Simulation numérique avancée

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1 Simulation numérique avancée Franck Jourdan LMGC - jourdan@lmgc.univ-montp2.fr Franck Nicoud I3M franck.nicoud@univ-montp2.fr

2 Simulation numérique avancée 3. Schémas évolués pour la convection A la fin du chapitre, l étudiant doit être capable de: 1. Définir les propriétés désirables pour un schéma de discrétisation 2. Démontrer qu un schéma est conservatif 3. Définir le nombre de Reynolds de maille et donner son lien avec la monotonicité 4. Donner l expression du flux de convection pour les schémas centré, décentré amont d ordre 1 et QUICK 5. Donner l expression générale et le principe des schémas TVD

3 Propriétés importantes L ordre d un schéma est une information intéressante mais TRES insuffisante pour comprendre son comportement Quelques propriétés communes pour les schémas: Conservativité Directivité Monotonicité Réponse spectrale Simulation numérique avancée - MI4 3

4 Conservativité La plupart des équations de transport exprime la conservation d une quantité physique En intégrant l équation de convection-diffusion sur l ensemble du domaine on obtient: Φ = Cette équation montre que la quantité totale de quantité, c està-dire Φ=, est conservée en l absence de flux aux frontières Φ =0 Simulation numérique avancée - MI4 4

5 Conservativité En volumes finis, la propriété de conservativitépeut être reproduite assez facilement Il suffit de s assurer que l estimation du flux sur une face ne dépend pas de la cellule qui est en train d être traitée fi 1 xi x i+1 fi f i+ 1 x Le flux à travers la face doit être estimé deux fois: pour effectuer le bilan de la cellule, puis pour celui de la cellule Le schéma est conservatif dès lors que les deux estimations de ce flux sont identiques («ce qui sort d une cellule entre dans l autre») Simulation numérique avancée - MI4 5

6 Monotonicité L équation de convection-diffusion vérifie le principe du maximum En régime permanent, la quantité atteint ses valeurs min et max aux frontières Ce principe est la traduction mathématique de propriétés physiques bien connues et intuitives: la température, les concentrations sont toujours positives Une concentration ne peut jamais être supérieure à 1 En l absence de source volumique, la température dans un fluide est au plus égale à sa valeur à l entrée Question: ce principe mathématique vérifié par les équations (monde continu) est-il vérifié par les équations discrétisées? Réponse: pas forcément, cela dépend du schéma de discrétisation. Un schéma vérifiant ce principe est appelé monotone Simulation numérique avancée - MI4 6

7 Monotonicité-illustration Une zone polluée (concentration non nulle) initialement positionnée en =0est convectéependant 5 sà une vitesse de 1 m/s La diffusion est négligée ( 0 Avec le schéma VF centré, la concentration devient négative dans certaines zones en amont de la tache de pollution 400 mailles 200 mailles 100 mailles Simulation numérique avancée - MI4 7

8 Monotonicité Une fois discrétisée, l équation de convection-diffusion (stationnaire) peut être mise sous la forme: Pour tous les nœuds i, On montre que les conditions suivantes sont suffisantes pour assurer la monotonicité de ce type de schéma: 1 pour tous les noeuds <1 pour au moins un noeud ont le même signe Beaucoup de schémas ne vérifient pas ces propriétés Simulation numérique avancée - MI4 8

9 Monotonicitéet schéma centré Le schéma centré donne, pour un maillage uniforme: 2 h 2h + h + 2h + h Après simplification par /h : 2 1+ /2 + 1 /2 Avec = le nombre de Reynolds de maille La monotoniciténe peut être obtenue que pour <2 Simulation numérique avancée - MI4 9

10 Schéma centré et physique Le schéma centré utilise de l information de part et d autre du point calculé afin d en calculer l évolution Le terme de diffusion représente un phénomène prenant place à l échelle moléculaire et très isotrope; la formulation centrée est bien adaptée Le terme de convection représente un phénomène de transport par la vitesse de l écoulement. Il existe un amont (d où vient l information) et un aval (vers lequel l information se dirige); la formulation centrée n est pas cohérente avec ce phénomène Simulation numérique avancée - MI4 10

11 Schéma décentré amont On cherche à estimer le flux suivant: F 0 F i 2 X i 1 Fi 1 X i Fi X i+ 1 F i+1 FN f 0 f i 2 x i 1 fi 1 xi fi x i+1 f i+1 f N x = On se place dans le cas où >0; l amont est donc à gauche, l aval à droite A l ordre 1 on obtient simplement: Simulation numérique avancée - MI4 11

12 Monotonicitéet schéma décentré Le schéma décentré amont pour la convection, centré pour la diffusion donne, pour un maillage uniforme: h +2 h = h + h + h Ou encore: 2+ = 1+ + La monotonicitéest toujours obtenue, pour toutes les valeurs de 0 Simulation numérique avancée - MI4 12

13 Monotonicité-illustration Une zone polluée (concentration non nulle) initialement positionnée en 0est convectéependant 5 sà une vitesse de 1 m/s La diffusion est négligée ( 0 Avec le schéma VF décentré amont, la concentration reste toujours comprise entre 0 et 1 comme attendu 400 mailles 200 mailles 100 mailles Simulation numérique avancée - MI4 13

14 Schéma décentré aval On cherche à estimer le flux suivant: F 0 F i 2 X i 1 Fi 1 X i Fi X i+ 1 F i+1 FN f 0 f i 2 x i 1 fi 1 xi fi x i+1 f i+1 f N x = On se place toujours dans le cas où >0; l amont est donc toujours à gauche, l aval toujours à droite En «oubliant» notre connaissance du phénomène de convection, on peut proposer un autre schéma à l ordre 1: Simulation numérique avancée - MI4 14

15 Stabilité -illustration Une zone polluée (concentration non nulle) initialement positionnée en 0est convectéependant 5 sà une vitesse de 1 m/s La diffusion est négligée ( 0 Avec le schéma VF décentré aval, la concentration n a plus rien de physique le schéma est instable. 400 mailles 200 mailles 100 mailles Simulation numérique avancée - MI4 15

16 Schéma QUICK On cherche à obtenir un schéma pour le flux : d ordre 2 comme le schéma centré Prenant en compte la directivité de la convection comme le schéma décentré amont La propriété de conservativité est également recherchée Le premier schéma ayant ces propriétés a été proposé dans les années 70 Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics Simulation numérique avancée - MI4 16

17 Schéma QUICK Dans ce schéma on utilise les inconnues 1. de part et d autre de la face considérée, c est-à-dire et 2. L inconnue amont, c est-à-dire si >0; si <0 Dans le cas d un maillage uniforme, on montre que les combinaisons suivantes sont d ordres 2: = , >0 = , <0 F 0 F i 2 X i 1 Fi 1 X i Fi X i+ 1 F i+1 FN f 0 f i 2 x i 1 fi 1 xi fi x i+1 f i+1 f N x = Simulation numérique avancée - MI4 17

18 Monotonicitéet schéma QUICK Le schéma QUICK pour la convection, centré pour la diffusion donne, pour un maillage uniforme >0 : 3 8h +2 h = 8h + 7 8h + h + 3 8h + h Ou encore: = La monotonicitén est jamais strictement obtenue car <0 des problèmes de stabilité importants apparaissent lorsque Méthode de stabilisation proposée: traitement des coefficients négatifs par termes sources «deferred correction» Simulation numérique avancée - MI4 18

19 Schéma QUICK-illustration Une zone polluée (concentration non nulle) initialement positionnée en 0est convectéependant 5 sà une vitesse de 1 m/s La diffusion est négligée ( 0 Avec le schéma QUICK, les oscillations (valeurs négatives) sont toujours présentes, mais moins importantes que pour le schéma centré 400 mailles 200 mailles 100 mailles Simulation numérique avancée - MI4 19

20 Schémas TVD Les schémas QUICK sont bien décentrés amont, d ordre 2 et conservatifs MAIS non monotones On montre que pour qu un schéma soit monotone, il faut que la variation totale de la quantité soit une fonction non croissante Les schémas ayant cette propriété sont appelés TVD: Total Variation Diminishing Simulation numérique avancée - MI4 20

21 Schémas TVD Les schémas TVD estiment le flux de manière générique >0 : = + 2 où a fonction est un «limiteur de flux» et est le rapport des gradients sur les faces amont et aval: = On montre que: le schéma centré correspond à =1 le schéma upwindcorrespond à =0 Le schéma QUICK correspond à = Simulation numérique avancée - MI4 21

22 Schémas TVD Les propriétés des schémas écrits sous la forme précédente dépendent directement des propriétés de la fonction. On montre que: Le schéma est d ordre 2 si : min(r,1) r max(r,1) Le schéma est TVD si r min(2r,2) r 2 Exemple de limiteur conduisant à un schéma du second ordre et TVD Simulation numérique avancée - MI4 22

23 Exemples de schémas TVD Van Leer(Van Leer, 1974): Min-Mod(Roe, 1985): min (,1) Superbee(Roe, 1985) : =max(0,min 2,1,min,2 ) UMIST (Lien & Leschziner, 1993): =max(0,min (2,(1+3 )/4,(3+ )/4,2) Les différents schémas TVD donnent des résultats similaires et sont bien adaptés aux codes de calculs (industriels) généralistes car jugés suffisamment robustes et précis Simulation numérique avancée - MI4 23

24 Schéma TVD -illustration Une zone polluée (concentration non nulle) initialement positionnée en 0est convectéependant 5 sà une vitesse de 1 m/s La diffusion est négligée ( 0 Avec le schéma TVD (superbee), les oscillations (valeurs négatives) n existent plus, au prix d un niveau de dissipation est assez important quoique plus faible qu avec le schéma upwind 400 mailles 200 mailles 100 mailles Simulation numérique avancée - MI4 24