Les pourcentages. b) Exprimer une augmentation sous la forme d un %.

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1 Les pourcentges. 1. Clculer un %. ) Cs générl. b) Exprmer une ugmentton sous l orme d un %. c) Exprmer une dmnuton sous l orme d un %. 2. Applquer un % 3. Augmentton exprmée sous l orme d un % ) Clculer l vleur près ugmentton. b) Clculer l vleur vnt l ugmentton. 4. Dmnuton exprmée sous l orme d un %. ) Clculer l vleur près dmnuton. b) Clculer l vleur vnt l dmnuton.. Exercces.

2 Clculer un %. 1) Cs générl : ) Introducton : L noton de % est une pplcton très utlsée de l noton de proportonnlté. Un % permet pr exemple de comprer deux proportons qu, sns être exprmées en %, sont mons spontnément comprbles. Exemple : Les tux de réusstes des lycées u bcclurét sont dérents d un étblssement à l utre. Imgnons deux lycées : Lycée n 1 : Lycée n 2 : 10 bchelers pour 128 cnddts. 113 bchelers pour 14 cnddts. C est être trop rpde de conclure à l lecture de ces données que le lycée n 2 prépre meux ses élèves u bcclurét que le lycée n 1. Certes : 113 > 10. Ms là n est ps le plus mportnt. Il ut comprer les proportons d élèves reçus pr rpport u nombre de cnddts. Lycée n 1 : tux d élèves reçus : Lycée n 2 : t = t = Il ut mntennt comprer ces proportons, ce qu peut se re s elles ont le même dénomnteur. Clculer un %, c est smplement chosr comme dénomnteur commun et clculer le numérteur. t 10 p1 = = p = % t 113 p2 = = p = % Trnsormer les tux de réusste en % de réusste nous permet lors de comprer les lycées : Le % de réusste du lycée n 1 est supéreur à celu du lycée n 2.

3 b) Clcul d un % : Etpe n 1 : exprmer l proporton b Etpe n 2 : l convertr en un % p. p = p = % b b On remrque que : p = = = = % b b 1 b 1 b Ans : pour clculer le pourcentge, l sut de clculer l vleur décmle de l proporton b et de l multpler pr. p = b % c) Exemples : Une personne mgrt de kg sute à une mlde. Avnt de mgrr, elle pest 72 kg. Clculons le % de perte de msse pr rpport à l msse vnt d être mlde. Etpe n 1 : trouver l proporton. L réponse est dns l queston. Perte de msse : kg : numérteur. Pr rpport : trt de rcton. Msse vnt : 72 kg. Dénomnteur. Proporton : 72 Clcul du % : p = % 7% 72 Le ltre d essence ugmente de centmes d euro. Avnt ugmentton, l coûtt 1,39. De quel % le prx ugmente-t-l? p = 139 3,6%

4 2) Exprmer une ugmentton sous l orme d un %. Sot une grndeur qu vut ntlement (vnt ugmentton) et qu v, à l n du processus de dmnuton, Pour exprmer l dmnuton sous l orme d un % : ) Etpe 1 : clculer l vrton de l grndeur, souvent notée dns les ouvrges scentques ; = Comme l s gt d une ugmentton : > et = > 0. b) Exprmer cette vrton en un % de l vleur ntle : p = % = % = = = On remrque que : p % 1 = c) Exemples : Une personne grosst. Elle psse de 69 kg à 78 kg. Le pourcentge de vrton p vut : p = % = % 13% Fn jnver, un slre est de Fn évrer, l est de L vrton en % est de : p = % =,% d ugmentton ) Exprmer une dmnuton sous l orme d un % : Sot une grndeur qu vut ntlement (vnt ugmentton) et qu v, à l n du processus de dmnuton, Pour exprmer l dmnuton sous l orme d un % : ) Etpe 1 : clculer l vrton de l grndeur, souvent notée dns les ouvrges scentques ;

5 = Comme l s gt d une ugmentton : < et = < 0. b) Exprmer cette vrton en un % de l vleur ntle : p = % = % p On remrque que : = % = = 1 = c) Exemples : Une personne mgrt. Elle psse de 87 kg à 72 kg. Le pourcentge de vrton p vut : p = % = % 17% Remrque : On peut très ben clculer p = % = % 17% et conclure en dsnt que l dmnuton est de 17% Ms surtout ne ps dre que l dmnuton est de 17 %. En eet, une dmnuton négtve sert une ugmentton L populton d une vlle psse de hbtnts en à hbtnts en L vrton en % est de : p = % = 7,%

6 APPLIQUER UN % Applquer un % correspond à pplquer une proporton à un nombre k. Donc : Clculer % de k équvut à clculer : % k = k % de k = k Exemple 1: Un vendeur de voture t une remse de 1 % sur le prx d un véhcule coutnt vnt rems Clcule le montnt en de l remse. 1 Sot m cette remse : m = = 0, = 1920 Exemple n 2: L populton d une vlle de hbtnts dmnue de 4, % Clculons l nouvelle populton, une os le nombre d hbtnts dmnués. 4, 4, Sot n le nombre d hbtnts en mons : n = = = 4, 2480 = (Je n explque ps l smplcton pr. l mentonner, c est l explquer.) Sot N l nouvelle populton : N N = hbtnts. = Exemple n 3: Le prx de l essence est ugmenté de %. Avnt ugmenton, 1 ltre coûtt 1,42. Clcule le prx près ugmentton : Sot P ce prx et p l ugmentton en : p = 1,42 = 0,071. P = 1,42 + 0,071 = 1, 491.

7 AUGMENTATION EXPRIMEE SOUS LA FORME D UN % 1. Générlté : ) Découverte : Utlsons l exercce d ugmentton du prx de l essence de l secton précédente : Le prx de l essence est ugmenté de %. Avnt ugmenton, 1 ltre coûtt 1,42. Clcule le prx près ugmentton : Sot P ce prx et p l ugmentton en : p = 1,42 = 0,071. P = 1,42 + 0,071 = 1, 491. On remrque que : P = 1,42 + 0,071 = 1,491 P = 1,42 + 1,42 P = 1, ,42 Fctorsons pr 1,42 : P = 1, = 1,42 ( 1+ 0,0) = 1,42 1,0 = 1, 491 Concrètement : Le prx près ugmentton se clcule à prtr du prx ntl en multplnt pr un nombre donné : 1,0. Que ce sot le prx de l essence qu ugmente de % ou les mpôts ou l populton d un pys ou que ss-je encore : notons pr x l vleur vnt ugmentton et pr y l vleur près ugmentton. y = x + % de. x = x + x = x 1+ x 0,0 = x = 0 ( 1+ 0,0) 1, x Concluson : l vleur près ugmenton de % est proportonnelle à l vleur vnt ugmentton et le coecent de proportonnlté est égl à 1 + = 1, 0

8 2. Générlston : Sot x l vleur d une grndeur vnt ugmentton de % Sot y l vleur de l grndeur près ugmentton de % On : y = x + %. de. x y = x + x y = x 1+ x y = x 1 + Remrque : on utlse les nottons x et y pour re un len vec l noton de oncton. Sot l oncton mthémtque modélsnt une ugmentton de % (correspondnt à une ugmentton de %) x : vleur vnt ugmentton de x ntécédent. y : vleur près ugmentton de y mge On : : x x 1 +, sot : : x ( x) = x Exemples de clculs de coecents lés à une ugmentton exprmée en %. Sot α le coecent de proportonnlté lé à une ugmentton de % % α 37% = 1+ 0,37 = 1, 37 : x 1, 37x % 1 + = 1, 0 : x 1, 0x 48% = 1, 48 : x 1, 48x 30% = 1,30 = 1, 3 : x 1, 3x 140 % = 1+ 1,4 = 2, 4 : x 2, 4x

9 4. Utlston : Dns toute cette prte : on noter pr x l vleur vnt ugmentton et pr y l vleur près ugmentton.. Clculer l vleur près ugmentton : sot clculer l mge à prtr de l ntécédent. Exemple n 1: En 2012 : l populton d une vlle est de hbtnts. En 2013 : l populton ugmenté de 4%. Clcule l populton en Etpe n 1 : Clculerα, le coecent de l oncton «ugmentton de 4 %» pour dénr cette oncton notée. 4 α = 1 + = 1,04. L oncton est déne de l mnère suvnte : : x 1, 04x. x, l ntécédent, est l vleur vnt ugmentton. Notons pr y l vleur près ugmentton : y est l mge de x. ( x) y = vec x = y = ( ) = 1, = Concluson : l populton de l vlle est en 2013 de hbtnts. Exemple N 2 : Une personne pe 1 40 d mpôts en Ses mpôts vont ugmenter en de 1%. 1 ( x) = 1 + x = 1, 1x x = 140 ( 140) = 1,1 140 = 1667, Concluson : Les mpôts de Monseur X seront en de 1 667,. Résumé : Pour clculer l vleur près ugmentton : on multple l vleur vnt ugmentton pr le coecent de proportonnlté égl à : 1+

10 b. Clculer l vleur vnt dmnuton : sot clculer l ntécédent à prtr de l mge. Comme y = αx lors x = y α Pusqu l s gt de retrouver l vleur vnt ugmentton, l sut de revenr en rrère sur l multplcton. Il ut donc dvser pr le coecent α Exemple n 1 : Après une ugmentton de 30 %, les ventes de tblettes numérques d une socété sont de tblettes. Comben de tblettes numérques cette socété vendt-elle de tblettes vnt l ugmentton? Attenton : ben qu l s gsse de retrouver un nombre plus pett, nous sommes toujours dns un contexte d ugmentton de ventes. 30 Clcul du coecent : α = 1 + = 1, 3 : x 1, 3x 3120 ( x) = 1,3x = 3120 x = = ,3 Concluson : vnt ugmentton de ses ventes, celles-c étent de tblettes. Exemple n 2 : Après vor grosst de 7 % de s msse corporelle, une vche ltère pèse 909, kg. Quelle étt s msse vnt ugmentton? 7 Augmentton de 7 %. : x 1 + x = 1, 07x. 909, Notons pr x l vleur vnt ugmentton : ( x) = 1,07 x = 909, x = = 80. 1,07 Concluson : vnt de grossr, l vche ltère pest 80 kg. Résumé : pour clculer l vleur vnt ugmentton, on dvse l vleur près ugmentton pr le coecent de l ugmentton, α = 1+.

11 DIMINUTION EXPRIMEE SOUS LA FORME D UN %. 1) Découverte : Utlsons l exemple N 2 de l secton «pplquer un %» pour découvrr l méthode. L populton d une vlle de hbtnts dmnue de 4, % Clculons l nouvelle populton, une os le nombre d hbtnts dmnués. 4, 4, Sot n le nombre d hbtnts en mons : n = = = 4, 2480 = Sot N l nouvelle populton : N N = hbtnts. = Dns N = , nous llons remplcer , l dmnuton du nombre d hbtnt, pr le clcul condusnt à ce nombre : 4, N = vec = , N = Fctorston pr , N = , N = N = ,9 N = Concrètement : Le prx près dmnuton se clcule en multplnt l populton ntle pr un nombre donné : 0,9 Que ce sot une populton, ou une msse ou que ss-je encore qu dmnue de 4, % : notons pr x l vleur vnt dmnuton et pr y l vleur près dmnuton. 4, y = x 4,% de. x = x x = x 1 x 0,04= x = 9 ( 1 0,04) 0, x Concluson : l vleur près dmnuton de 4,% est proportonnelle à l vleur vnt dmnuton et le 4, coecent de proportonnlté est égl à 1 = 0, 9

12 2) Générlston : Sot x l vleur d une grndeur vnt dmnuton de % Sot y l vleur de l grndeur près dmnuton de % On : y = x %. de. x y = x x y = x 1 x y = x 1 Remrque : on utlse les nottons x et y pour re un len vec l noton de oncton. Sot l oncton mthémtque modélsnt une dmnuton de % x : vleur vnt dmnuton de x ntécédent. y : vleur près dmnuton de y mge On : : x x 1, sot : : x ( x) = x 1. Exemples de clculs de coecents lés à une dmnuton exprmée en %. Sot α le coecent de proportonnlté lé à une dmnuton de % % α 37% 37 1 = 1 0,37 = 0, 63 : x 0, 63x % 1 = 0, 9 : x 0, 9x 48% 48 1 = 0, 2 : x 0, 2x 30% 30 1 = 0, 7 : x 0, 7x Remrque : S une grndeur est dmnuée de 30%, l est logque qu l n en reste que les 70%. Clculer l vleur près dmnuton de 30% revent à clculer 70% de l vleur vnt dmnuton.

13 6. Utlston : Dns toute cette prte : on noter pr x l vleur vnt dmnuton et pr y l vleur près dmnuton.. Clculer l vleur près dmnuton : sot clculer l mge à prtr de l ntécédent. Exemple n 1: En 2012 : l populton d une vlle est de hbtnts. En 2013 : l populton ugmenté de 4%. Clcule l populton en Etpe n 1 : Clculerα, le coecent de l oncton «ugmentton de 4 %» pour dénr cette oncton notée. 4 α = 1 + = 1,04. L oncton est déne de l mnère suvnte : : x 1, 04x. x, l ntécédent, est l vleur vnt ugmentton. Notons pr y l vleur près ugmentton : y est l mge de x. ( x) y = vec x = y = ( ) = 1, = Concluson : l populton de l vlle est en 2013 de hbtnts. Exemple N 2 : Une personne pe 1 40 d mpôts en Ses mpôts vont ugmenter en de 1%. 1 ( x) = 1 + x = 1, 1x x = 140 ( 140) = 1,1 140 = 1667, Concluson : Les mpôts de Monseur X seront en de 1 667,. Résumé : Pour clculer l vleur près ugmentton : on multple l vleur vnt ugmentton pr le coecent de proportonnlté égl à : 1+

14 c. Clculer l vleur vnt dmnuton : sot clculer l ntécédent à prtr de l mge. Comme y = αx lors x = y α Pusqu l s gt de retrouver l vleur vnt ugmentton, l sut de revenr en rrère sur l multplcton. Il ut donc dvser pr le coecent α Exemple n 1 : Après une ugmentton de 30 %, les ventes de tblettes numérques d une socété sont de tblettes. Comben de tblettes numérques cette socété vendt-elle de tblettes vnt l ugmentton? Attenton : ben qu l s gsse de retrouver un nombre plus pett, nous sommes toujours dns un contexte d ugmentton de ventes. 30 Clcul du coecent : α = 1 + = 1, 3 : x 1, 3x 3120 ( x) = 1,3x = 3120 x = = ,3 Concluson : vnt ugmentton de ses ventes, celles-c étent de tblettes. Exemple n 2 : Après vor grosst de 7 % de s msse corporelle, une vche ltère pèse 909, kg. Quelle étt s msse vnt ugmentton? 7 Augmentton de 7 %. : x 1 + x = 1, 07x. 909, Notons pr x l vleur vnt ugmentton : ( x) = 1,07 x = 909, x = = 80. 1,07 Concluson : vnt de grossr, l vche ltère pest 80 kg. Résumé : pour clculer l vleur vnt ugmentton, on dvse l vleur près ugmentton pr le coecent de l ugmentton, α = 1+.

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