CHAPITRE 2 MISE EN ÉQUATION D'UN SYSTÈME LINÉAIRE SCALAIRE

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1 CHAPITRE MISE EN ÉQUATION D'UN SYSTÈME LINÉAIRE SCALAIRE La mis n équation, au départ d l'analys d'un systèm, st un opération xtrêmmnt délicat, qui put compromttr l'nsmbl d l'étud d manièr définitiv. Ctt opération dmand baucoup d connaissancs physiqus mais aussi d'xpérinc d "trrain". Avc un vu général ds systèms t par analogi avc ls systèms élctriqus, on put établir cs équations indispnsabls. Dans la suit, nous nous intérssrons aux systèms scalairs, c'st à dir à un ntré t un sorti, linéairs.. Notion d modèl - Mis n équation. On appll modèl d un procssus ou systèm monovariabl la loi qui rli l ntré x (caus) à la sorti y (fft). L idéal, pour appréhndr l étud d un systèm, st d détaillr pas à pas l nsmbl d ss élémnts constitutifs. Mais ctt méthod, la sul au stad d la concption d un systèm automatisé, n st pas praticabl n général sur un systèm xistant, d structur complx ou mal connu. Nous supposrons qu l on put définir a priori un loi simpl qui li y à x. Ls paramètrs (n général pu nombrux) d la loi sont alors détrminés par ds ssais ffctués sur l systèm, c st la phas d idntification ou modélisation. Soit un systèm linéair t scalair. L comportmnt d'un tl systèm st régi par un équation différntill, ayant pour form: x ( t) y ( t) b d n y b dy b y a d m x a dx n. n = m. m a0. x Rmarqu: Si l systèm st variant, ls cofficints a i t b j d l'équation sont dépndants du tmps: a i (t), b j (t). La mis n équation d'un systèm scalair, linéair t invariant consist donc à détrminr ls paramètrs constants d l'équation qui lint l'ntré t la sorti. Exmpl: i(t) R v (t) C v s (t) - 9 -

2 On a: v s = C i donc i C dv s =. Avc: v = R. i + vs d où: v R C dv s =.. + v Par idntification : b = ; b = RC t a. 0 0 =. Transformé d Laplac. L'étud ds systèms s'accompagn inévitablmnt d la manipulation d'équations différntills. Or ls opérations liés à ctt manipulation sont souvnt délicats t la résolution ds équations n'st pas toujours simpl. Pour facilitr ls calculs, on utilis un outil mathématiqu puissant: la transformé d Laplac.. Formulation mathématiqu. Transformé d Laplac. Soit f(t) un fonction réll d la variabl réll t, défini pour tout valur d t, sauf évntullmnt pour crtains valurs, n nombr fini dans tout intrvall fini, t null pour t<0. pt La transformé Laplac d f(t) st défini par l'égalité: F =. f ( t). p étant un variabl complx. On not F(p) = LP[f(t)] t f(t) = LP - [F(p)]. On dit qu F(p) st la transformé d f(t) t qu f(t) st l'original d F(p). Pour résoudr ls équations différntills grâc à la transformé d Laplac, il st nécssair d savoir ffctur l passag d f(t) à F(p) mais aussi d F(p) à f(t) : s Théorèm : formul d'invrsion. Soit f(t) un fonction réll d la variabl t, d class C² par morcaux (c'st à dir continu t pourvu d'un dérivé prmièr t scond continus, sauf évntullmnt pour crtains valurs, n nombr fini), tll qu - f(t) = 0 pour t<0 - il xist σ tl qu pt σt. f ( t). t. F. dp sont convrgnts. 0 0 alors pour touts valurs d t on a: [ f t 0 f t 0 ] où Γ st la droit d'équation x = σ. 0 tp ( + ) + ( ) =. F. dp i Pour information, l calcul d ctt drnièr intégral st ffctué avc la méthod ds résidus qui sra abordé n scond cycl.. Propriétés t théorèms. Ls propriétés d la Transformé d Laplac sont réunis dans l tablau ci-après. π Γ - 0 -

3 Propriété Original Transformé d Laplac f(t) F(p) Linéarité a.f (t)+b.f (t) af (p)+b.f (p) Dérivation f (t) p.f(p)-f(0 + ) f n t p n.f(p)-p n-.f(0 + )-... -p.f( n- )(0 + ) (n>0) -f( n- )(0 + ) Intégration f ( t). F p Dérivation d ordr n ( ) Rtard f(t-θ) -θp.f(p) Changmnt d échll f(a.t) a F. p a A cs propriétés, on doit joindr ls théorèms suivants: Théorèm d la valur final: lim p. F = lim f ( t) p 0 t Théorèm d la valur initial: lim p. F = lim f ( t) Théorèm d Borl: p t 0 Si f(t) t g(t) ont rspctivmnt pour transformé d Laplac F(p) t G(p), alors h( t) = f ( t )* g( t) a pour transformé: H(p) = F(p).G(p). Théorèm du dévloppmnt d Havisid: Pour trouvr l original d un fraction rationnll F(p)/G(p), où l dgré d F(p) st infériur au dgré d G(p), on la décompos n élémnts simpls d prmièr spèc, t l on appliqu la formul: LP t k at k k =! p a ( ) ( ).3 Tabl ds transformés d Laplac. Il st souvnt plus simpl d calculr la Transformé d Laplac d un fonction à partir d la transformé connu d un autr fonction n utilisant ls propriétés t théorèms énoncés au.. A partir d qulqus résultats d bas, on put ainsi rtrouvr rapidmnt ls Transformés d Laplac d la plupart ds fonctions utilisés n élctroniqu ou n automatiqu dans ls assrvissmnts. Afin d évitr l calcul systématiqu d cs fonctions d bas, on ls rgroup dans ds tabls d Transformés d Laplac. Un tabl résumé ds Transformés d Laplac ls plus usulls n élctroniqu st donné à l Annx. - -

4 3. Fonction d transfrt. Soit un systèm scalair, linéair, invariant régi par l'équation différntill : a d n x a dx a x b d m y b dy n. n = m. m b0. y La transformation d Laplac appliqué à ctt équation conduit à la nouvll rlation : a n [p n.x(p) - p n-.x(0 + ) p.x( n- )(0 + ) - x( n- )(0 + )] a [p.x(p) - x(0 + )] + a 0.X(p) = b m [p m.y(p) - p m-.y(0 + ) p.y( m- )(0 + ) - y( m- )(0 + )] b [p.y(p) - y(0 + )] + b 0.Y(p) Ctt rlation put aussi s'écrir sous la form suivant : [a n.p n a.p + a 0 ]X(p) - [a n.p n a ]x(0 + ) [a n.p + a n- ]x( n- )(0 + ) - a n.x( n- )(0 + ) = [b m.p m b.p + b 0 ]Y(p) - [b m.p m b ]y(0 + ) [b m.p + b m- ]y( m- )(0 + ) - b m.y( m- ) (0 + ) Dans l cas où touts ls conditions initials sont nulls ou considérés comm tlls à la suit d un changmnt d variabl (cas l plus fréqunt), ctt drnièr rlation s simplifi: n m a p a X p = b p +... b Y p On aboutit finalmnt au résultat: [ ] ( ) [ ] ( ) n 0 m + 0 Y X n an p a0 = m bm p b0 Fonction d transfrt. La fonction n p, obtnu n formant l rapport Y sur lorsqu l systèm st initialmnt au rpos, st applé fonction d transfrt du systèm. On la not généralmnt H(p): Y ( ) H p = X p ( ) On a vu précédmmnt qu la répons d'un systèm scalair, linéair, invariant à un signal qulconqu x ( t) st donné par: y( t) x( ).h ( t τ).dτ = x( t) h( t) + = τ où h(t) st la répons impulsionnll du systèm. En appliquant la transformé d Laplac à ctt drnièr rlation (théorèm d Borl, voir TD sur Laplac), on obtint :.LP[ h( t) ] Y = En comparant ctt égalité avc la définition d la fonction d transfrt du systèm on constat qu: LP[ h( t) ] H = La fonction d transfrt H(p) d'un systèm scalair, linéair t invariant, st égal à la transformé d Laplac d la répons impulsionnll h(t) d c systèm: H p = LP h t ( ) [ ( )] - -

5 Rmarqu: H n dépnd qu ds cofficints physiqus du systèm

6 Exmpl: on rprnd l'xmpl du : i(t) R v (t) C v s (t) On a: v RC dv s = + v s + On appliqu la transformé d Laplac: V = RC[ pvs vs ( 0 )] + Vs Si ls conditions initials sont nulls ( 0 + ) = 0 V p = v s, on obtint: ( ) ( + RCp) Vs Vs D'où la fonction d transfrt d c systèm: ( ) H p = = V + RCp 4. Diagramm fonctionnl. Un systèm complx put comportr plusiurs sous systèms. Pour manipulr ls équations d l'nsmbl du procssus, sans lourdur, on utilis un rprésntation schématiqu adapté: la méthod ds diagramms fonctionnls. Diagramm fonctionnl. L diagramm fonctionnl d'un systèm scalair, dont la fonction d transfrt st H(p), st défini par: H Y Ls calculs dans l'spac d Laplac étant simpls, on gard pour ls diagramms fonctionnls l'xprssion ds transformés d Laplac. Ls règls d manipulation d cs diagramms sont alors prsqu évidnts: Mis n séri: Soit un systèm formé par la mis n séri d dux sous systèms d fonction d transfrt H t H. La fonction d transfrt d l'nsmbl st H = H.H. Y H H Z H.H Z ( p ) - 4 -

7 Mis n parallèl: Soit un systèm formé par la mis n parallèl d dux sous systèms d fonction d transfrt H t H. La fonction d transfrt d l'nsmbl st H = H + H. H + Y H H + H Y + 5. Rlations fondamntals n élctricité t n mécaniqu. 5. Rlations fondamntals n élctricité. a. Notations différnc d potntil (Volts) : courant (Ampèrs) : résistanc (Ohms) : capacité d un condnsatur (Farads) : slf (Hnry) : Énrgi élctriqu (Jouls) : Énrgi magnétiqu (Jouls) : i R C L E E E M b. Rlations fondamntals tnsion aux borns d un résistanc : = R. i () tnsion aux borns d un inductanc : = L. di () tnsion aux borns d un condnsatur : i = C. d (3) Énrgi élctriqu : E = E. C. (4) Énrgi magnétiqu : E = M. L. i (5) - 5 -

8 5. Systèms mécaniqus n translation. a. Lois fondamntals Loi fondamntal d la dynamiqu : l accélération d un mobil dans un dirction st proportionnll à la résultant ds forcs appliqués au mobil dans ctt dirction : m. dv. u ρ ρ = (6) où ρ F x rprésnt la somm ds projctions ds forcs appliqués au mobil sur la dirction ρ u considéré. m st la mass d inrti du mobil (kg). Énrgi cinétiqu d un corps n translation : pour amnr un corps immobil d mass m à la vitss V, il faut fournir un énrgi cinétiqu E c. Cll-ci corrspond au travail d la forc ρ F x qui accélèr l corps. L travail W fourni par ctt forc s écrit : W E dw F V m dv = c = =.. =.. V. = m V dv = m V.... b. Ls différnts typs d forcs t énrgis Forc d rappl élastiqu : c st la forc qu xrc un rssort lorsqu on l écart d sa position d rpos. Ctt forc st proportionnll à l écart x par rapport à ctt position d rpos : ρ ρ F = k. x. u Énrgi potntill d élasticité : travail d la forc nécssair pour amnr l rssort d sa position d rpos à sa nouvll position : W = Ep = dw = k. x. dx = d. k. x =. k. x (8) Forc d frottmnt visquux : c st la forc qu xrc un amortissur lorsqu on l comprim ou lorsqu on l étir : ρ ρ ρ F = dx f. V = f.. u (9) f st l cofficint d frottmnt visquux (N.s.m - ). F x (7) 5.3 Systèms mécaniqus n rotation. a. Lois fondamntals Loi fondamntal d la dynamiqu: l accélération angulair d un solid n rotation autour d un ax fix st proportionnll au momnt résultant par rapport à ct ax d touts ls forcs xtériurs appliqués au solid. Ctt loi s écrit (n intnsité): J d α. J. d Ω = = Μ (0) où α rprésnt l angl d rotation (rd), Ω la vitss d rotation (rd.s - ), J l momnt d inrti (kg.m ) t M l momnt résultant d touts ls forcs par rapport à l ax d rotation (m.n). Énrgi cinétiqu d rotation: W = Ec = dw = M. dα = M. Ω. = J. Ω. dω = d. J. Ω =. J. Ω () - 6 -

9 b. Ls différnts typs d momnts t énrgis Momnt d rappl élastiqu : c st l momnt qu xrc un rssort nroulé autour d l ax lorsqu on l écart d un angl α d sa position d rpos. Son intnsité s écrit : M = k.α où k st la constant d raidur du rssort. Énrgi potntill d élasticité : travail d la forc nécssair pour amnr l rssort d sa position d rpos à sa nouvll position : W = Ep = dw = M. dα = k. α. dα = d. k. α =. k. α () Momnt d frottmnt visquux : c st un momnt dont l intnsité st proportionnll à la vitss d rotation. Il s écrit : dα M = Rf. Ω = Rf. où f st l cofficint d frottmnt visquux (N.s.m - ) t R st l rayon du systèm n rotation