M5. MÉCANIQUE DU SOLIDE

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1 (5 pages) 5. ÉANIQUE DU SLIDE 1. SLIDE PARFAIT 1.1. Défnton Un solde parfat est un système de ponts fxes les uns par rapport aux autres. 1.. entre de masse a) défnton G tel que, A pont fxe mag A. avec µ ( ). dv b) proprété G. 0 c) barycentre d'un système de soldes mag m AG avec m m. ATINS SUBIES PAR UN SLIDE n dstnguera les actons ntéreures des actons extéreures..1. Descrpton d'une acton : système de forces Sot un système solde de ponts subssant chacun une force df. n défnt le système de forces par sa résultante et son moment résultant : f df f ( A) d A A df Remarque F( A) dépend de A. Relaton de transport des moments : f ( B) B df BA df + A df f ( A) + BA f.. Exemple : pods d'un solde P dp g mg P A A g A g m AG g AG P A G, P. 'est le moment d'une force P applquée en ( ) ( ) ( ) G : tout se passe comme s le pods se rédusat à une force unque P dont le pont d'applcaton serat G..3. Noton de centre de force La noton précédente ntrodute avec le pods est généralsable à tout système de force. e pont d'applcaton "équvalent" se nomme centre de force. n peut défnr le centre de force d'une acton par : f ( A) A P A (, f ) ou encore f ( ) 0 Prépa ATS Djon - Scences physques ÉANIQUE

2 .4. Noton de couple 5. ÉANIQUE DU SLIDE - /5 Un système de force dont la résultante est nulle est appelé couple. Le moment résultant d'un couple est donc ndépendant du pont de calcul. n peut le noter ou Exemple : couple de rappel exercé par un fl de torson de constante de torson et placé suvant l'axe θ θ u ( eq ).5. Actons ntéreures a) proprétés n montre que pour tout système de ponts, solde ou non : fnt 0 nt( ) 0, étant un pont fxe b) conséquence A et B, deux ponts d'un système : f + f 0 A B B A 'est la lo des actons récproques, qu se généralse à l'acton d'un solde sur un autre solde..6. Travaux a) traval des actons ntéreures Dans un système, on montre que ce traval ne fat ntervenr que les déplacements relatfs des ponts les uns par rapport aux autres. Dans le cas d'un solde, ces mouvements sont nexstants, d'où : W 0 nt b) traval des actons extéreures dw ( f ) df ( ). d pour des forces df exercées sur des ponts. Exemple du pods : dw P dp. d gd. g d. g. d. g. d mg mg. dg P. dg ( ) ( ) ( ) ( ) e résultat est généralsable à toute force dont on connaît le centre de force : dw f f d ( ). c) traval d'un couple Sot un couple de moment résultant, agssant sur un paramètre angulare α. Le traval élémentare s'écrt : dw ( ). dα La pussance du couple : ( ) dα P ω Prépa ATS Djon physque-chme - ÉANIQUE

3 5. ÉANIQUE DU SLIDE - 3/5 3. SLIDE EN TRANSLATIN 3.1. Résultante cnétque (ou q totale) d d d dg p dp( ) v.. ( mg) m p m v G ( ) 3.. Théorème de la résultante cnétque dp fext ma( G) e théorème ne concernant que le mouvement du centre de masse, l est parfos appelé théorème du centre d'nerte. n notera l'analoge avec la relaton fondamentale de la dynamque du pont Énerge cnétque d'un solde en translaton a) Énerge cnétque d'un solde 1 E v ( )². solde b) cas d'un solde en translaton v() dentque donc en partculer v ( ) v ( G) 1 1 E ( G) ². ( G) ² v v E 1 m v ( G )² 3.4. théorème de l'énerge cnétque Le traval des actons ntéreures étant nul, l vent : E 1 W 1 ( ) ext ( ) Théorème de la pussance cnétque : de P ext Prépa ATS Djon physque-chme - ÉANIQUE

4 5. ÉANIQUE DU SLIDE - 4/5 4. SLIDE EN RTATIN AUTUR D'UN AXE FIXE 4.1. oment d'nerte par rapport à un axe de rotaton a) défnton Pour J r² r. b) exemples tge homogène de longueur L et de masse m moment d'nerte par rapport à un axe perpendculare à la tge et passant par son centre : ml² Jc 1 moment d'nerte par rapport à un axe perpendculare à la tge et passant par une de ses extrémtés : ml² JE 3 cylndre de révoluton (ou dsque) de masse m et de rayon R moment d'nerte par rapport à l'axe du cylndre : mr² J 4.. oment cnétque d'un solde a) poston du problème Axe de rotaton axe L v( ). r v ωru θ et rur + u L ( rur + u ) ωruθ r² ωu + rω ( ur ) L J ωu + Jrωur avec Jr r. Dans le cas où le repère est postonné de manère quelconque par rapport à l'axe de rotaton, le calcul ferat ntervenr la matrce d'nerte du solde (hors-programme en physque). b) moment cnétque par rapport à l'axe de rotaton n pose L J ω projecton de L sur l'axe. u encore L J ω ω ωu ( ) c) cas partculers fréquents est un axe de symétre de la répartton de masse : le solde tourne autour de l'un de ses axes de syméte. Pour tout pont P du solde l exste un pont P' symétrque ( u r opposé, sot, projeté sur le même axe : r opposé) d'où : Jr r. 0 Alors L L Le solde est dans le plan 0, ou le plan 0 est un plan de symétre du solde : Jr r. 0 Alors L L d) as d'un système ndéformable de ponts L L mv ( ) ( ). r Prépa ATS Djon physque-chme - ÉANIQUE

5 4.3. Théorème du moment cnétque 5. ÉANIQUE DU SLIDE - 5/5 a) en un pont fxe dl ext( ) b) exprmé au barycentre dlg ext( G) c) cas partculers fréquents Sous réserve que L L J dl ω, ext( ) peut s'écrre : dω ext( ) J ( ) d) théorème scalare du moment cnétque S l'on projette ext( ) sur l'axe et que l'on appelle ext( ) cette projecton, on a alors, en utlsant la projecton du moment cnétque sur : dl dω ext( ) J 4.4. Énerge cnétque d'un solde en rotaton cas d'un solde en rotaton autour d'un axe fxe E ( ) ². ω² r². ( r² ) ω² v E 1 J ² ω 4.5. Théorème de l'énerge cnétque L'expresson est la même que pour un solde en translaton : E 1 W 1 ( ) ext ( ) 5. ÉNERGIES PTENTIELLE ET ÉANIQUE D'UN SLIDE 5.1. Énerge potentelle Par conventon E pnt 0, car Wnt 0 n a alors Ep Ep Epassocées aux dfférentes actons extéreures conservatves. ext Exemple : solde dans le champ de pesanteur n utlse la proprété de p dw ( P) de p P. dg mg. dg mg. dg, s G désgne l'abscsse de G sur un axe vertcal ascendant. E p P mg + cste d'où ( ) G 5.. Énerge mécanque Em Ec + E p et E m( 1 ) W D ( 1 ) S toutes les forces sont conservatves, alors E m cste ext Prépa ATS Djon physque-chme - ÉANIQUE