm. La probabilité qu ue bille soit das la orme est P(9 X 11) = 0,987 6 La probabilité qu ue bille soit hors orme est 1 P(9 X 11) = 0,01.. a. A 0,99 N 0,01 0,987 6 A 0,01 A 0,0 N 0,98 b. P( A) P( A N ) P( A N ) P(A) = 0, ,99 + 0,01 0,0 P(A) = 0,9779 soit 0,9779 au di-millième près A c. P A ( N ) = P( A N ) 0, , 01 doc P A ( N ) 0,0101 P( A ) 0,9779 Partie B 1. O a ue successio de 100 epérieces aléatoires idetiques et idépedates (tirage avec remise de 100 billes) Chacue d elles a deu issues : réussite la bille est hors orme (p = 0,01 ) échec la bille est pas hors orme (q = 0,987 6) doc la variable aléatoire Y qui à tout sac de 100 billes associe le ombre de billes hors orme de ce sac, suit ue loi biomiale de paramètres (100 ; 0,01 ). E(Y) = 100 0,01 = 1, (Y) = 100 0,01 0,987 6 doc 1,1066. P(Y = ) = 0,1. P(Y 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) soit P(Y 1) 0,677

7 EXERCICE 5 poits Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 1. Propositio : VRAIE (1 + i) = 1 + i 1 = i doc (1 + i) = ( i) = doc [(1 + i) ] = ( ) soit (1 + i) = ( ).. Propositio : FAUSSE (z ) (z z + 8) = 0 z = 0 ou z z + 8 = 0 = 8 = 16 = ( i) doc z 1 = i = + i et z = i = i L équatio (z ) (z z + 8) = 0 admet pour solutios : z 0 =, z 1 = + i et z = i Soit A() B( + i) et C ( i), le triagle ABC est isocèle e A, si A est le milieu de [BC] alors (AA ) est la hauteur issue de A de ce triagle. L aire du triagle ABC est égale à 1 AA BC = 1 =. Propositio : VRAIE Pour tout ombre réel, e i + e i = cos() doc e i cos() = e i i i e e = e i ( e i + e i ) = 1 + e i.. Propositio : VRAIE 1 + i = e i i doc z A = e doc (z A ) i = e Si 1 est divisible par, il eiste u etier k tel que 1 = k doc = k + 1 (z A ) = (z A ) = e e i ( k 1) i i k e (z A ) k = ( 1) e (z A ) k = ( 1 ) i 1 5. Propositio : VRAIE j = cos 1 + i si = + i i i i i k k = e e e or e i k = [ e i ] k = ( 1) k soit (z A ) k = ( 1) e 1 1 k z A doc O M ( 1) OA doc les poits O, A et M sot aligés. j est le ombre complee de module 1 et d argumet doc j = cos 1 + i si = i 1 + j + j = i 1 i doc 1 + j + j = 0. i

8 EXERCICE 5 poits Pour les cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité 1. g() = + modulo modulo 7 ( + 1) 0 modulo 7 il eiste u etier aturel k tel que ( + 1) = 7 k + 1 = 9 k = 9 k 1 doc les etiers de E tels que g () = sot = 8, = 17 et = 6 Les caractères ivariats das ce codage sot i, r et.. Soiet et y deu élémets de E. y + modulo 7 doc 7 y modulo 7 or 8 = doc 8 1 modulo 7 et 1 = 7 6 doc 1 6 modulo 7 doc 7 y 6 modulo 7 doc 7 y + 6 modulo 7 Si y + modulo 7 alors 7 y + 6 modulo 7. Si deu caractères sot codés par le même caractère y alors il eiste et de E tels que y + modulo 7 et y + modulo 7 doc d après la propriété précédete : 7 y + 6 modulo 7 et 7 y + 6 modulo 7 doc modulo 7 7 divise or 6 6 et le seul multiple de 7 compris etre 6 et 6 est 0 doc = 0 doc =. Les deu caractères sot idetiques doc deu caractères disticts sot codés par deu caractères disticts.. Premièremet : O associe à chacue des lettres de l alphabet, ragées par ordre alphabétique, u ombre etier aturel compris etre 0 et 5, ragés par ordre croissat. O a doc a 0, b 1,... z 5, o associe au séparateur le ombre 6. Deuièmemet : à chaque élémet y de E, l applicatio h associe le reste de la divisio euclidiee de 7 y + 6 par 7. Troisièmemet : Le caractère iitial est alors remplacé par le caractère de rag h() modulo 7 et modulo 7 Etape 1 Etape Etape v 1 18 S f 5 1 O doc «v f v» est décodé e S O S.

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