Bac Blanc Terminale ES - Février 2017 Correction de l Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

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1 Bac Blac Termiale ES - Février 2017 Correctio de l Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) pour les cadidats ayat pas choisi la spécialité MATH 1. Depuis le 28 jui 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoie modial de l'unesco. U hôtelier a vu so ombre de cliets augmeter sigificativemet comme l idique le tableau ci-dessous : Aée Nombre de cliets Le pourcetage d'augmetatio du ombre de cliets etre 2007 et 2010 est de 160 % puisque : Depuis le 1 er javier 2010, o a costaté que, chaque aée, l hôtel compte 1200 ouveaux cliets et que 70 % des cliets de l aée précédete revieet. O modélise cette situatio par ue suite ( u ) où u représete le ombre total de cliets de l hôtel durat l aée O a aisi u a) u 1 u O a bie u b) Pour tout, o a : u 1 0,7u 1200, 0,7u correspodat aux 70 % des cliets de l aée précédete qui revieet et 1200 aux ouveaux cliets. 3. Le gérat souhaite coaître l aée à partir de laquelle le ombre de cliets auel dépassera Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3 U pred la valeur 2470 N pred la valeur 0 Tat que U < 3900 U pred la valeur 0,7*U+1200 N pred la valeur N+1 Fi Tat que Afficher 2010+N U pred la valeur 2470 N pred la valeur 0 Tat que U > 3900 U pred la valeur 0,7*U+1200 N pred la valeur N+1 Fi Tat que Afficher 2010+N U pred la valeur 2470 N pred la valeur 0 Tat que U < 3900 U pred la valeur 0,7*U+1200 N pred la valeur N+1 Fi Tat que Afficher U L'algorithme 2 e coviet pas à cause de l'istructio «tat que U > 3900» qui 'est pas vérifiée au départ ; l'algorithme 3 e coviet pas à cause de l'istructio «Afficher U» puisqu'il faut afficher l'aée et o le rag. C'est l'istructio «afficher 2010+U» qui coviet. L'algorithme qui coviet est doc le O cosidère la suite ( v ) défiie pour tout etier aturel par v u a) O a : u 1 0,7u 1200 et v u 4000 d où : v 1 u ,7u ,7u ,7u ,7( u ) 0, ,7v O a doc v 1 0,7v, ce qui prouve que la suite ( v ) est géométrique de raiso 0,7 et de premier terme v 0 u , soit v b) D après la questio précédete, o a : v v 0 q soit v ,7 pour tout etier aturel. 1/1

2 c) O a : v u 4000 u v 4000 d où : u ,7 pour tout etier aturel. d) A la calculatrice, o costate que u 3900 pour tout etier aturel 7 et u Le ombre de cliets dépassera doc 3900 e O a : 0 0,7 1 doc lim O a doc lim 0,7 0 d'où lim ( ,7 ) 4000, soit lim (1530 0,7 ) 0. u Le gérat de l'hôtel peut doc espérer, à log terme, avoir chaque aée près de 4000 cliets. Exercice 1 (5 poits) pour les cadidats ayat choisi la spécialité MATH Les habitats d ue régio sot répartis das 3 villes otées A, B, C. Chaque aée, 20 % des habitats de A et 20 % des habitats de B déméaget e C, 10 % des habitats de B et 10 % des habitats de C déméaget e A, 10 % des habitats de C et 20 % des habitats de A déméaget e B. E 2016, 60 % des habitats habitaiet A, les autres étaiet égalemet répartis etre B et C. 1. Pour tout etier aturel, o ote a, b et c les pourcetages d habitats respectivemet de A, B, C au bout de aées ; o a doc a Chaque aée, 40 % des habitats de A s e vot, tadis que 10 % des habitats de B et 10 % des habitats de C vieet e A, soit a 1 0,6a 0,1b 0,1c pour tout etier aturel. 2. O pose X pour tout etier aturel. a) D après l éocé, a 0 60, et b 0 c 0 ; or, a 0 b 0 c d où b 0 c 0 40 et doc b 0 c O a doc bie X b) Chaque aée, 20 % des habitats de A et 10 % des habitats de C vieet e B, et 30 % des habitats de B s e vot, doc b 1 0,2a 0,7b 0,1c. De même, 20 % des habitats de A et 20 % des habitats de B vieet e C, et 20 % des habitats de C s e vot, doc c 1 0,2a 0,2b 0,8c. D où : a 1 0,6a 0,1b 0,1c b 1 0,2a 0,7b 0,1c c 1 0,2a 0,2b 0,8c ce qui s écrit, à l aide de matrices : X 1 M X avec M 0,6 0,1 0,1 0,2 0,7 0,1. 0,2 0,2 0,8 c) Chaque coloe idique la répartitio des habitats d ue ville doée, l aée suivate, das les 3 villes. Doc la somme d ue coloe est égale à la somme des proportios, soit égale à 1. d) D après la questio b), o a : X 1 M X doc o recoait ue suite géométrique de premier terme X 0 et de raiso M d où : X M X 0 pour tout etier aturel. 2/2

3 20 e) E 2066, La calculatrice doe X doc, e 2066, les habitats de A représeterot 20 % de la populatio, ceux de B 30 % et ceux de C 50 %. 20 O trouve de même X soit la même répartitio de la populatio pour E remarquat que M , o peut cojecturer que la populatio coservera cette répartitio 50 au cours des aées suivates. x 3. Soit X y ue matrice coloe représetat ue répartitio de la populatio etre les 3 villes qui z demeure stable d aée e aée. a) Si X défiit la répartitio de la populatio das les 3 villes ue aée, la répartitio de la populatio l aée suivate est doée par M X. Si la populatio est stable, o a doc M X X. x y z 100 b) O admet que x, y, z sot solutios du système : 4x y z 0 2x 3y z Le système s écrit alors A X B, avec A et B Après avoir vérifié que A est iversible, o obtiet : X A 1 B soit X Le système x y z 100 4x y z 0 2x 3y z 0 a doc pour solutio S {( ) } c) O retrouve la populatio trouvée pour 2066 et 2067 ; X semble doc représeter les proportios vers lesquelles coverget les proportios de la populatio. 3/3

4 Exercice 2 (5 poits) pour tous les cadidats Questio 1 : La populatio de la Frace était le 1 er Javier 2014 de habitats. Des prévisioistes peset que la populatio va augmeter tous les as de 0,5 %. 66 1, ,77 et 66 1, ,17. O devrait doc dépasser e : Questio 2 : O doe le tableau de variatio d ue foctio f défiie sur [ 1 3] : x Variatios de f 2 2 L équatio f( x) 1 admet ue solutio etre 0 et 2 et ue solutio etre 2 et 3 doc sur [ 1 3] : 0 solutio 1 solutio 2 solutios 3 solutios Questio 3 : O cosidère l'algorithme suivat : Variables I est u etier. P est u réel. Iitialisatio P pred la valeur 0. I pred la valeur 1. Traitemet Tat que I < 4 P pred la valeur 0,15 P 0,2 I pred la valeur I 1 Fi Tat Que Sortie Afficher P O suit l algorithme pas à pas et o obtiet 0,1745 P 0 0,2 0,17 0,1745 I I 4 Vrai Vrai Vrai Faux L algorithme affiche doc : 0,17 0,1725 0,1735 0,1745 Questio 4 : O cosidère la foctio f défiie sur [0 4]. O sait que f est dérivable sur [0 4] et que f (x) 3x 2 12x 9. f (x) 6x 12 doc o a : f cocave 6x 12 0 x 2. f est doc coc ave sur : Questio 5 : [0 ; 3] [0 ; 2] [1 ; 3] [2 ; 4] ( u ) est ue suite arithmético-géométrique. O sait de plus que : u 0 3 u 1 2 et u 2 1. O cherche a et b tels que, pour tout, u 1 au b doc 3a b 2 2a b 1. E soustrayat membre à membre les 2 égalités, o obtiet a 3 puis b 7. u 1 2u 4 u 1 8u 18 u u 1 3u 7 u 1 5u 9 4/4

5 Exercice 3 (5 poits) pour tous les cadidats 1) 0,5 0,5 p(c) = 1 (p(l) + p(a)) = 1 (0,25 + 0,4) = 0,35. p L ( R ) = 1 p L (R) = 1 0,2 = 0,8 p A ( R ) = 1 p A (R) = 1 0,3 = 0,7 Pour le 1) l arbre proposé e comporte pas les probabilités ecadrées. Celles-ci sot obteues das le 3). 2) L R est l évéemet :«la persoe iterrogée pratique la atatio e loisir et participe à la recotre». p(l R) = p(l) p L (R) = 0,25 0,2 = 0,05 soit p(l R) = 0,05. 3) a) p(r) = 0,345 doc p( R ) = 1 p(r) = 1 0,345=0,655 soit p( R ) = 0,655. b) D après la formule des probabilités totales p( R ) = p(l R ) + p(a R ) + p(c R ) 0,655 = p(l) p L ( R ) + p(a) p A ( R ) + p(c R ) p(c R ) = 0,655 0,25 0,8 0,4 0,7 =0,175 soit p(c R ) = 0,175. c) O iterroge u adhéret pratiquat la compétitio. La probabilité qu il ait pas participé à la recotre est p C ( R ) = p(c R ) p(c) = 0,175 0,35 = 0,5. O peut doc compléter l arbre avec p C( R ) = p C (R) = 0,5. 4) a) S la somme auelle payée par u adhéret de ce club. L R : S = = 75 A R : S = = 75 C R : S= = 115 L R : S = 60 A R : S = 60 C R : S = 100 S pred les valeurs 60, 75, 100 et 115. b) La loi de probabilité de S est : somme s i probabilité p i 0,48 0,17 0,175 0,175 car p(s = 75) = p(l R) + p(a R) = 0,05 + 0,4 0,3 = 0,17 et p(s = 115) = p(c R) = 0,35 0,5 = 0,175. c) E(S) = 60 0, , , ,175 = 79,175 soit E(S) 79. La somme auelle moyee payée par u adhéret du club est eviro 79. 5) a) O iterroge successivemet, au hasard, et de maière idépedate 10 adhérets du club. O a doc ue successio d épreuves idépedates et idetiques à 2 issues : Succès : R p(r) = 0,345 Echec : R p( R ) = 1 0,345 = 0,655. La variable aléatoire X doat le ombre d adhérets ayat participé à la recotre suit doc ue loi biomiale de paramètres 10 et 0,345. b) p(x = 3) = , ,655 7 p(x = 3) 0,255. c) p(x 1) = 1 p(x = 0) = 1 0, p(x 1) 0,985. 5/5

6 Exercice 4 (5 poits) pour tous les cadidats O cosidère ue foctio B défiie sur l itervalle [0 6], sa dérivée B et sa dérivée secode B. Partie A Lectures graphiques O a représetée ci-dessous la courbe C 1 représetat la foctio dérivée B aisi que la courbe C 2 représetat la foctio dérivée secode B de la foctio B. Le poit E de coordoées (0,5 0) appartiet à C et le poit F de coordoées (1,5 0) appartiet à C La courbe C coupe l axe des abscisses e E(0,5 0), est située au dessus de l axe des abscisses sur l itervalle [0 0,5] et e dessous sur l itervalle [0,5 6] doc la foctio B est positive sur l itervalle [0 0,5] et égative sur l itervalle [0,5 6]. La foctio B est doc croissate sur l itervalle [0 0,5] et décroissate sur l itervalle [0,5 6]. 2. La courbe C 2 coupe l axe des abscisses e F(1,5 0), est située e dessous de l axe des abscisses sur l itervalle [0 1,5] et au dessus sur l itervalle [1,5 6] doc la foctio B est égative sur l itervalle [0 1,5] et positive sur l itervalle [1,5 6]. La foctio B est doc covexe sur l itervalle [1,5 6] (et cocave sur [0 1,5]). 3. D après le raisoemet précédet, la foctio B s aule e 1,5 e chageat de sige doc la courbe de B admet u seul poit d iflexio qui a pour abscisse 1,5. Partie B Etude théorique La foctio B est défiie sur l itervalle [0 6] par B(x) (2x 1)e x a) B u e v 3 avec u :x 2x 1, dérivable sur [0 6], de dérivée u :x 2 v :x x 1, dérivable sur [0 6], de dérivée v :x 1 doc B est dérivable sur [0 6], de dérivée B u e v u ( e v ) u e v u v e v soit B (x) 2e x 1 (2x 1) ( 1) e x 1 2e x 1 ( 2x 1) e x 1 (2 2x 1)e x 1 O a doc, pour tout réel x de l itervalle [0 6], o a : B (x) ( 2x 1)e x 1. b) O a B (x) ( 2x 1)e x 1 avec e x 0 pour tout x doc e x 1 0 pour tout x de [0 6]. B (x) est doc du sige de 2x 1 avec : 2x 1 0 2x 1 x 0,5 O a doc : x 0 0,5 6 B (x) + 0 6/6

7 c) D après ce qui précède et avec : B(0) (2 0 1)e e 1 3 e 3 B(0,5) (2 0,5 1)e 0, e 0,5 3 2 e 3 B(6) (2 6 1)e e e 5 3 le tableau de variatio complet de la foctio B sur l itervalle [0 6] est : x 0 0,5 6 sige de B + 0 B 2 e 3 e 3 13e O a B(0) 0,282 ; B(0,5) 0,297 et B(6) -2,980. La foctio B est cotiue et strictemet croissate [0 0,5] avec B(0) 0 B(0,5). O e déduit, d après le théorème des valeurs itermédiaires que l équatio B(x) 0 admet ue solutio uique das l itervalle[0 0,5]. O motre de même que l équatio B(x) 0 admet ue solutio uique das l itervalle[0,5 6]. L équatio B(x) 0 admet doc exactemet deux solutios das l itervalle [0 6]. O effectuat u tableau de valeurs de B pour x [0 6] avec u pas de 1, o obtiet : E calculat B(1) (2 1 1)e e o vérifie que la solutio etière x 1 de l équatio B(x) 0 est x 1 1. E effectuat des tableaux de valeurs successifs de pas 0,1 puis 0,01 et efi 0,001, o obtiet : La valeur approchée à 0,01 près de la solutio o etière x 2 est doc 0,13. Partie C Applicatio Ue etreprise fabrique des pièces utilisées das l idustrie automobile. O suppose que toute la productio est vedue. L etreprise peut produire etre 0 et 6000 pièces par semaie. O ote x le ombre de milliers de pièces fabriquées et vedues par semaie. Le bééfice hebdomadaire exprimé e millios d euros est doé par B(x) (2x 1)e x /7

8 1. D après les parties précédetes, la foctio B admet u maximum e 0,5 avec B(0,5) 0,297 Ue productio de 500 pièces permet doc à l etreprise de réaliser u bééfice maximal qui s élève à eviro D après la partie précédete, o a : x 0 x 1 0,5 x 2 6 sige de B + 0 B 2 e e 3 13e 5 3 avec B(0,125) 0, B(0,126) 0 et B(1) 0. L etreprise doit doc produire etre 126 et 999 pièces pour réaliser u bééfice. 8/8