Mouvement d un satellite sous l influence du champ de gravité Terrestre.

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1 Département STPI 1 ère année 1 er semestre UF Physique 1 (I1ANPH1) Mouvement d un satellite sous l influence du champ de gravité Terrestre. B.Lassagne

2 Introduction Nous allons étudier le mouvement d un satellite autour de la Terre. Ce mouvement sera étudié dans un référentiel supposé galiléen dont l origine est la Terre et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines supposées fixes par rapport à la Terre. I) Cas simple du satellite géostationnaire Le satellite est assimilé à un point matériel situé en M de masse m s. Sa position par rapport à la Terre située en O est donnée par le vecteur r. Nous considérons que le Référentiel R(O, e x, e y, e z ) est galiléen. Le satellite a une masse de 1 kg. La masse de la terre m T est kg. La constante universelle de gravitation vaut G = m 3.Kg -1.s -. 1) Quelle est l expression de la force exercée par la Terre sur le satellite dans le référentiel R(O, e x, e y, e z ). F T Satellite = G m Tm S r 3 r ) Dans la suite on considère que le satellite suit une trajectoire circulaire uniforme de rayon R. En utilisant l expression de l accélération dans la base de Frenet, donner la relation liant la vitesse du satellite dans le référentiel R et le rayon de l orbite R. Lorsque la trajectoire est circulaire uniforme la vitesse est constante ce qui implique que l accélération tangentielle est nulle. L accélération est donc normale à la tarjectoire. De plus comme F T satellite est centrale on a la condition m S a N = G m Tm S R v = G m T R 3) Déterminer l altitude à laquelle doit orbiter le satellite pour être géostationnaire, c'est-à-dire qu il garde une position fixe par rapport à la surface (cas des satellites de télécommunications, de télévision ou de certains satellites destinés à l observation météorologique). Le rayon de la Terre est 6371km. Vous calculerez la valeur numérique de la force subie par le satellite et vous en déduirez l accélération de la pesanteur subie par le satellite. Il faut que le satellite se situe dans le plan équatorial et tourne à la même vitesse angulaire que la terre. ω Terre = rad. s 1

3 v = Rω Terre = G m T R R3 = Gm T R = 431km ω Terre Soit une altitude de 35941km. F = 3N = mg donc g =,3m. s 1 II) Appréciation du mouvement général du satellite d un point de vue énergétique. Dans la suite du problème on considère le mouvement le plus général d un satellite, c'est-à-dire qu il n est pas nécessairement géostationnaire, il peut tourner très vite autour de la terre jusqu à des altitudes assez basses. On définit l orbite terrestre basse jusqu à km où on trouve la station international ISS, des satellites météorologiques à défilement, des satellites d imagerie terrestre comme SPOT etc, l orbite terrestre moyenne (km-35km) où l on trouve les satellites de navigation (GPS (USA), Galiléo (EU) et GLONASS (Russie)) et l orbite géostationnaire (cf précédemment). 1. Calculer le moment Γ de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite de masse m s. Γ = OM F T Sat = r ( G m Tm S r 3 r ) =. En vous servant du théorème du moment cinétique, de la définition du produit vectoriel et du résultat précédent, montrer que le mouvement du satellite est contenu dans un plan. D après le théorème du moment cinétique, L O sat par rapport au point O est constant en norme et en direction car Γ =. Comme la vitesse et la position sont perpendiculaires à L O sat le mouvement est inscrit dans le plan dont la normale est L O sat / L O sat. 3. On prendra le repère cylindrique pour décrire le mouvement du satellite situé au point M. on notera OM = e et θ l angle entre OM et l axe x. OM est dans le plan (x, O, y). L axe z du repère est donc perpendiculaire au plan du mouvement, ainsi le moment cinétique de rotation du satellite est selon z. Déterminer le vecteur vitesse v M/R du satellite, le vecteur accélération a M/R et le moment cinétique L O M en fonction de m s,, θ et θ. v M/R = θ θ et a M/R = θ + θ et L M O = m S m S θ = m S θ 4. Montrer que le travail de la force de gravitation est conservatif. En déduire la forme de l énergie potentielle associée à la force de gravitation. On prendra l origine des énergies potentielles à l infini. 3

4 F T Sat = F T Sat. dl = ( G m Tm S e ). (de + dθe θ ) = G m Tm S d W A B A B B A B = Gm T m S [ 1 ] A A B F W T Sat A B = Gm T m S ( 1 1 ) B A Le travail de la force de gravitation ne dépend que des positions initiale et finale du satellite. Le travail est bien conservatif. La force de gravitation dérive d une énergie potentielle : On a ainsi : F W T Sat A B = E p = Gm T m S ( 1 1 ) B A E p ( ) + E p () = G m Tm S E p () = G m Tm S 5. On notera L le moment cinétique initial du satellite. Montrer que l énergie cinétique du satellite s écrit : E c = 1 m S ( + 1 ( L ) ) m S E c = 1 m Sv = 1 m S( + θ ) = 1 m S ( + 1 ( L ) ) m S 6. Dans un premier temps on considère que le moment cinétique du satellite est nul. Qu est-ce que cela implique pour θ (t)? Que pouvons-nous en conclure sur la nature du mouvement? θ (t) = mouvement de translation unidimensionnel 7. Grâce au théorème de l énergie mécanique prédire globalement le mouvement du satellite dans le cas où L =. Pour cela vous utiliserez un graphique où vous représenterez l énergie potentielle de gravitation en fonction de. Le satellite a comme position initiale ( =, θ = ). Vous étudierez trois cas de figure : - son énergie cinétique initiale est nulle. - son énergie cinétique initiale est non nulle et son vecteur vitesse est dirigé vers la Terre. - son énergie cinétique initiale est non nulle et son vecteur vitesse est dirigé à l opposé de la Terre. Vous distinguerez à chaque fois les cas où l énergie mécanique totale est positive et négative. E m = E c + E p = W F non conservative = l énergie mécanique se conserve à tout instant. Avec 4

5 E c = 1 m S et E p = G m Tm S E m = E c + E p = cste Lorsque le satellite n a pas de composante tangentielle de la vitesse, si son énergie cinétique n est pas suffisante il finit par tomber sur la Terre. Sinon il s en écarte indéfiniment. 8. Cette fois on considère que le moment cinétique du satellite est non nul. Montrer que l énergie mécanique totale s écrit sous la forme suivante : E m = 1 m S + A + B = 1 m S + E p eff E p eff est l énergie potentielle effective du mouvement. Vous déterminerez les constantes A et B en fonction de m S, m T, L et G. E m = 1 m S ( + 1 ( L ) ) G m Tm S = 1 m S m S + 1 ( L m S ) G m Tm S A = 1 m S L et B = Gm T m S 5

6 9. Grâce au théorème de l énergie mécanique prédire globalement le mouvement du satellite. Vous utiliserez un graphique où vous représenterez l énergie potentielle effective en fonction de. En fonction de la valeur de l énergie mécanique totale, déterminer les trois types de trajectoires possibles du satellite sous l influence de la Terre. E m = E c + E p = W F non conservative = l énergie mécanique se conserve à tout instant. E m = E c + E p = cste Trajectoire bleu : E m = E c + E p = E p ( ), E c = il n y a pas de mouvement selon e, la trajectoire est circulaire. Trajectoire violette et trajectoire rouge Lorsqu un corps a une vitesse tangentielle non nulle, il ne tombe jamais sur le soleil ou la Terre car en tombant il finit par augmenter sa vitesse ce qui le fait en quelque sorte «sortir» de l attraction 6

7 gravitationnelle. Cette composante radiale est la source d une pseudo-force centrifuge répulsive qui dérive de l énergie potentielle 1 ( L m S ). 7