1 Couples de variables aléatoires nies

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1 Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST ère année Chapitre n o 22. Couples de variables aléatoires Couples de variables aléatoires nies. Dénition Dénition. On appelle couple de v.a. nies toute application Z : Ω R 2 ω (X(ω), Y (ω)), X et Y étant des v.a. nies dénies sur Ω. On note simplement Z = (X, Y ). Considérer la variable Z c'est considérer les variables X et Y conjointement puisqu'on considère la donnée simultanée des valeurs X(ω) et Y (ω). Ceci est plus fort que de considérer séparément les variables X et Y. Dans la dénition ci-dessus il est important que X et Y soient dénies sur le même univers Ω. Ceci sera implicitement supposé dans toute cette section. Fil Bleu On lance deux dés à 4 faces et on note R et R 2 les deux scores obtenus. On s'intéresse à X = min(r, R 2 ) et Y = max(r, R 2 ). Z = (X, Y ) est alors un couple de v.a. nies puisque X et Y sont des v.a. nies. Que vaut Z(Ω)? Le couple Z peut valoir n'importe quel couple (x, y) où x, [, 4] et x y. Par conséquent Z(Ω) = {(x, y) [, 4] 2 : x y}. [Dessin] Proposition. On a toujours Z(Ω) X(Ω) Y (Ω) mais l'inclusion réciproque est fausse en général. Proposition 2. Si X(Ω) = {x,..., x m } et Y (Ω) = {y,..., y n } alors les évènements

2 {X = x i } {Y = y j }, pour i [, m] et j [, n] forment un système complet d'évènements. Remarque. L'évènement {X = x i } {Y = y j } = {ω Ω : X(ω) = x et Y (ω) = y} est aussi noté {X = x i, Y = y j }..2 Loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle Dénition 2. Loi conjointe. La loi d'un couple (X, Y ) (ou loi conjointe de X et Y ) est la fonction f X,Y : X(Ω) Y (Ω) [0, ] (x, y) P(X = x, Y = y). Fil Bleu Quelle est la loi de (X, Y )? Il faut calculer P(X = i, Y = j) pour i X(Ω) = [, 4] et j Y (Ω) = [, 4]. On décrit donc l'évènement {X = i, Y = j} :, si i > j {X = i, Y = j} = {(i, i)}, si i = j {(i, j), (j, i)}, si i < j Par ailleurs Ω est muni de la probabiltité uniforme donc toutes les issues (i, j) ont même probabiltié /6. Par conséquent 0, si i > j P(X = i, Y = j) = 6, si i = j 2, 6 si i < j Ces résultats peuvent être rassemblés dans un tableau à double entrée : X\ Y Bien sûr la somme des chires du tableau est égale à car les évènements {X = i, Y = j} forment un système complet. Dénition 3. Lois marginales. Pour tout couple (X, Y ) de v.a. nies sur Ω, la loi de X est appelée première loi marginale du couple (X, Y ), la loi de Y est appelée seconde loi marginale du couple (X, Y ), 2

3 Remarque. la donnée des deux lois marginales d'un couple est une donnée moins forte que la donnée de sa loi conjointe. On peut en eet retrouver la loi de X et celle de Y à partir de la loi du couple (X, Y ), mais l'inverse n'est pas vrai! Proposition 3. Formule des probabilités totales, version I. Soit X(Ω) = {x,..., x m } et Y (Ω) = {y,..., y n }. On a i [, m], P(X = x i ) = n P(X = x i, Y = y j ), j= j [, n], P(Y = y j ) = m P(X = x i, Y = y j ). Démonstration. Les évènements {X = i, Y = j} forment un système complet... Fil Bleu Avec le tableau ci-dessus on est en mesure de donner les lois de X et Y, qu'on peut spécier dans les marges du tableau (d'où le nom de lois marginales) : i= X\ Y Loi de X Loi de Y Remarque. La somme des valeurs dans chacune des marges est bien sûre égale à. Dénition 4. Lois conditionnelles. Soit (X, Y ) un couple de v.a. nies. Pour y Y (Ω) tel que P(Y = y) 0, l'application X(Ω) [0, ] x P(X = x Y = y) est appelée loi conditionnelle de X sachant {Y = y}. On dénit de même la loi de Y sachant {X = x}. Remarque. On rappelle que P(X = x Y = y) = P(X = x, Y = y)/p(y = y). Cette quantité est parfois notée P {Y =y} (X = x). Concrètement la loi de X sachant {Y = y} correspond à la colonne Y = y dans le tableau, mais divisée par la somme de ses valeurs pour que la somme fasse (on dit renormalisée). 3

4 Fil Bleu La loi de X sachant {Y = 3} est donnée par P(X = Y = 3) = 2/6 = 2, 5/6 5 P(X = 2 Y = 3) = 2/6 5/6 = 2, 5 P(X = 3 Y = 3) = /6 =. 5/6 5 La proposition suivante permet de retrouver les lois marginales à partir des lois conditionnelles. Proposition 4. Formule des probabilités totales, version II. Si X(Ω) = {x,..., x m } et Y (Ω) = {y,..., y n }, P(X = x i ) = P(Y = y j ) = n P(Y = y j )P(X = x i Y = y j ), j= m P(X = x i )P(Y = y j X = x i ). i= Proposition 5. Loi d'une somme de deux v.a. Soient X et Y deux v.a. nies à valeurs dans N. Alors la loi de X + Y est donnée par n N, P(X + Y = n) = n P(X = k, Y = n k). k=0 Remarque. La loi de X + Y ne dépend donc pas seulement des lois de X et de Y mais de leur loi conjointe. Fil Bleu On a par exemple P(X+Y = 4) = P(X =, Y = 3)+P(X = 2, Y = 2)+P(X = 3, Y = ) = 3/6. Théorème. Théorème de transfert pour 2 variables. Soient X, Y deux v.a. nies et u : R 2 R une application. On a E(u(X, Y )) = u(x, y)p(x = x, Y = y). x X(Ω) y Y (Ω) Fil Bleu Calculons par exemple l'espérance de XY. On a E(XY ) = =

5 .3 Covariance Dénition 5. Covariance. Soient X et Y deux v.a. nies sur Ω. On dénit la covariance de X et Y par : Cov(X, Y ) = E ( (X EX)(Y EY ) ) L'interprétation de la variance est la suivante. Puisque le produit (X EX)(Y EY ) est positif lorsque (X EX) et (Y EY ) sont de même signe et réciproquement, on a Cov(X, Y ) > 0 si X et Y ont tendance à prendre simultanément des valeurs relativement faibles ou relativement opposées (on parle de variables positivement corrélées), Cov(X, Y ) < 0 si X et Y ont tendance au contraire à varier dans le sens opposé (on parle de variables négativement corrélées). Proposition 6. Formule de K nig-huygens. On a Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Démonstration. Preuve identique à celle de la proposition analogue pour la variance. Fil Bleu Vérier que la covariance de X et Y vaut 00/6 2. Le signe de cette covariance est-il surprenant? Proposition 7. On a (i) Cov(X, X) = Var(X), (ii) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), (iii) Cov(aX + bx 2, Y ) = a.cov(x, Y ) + b.cov(x 2, Y ), et de même par rapport à Y. Proposition 8. Pour toutes v.a. X et Y, Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ). Démonstration. Développer Cov(X + Y, X + Y )..4 Indépendance de deux variables aléatoires Dénition 6. Deux v.a. nies X et Y sont dites indépendantes (on note parfois X Y ) si x X(Ω), y Y (Ω), P(X = x, Y = y) = P(X = x)p(y = y). En clair ceci signie que les évènements relatifs à X sont indépendants des évènements relatifs à Y. 5

6 Remarque. Dans ce cas particulier, et seulement dans ce cas, la donnée des lois de X et de Y permet de calculer la loi du couple (X, Y ). Fil Bleu Les v.a. X et Y sont-elles indépendantes? Par exemple P(X = 2, Y = 2) = 6 P(X = 2)P(Y = 2) = donc X et Y ne sont pas indépendantes. Ou encore plus simple : P(X = 2, Y = ) = 0 alors que P(X = 2) 0 et P(Y = ) 0. Proposition 9. X et Y sont indépendantes : ssi pour tout x, la loi de Y sachant {X = x} est égale à la loi de Y. ssi pour tout y, la loi de X sachant {Y = y} est égale à la loi de X. Théorème 2. Si X et Y sont indépendantes alors (i) E X(Ω), F Y (Ω), P(X E, Y F ) = P(X E)P(Y F ), (ii) u : R R, v : R R, les variables u(x) et v(y ) sont indépendantes. Démonstration. (i) Si X Y alors P(X E, Y F ) = P(X = x, Y = y) x E y F = P(X = x)p(y = y) x E y F ( ) ( ) = P(X = x) P(Y = y) x E = P(X E)P(Y F ) (ii) Pour a u(x)(ω) et b v(y )(Ω), en prenant E = {x X(Ω) : u(x) = a} et F = {y Y (Ω) : u(y) = b} on a : y F P(u(X) = a, v(y ) = b) = P(X E, Y F ) == P(X E)P(Y F ) = P(u(X) = a)p(v(y ) = b) Proposition 0. Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si A et B sont des v.a. indépendantes. Démonstration. Ceci découle du fait que { A = } = A et { B = } = B. Proposition. Si X et Y sont indépendantes alors E(XY ) = E(X)E(Y ). La réciproque est fausse. 6

7 Démonstration. On a E(XY ) = xyp(x = x, Y = y) x y = xyp(x = x)p(y = y) x y ( ) ( ) = xp(x = x) yp(y = y) x = E(X)E(Y ) Pour la réciproque fausse, nous verrons un contre-exemple en TD. Proposition 2. Si X et Y sont indépendantes alors () Cov(X, Y ) = 0 (deux variables indépendantes sont non corrélées). (2) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) (les variances s'additionnent). ATTENTION! La réciproque est bien sûr fausse (contre-exemple en TD). L'indépendance est une condition bien plus forte que d'avoir seulement une covariance nulle. y 2 Généralisation des couples : les familles de n variables 2. Extensions On étend ici au cas de n variables certaines des notions et résultats donnés pour le couples. On considère donc X, X 2,..., X n des variables dénies sur un même univers Ω. On ne s'attardera pas sur les preuves, celles-ci ne présentant pas de diculté supplémentaire par rapport au cas n = 2. Proposition 3. On a E(X + X 2 + X n ) = E(X ) + E(X 2 ) + + E(X n ) Remarque. La généralisation de la formule pour la somme d'une variance donne pour n variables : Var(X +X 2 +X n ) = Var(X )+Var(X 2 )+ +Var(X n )+2 i<j Cov(X i, X j ) Dénition 7. Les variables X, X 2,..., X n sont dites mutuellement indépendantes si x X (Ω), x 2 X (Ω),..., x n X n (Ω), P(X = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) = P(X = x )P(X 2 = x 2 )... P(X n = x n ). 7

8 Proposition 4. Si X,..., X n sont mutuellement indépendantes alors Var(X + X 2 + X n ) = Var(X ) + Var(X 2 ) + + Var(X n ) Proposition 5. (i) Soient X,..., X n mutuellement indépendantes et m n. Alors les variables X,..., X m sont mutuellement indépendantes. (ii) Soient X,..., X n, X n+,..., X n+p mutuellement indépendantes et u : R n R, v : R p R deux fonctions. Alors les variables u(x,..., X n ) et v(x n+,..., X n+p ) sont indépendantes. Notamment si A et B sont deux évènements tels que A dépend uniquement de (X,..., X n ) et B uniquement de (X n+,..., X n+p ) alors A et B sont indépendants. (iii) Soient X,..., X n mutuellement indépendantes et u, u 2,..., u n : R R des fonctions. Alors les variables u(x ),... u(x n ) sont indépendantes. 2.2 Variance de la loi binomiale n o Dans le schéma binomial où on fait n tentatives indépendantes d'une expérience qui a une probabilité p xée de réussir, il est commode de considérer {, si on a un succès à la i-ème tentative, X i = 0, si on a un échec à la i-ème tentative, Les variables X i sont par hypothèse indépendantes mutuellement et de loi commune B(p). La variable qui compte le nombre de succès parmi les n tentatives est X = X + X X n. Les variables X i étant de loi B(p) on connaît leur espérance et leur variance : E(X i ) = p, Var(X i ) = p( p). Par conséquent on retrouve facilement l'espérance et la variance d'une variable de loi B(n, p) : Théorème 3. Si X B(n, p) alors E(X) = np, Var(X) = np( p). Au vu de l'interprétation de la loi de Bernoulli donnée ci-dessus, le résultat suivant n'est pas étonnant : Proposition 6. Soient X et Y indépendantes telles que X B(m, p) et Y B(n, p). Alors X + Y B(m + n, p). 8

9 Démonstration. On calcule pour k [0, n + m] : P(X + Y = k) = = k P(X = i, Y = k i) i=0 k P(X = i)p(y = k i) i=0 par indépendance k ( ) ( ) m n = p i ( p) m i p k i ( p) n k+i i k i i=0 k ( )( ) m n = p k ( p) m+n k i k i i=0 = p k ( p) m+n k ( m + n k ) par la formule de Vandermonde. 9