Suites numériques. Introduction. Exercice 1 1 er terme. 2 ième terme 1 ère série ième série ième série
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- Micheline Crevier
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1 Introduction Exercice 1 1 er terme 2 ième terme 1 ère série ième série Formule de récurrence Formule explicite 3 ième série ième série ième série ième série Le terme général d une suite Le plus généralement, le premier terme est noté Il arrive que le premier terme soit noté 1) Pour les suites ci-dessous, on donne les 6 premiers termes. Exprimer en fonction de n. 1 ère suite : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 2 ième suite : 1 ; ; ; ; 3 ième suite : 1 ; ; ; ; 2) Pour les suites ci-dessous, Exprimer en fonction de, puis en fonction de n. 1 ère suite : -5 ; 7 ; 19 ; 31 ; 43 2 ième suite : ; ; ; 3 ième suite : ; ; 0 ; ; Pour chacune des suites suivantes, calculer les 5 premiers termes, puis ; ; ;. ; ; ; ; ; Exercice 4 Pour chacune des suites suivantes, calculer les 5 premiers termes, puis en fonction. { { {
2 Introduction CORRIGE Exercice 1 1 ère série 2 ième série 3 ième série 4 ième série 5 ième série 6 ième série 1 er terme 2 ième terme Formule de récurrence Formule explicite pour pour Le terme général d une suite (u n ) se note u n. Le plus généralement, le premier terme est noté u 0 et donc le deuxième est u 1. Il arrive que le premier terme soit noté u 1 et donc le deuxième est u 2. 1) Pour les suites ci-dessous, on donne les 6 premiers termes. Exprimer en fonction de n. 1 ère suite : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 3 ième suite : 1 ; ; ; ; 2 ième suite : 1 ; ; ; ; 2) Pour les suites ci-dessous, Exprimer en fonction de, puis en fonction de n. 1 ère suite : -5 ; 7 ; 19 ; 31 ; 43 2 ième suite : ; ; ; 3 ième suite : ; ; 0 ; avec avec avec ; Pour chacune des suites suivantes, calculer les 5 premiers termes, puis ; ; ;. ; ; ; ; ; Exercice 4 Pour chacune des suites suivantes, calculer les 5 premiers termes, puis en fonction. { { {
3 Définition d une suite Préciser dans chaque cas, le rang à partir duquel la suite dont on donne le terme général est définie. a. c. e. b. : d. Soit ( ) la suite définie sur R par :. Exprimer en fonction de n : a. b. c. d. : Soit ( ) la suite définie sur R par :. Exprimer en fonction de n : a. b. c. d. Exercice 4 : Exprimer dans chaque cas, en fonction de. a. Chaque terme est égal à la moitié du terme précédent. b. Chaque terme est égal à l opposé du terme précédent. c. Chaque terme est égal à la somme du terme précédent et de 5. d. Chaque terme est égal au double de l inverse du terme précédent. e. Chaque terme est égal au quotient de la racine carré du terme précédent par 7. f. La suite est une suite constante. Exercice 5 : Dans chacun des cas suivants, décrire par une phrase, comme dans l exercice précédent, la suite correspondant à la relation de récurrence donnée. a. c. d. b. Exercice 6 : Dans chacun des cas suivants, on donne les quatre premiers termes d une suite ( ). Conjecturer une expression de en fonction de. a. u 0 = 2 ; u 1 = 4 ; u 2 = 16 et u 3 = 256. b. u 0 = 2 ; u 1 = ; u 2 = 2 et u 3 =. c. u 0 = 3 ; u 1 = 7 ; u 2 = 15 et u 3 = 31. Exercice 7 : Soit (u n ) et (v n ) les suites définies par : u 0 = 8 et pour tout entier naturel n, naturel n, et v 0 = 15 et pour tout entier a. Calculer u 1, v 1, u 2 et v 2. b. Soit (w n ) la suite définie pour tout entier n par. Démonter que la suite (w n ) est constante.
4 Définition d une suite Préciser dans chaque cas, le rang à partir duquel la suite dont on donne le terme général est définie. a. La suite (un) définie pour tout entier naturel. b. La suite (un) définie pour tout entier naturel. c. La suite (un) définie pour tout entier naturel. d. e. : La suite (un) définie pour tout entier naturel. La suite (un) définie pour tout entier naturel. En effet, le trinôme a pour racines 3 et 5 Soit ( ) la suite définie sur R par :. Exprimer en fonction de n : a. b. c. d. : Soit ( ) la suite définie sur R par :. Exprimer en fonction de n : a. b. Exercice 4 : Exprimer dans chaque cas, en fonction de. a. Chaque terme est égal à la moitié du terme précédent. c. b. Chaque terme est égal à l opposé du terme précédent. c. Chaque terme est égal à la somme du terme précédent et de 5. d. Chaque terme est égal au double de l inverse du terme précédent. d. e. Chaque terme est égal au quotient de la racine carré du terme précédent par 7. f. La suite est une suite constante. Exercice 5 : Dans chacun des cas suivants, décrire par une phrase, comme dans l exercice précédent, la suite correspondant à la relation de récurrence donnée. a. c. d. b. Exercice 6 : Dans chacun des cas suivants, on donne les quatre premiers termes d une suite ( ). Conjecturer une expression de en fonction de. a. u 0 = 2 ; u 1 = 4 ; u 2 = 16 et u 3 = 256. b. u 0 = 2 ; u 1 = ; u 2 = 2 et u 3 =. c. u 0 = 3 ; u 1 = 7 ; u 2 = 15 et u 3 = 31. Exercice 7 : Soit (un) et (vn) les suites définies par : u 0 = 8 et pour tout entier naturel n, et v 0 = 15 et pour tout entier naturel n, a. Calculer u 1, v 1, u 2 et v 2. ; ; ; b. Soit (w n ) la suite définie pour tout entier n par. Démonter que la suite (w n ) est constante. donc la suite (w n ) est constante
5 Sens de variation d une suite Etudier dans chaque cas, le sens de variation des suites (u n ) en calculant la différence u n+1 u n. 1) u 0 = 3 et u n+1 = u n ) u 0 = 1 et u n+1 = u n + n. 3) u n = 1² + 2² + 3² + + (n 1)² + n² (n N) 4) u n = 2 n 5) u 0 = 3 et u n+1 = u n ² + u n + 2 Etudier dans chaque cas, le sens de variation des suites (u n ) en calculant le quotient. 1) u n = 2 n 2) u n = (n 1) n 3) u n = n 0,5 n 4) u 0 = 4 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 5 u n. 5) u0 = 2 et pour tout enter naturel n, Dans chaque cas, la suite (u n ) est donnée sous forme explicite par. Déduire des variations de la fonction le sens de variation de la suite (u n ). On précisera à partir de quel rang la suite est monotone. (1) u n = n² (2) (3) u n = n² 13n + 40 (4) u n = 2n + 3 Exercice 4 Etudier, dans chaque cas, le sens de variation de la suite (u n ). 1) u 0 = 7 et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + n² 2n ) 3) u 0 = 4 et pour tout entier naturel n,. 4) u n = ( 2) n.
6 Sens de variation d une suite CORRIGE Etudier dans chaque cas, le sens de variation des suites (u n ) en calculant la différence u n+1 u n. 1) u 0 = 3 et u n+1 = u n + 2. donc la suite ( est strictement croissante. 2) u 0 = 1 et u n+1 = u n + n. donc la suite ( est croissante. 3) u n = 1² + 2² + 3² + + (n 1)² + n² (n N) donc la suite ( est strictement croissante. 4) u n = 2 n donc la suite ( est strictement croissante. 5) u 0 = 3 et u n+1 = u n ² + u n + 2 donc la suite ( est strictement croissante. Etudier dans chaque cas, le sens de variation des suites (u n ) en calculant le quotient. 1) u n = 2 n Pour tout entier naturel n, et on a donc la suite ( ) est croissante. 2) u n = (n 1) n Pour tout entier naturel n, et on a donc la suite ( ) est croissante. 3) u n = n 0,5 n Pour tout entier naturel n non nul, et on a Comme, soit donc la suite ( ) est décroissante. 4) u 0 = 4 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 5 u n. Pour tout entier naturel n, et on a donc la suite ( ) est croissante. 5) u0 = 2 et pour tout enter naturel n, Pour tout entier naturel n, et on a donc la suite ( ) est strictement décroissante. Dans chaque cas, la suite (u n ) est donnée sous forme explicite par. Déduire des variations de la fonction le sens de variation de la suite (u n ). On précisera à partir de quel rang la suite est monotone. (1) u n = n² (2) (3) u n = n² 13n + 40 (4) u n = 2n + 3 Exercice 4 Etudier, dans chaque cas, le sens de variation de la suite (u n ). 1) u 0 = 7 et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + n² 2n ) 3) u 0 = 4 et pour tout entier naturel n,. 4) u n = ( 2) n.
7 Représentation graphique d une suite On a représenté ci-après la courbe représentative C de la fonction numérique définie sur [ 6 ; + [ par et la droite D d équation. On considère la suite ( ) définie par son terme initial et la relation de récurrence. Construire les premiers termes de la suite ( ) dans chacun des cas suivants : a. Si b. Si Dans chaque cas décrire le comportement de la suite : les termes augmentent-ils ou diminuent-ils? De quel nombre se rapprochent les termes lorsque n devient très grand? Soit (un) la suite définie sur R par : et pour. Représenter les premiers termes de la suite (un) sur l axe des abscisses. Même exercice avec la suite (un) définie sur R par : et
8 Suites majorées, minorées, bornées Rappel de cours Une suite (u n ) est majorée s il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, on ait u n M. Une suite (u n ) est minorée s il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, on ait u n m. Une suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On dit que M (resp. m) est un majorant (resp. minorant) de la suite. Méthode et exemples Point méthode 1 : Pour montrer qu une suite est minorée ou majorée par, on peut étudier le signe de la différence. Exemple : Soit ( ) la suite définie, pour tout de N, par Déterminer si ( ) est minorée, majorée ou bornée. On calcule quelques des premiers termes à l aide d un tableur ou d une calculatrice : ,2 0,25 0,294 0,312 0,320 0,325 0,327 0,328 0,329 0,330 0,331 On conjecture que ( ) est bornée par et On le démontre : On a, pour tout de N : On en déduit que. La suite est minorée par. On a, pour tout de N : On en déduit que. La suite est majorée par. La suite ( ) est donc bornée par et. Point méthode 2 : Pour montrer qu une suite est minorée, majorée ou bornée, on peut procéder par manipulation d inégalités. Exemple : Soit ( ) la suite définie, pour tout de N*, par Déterminer si ( ) est minorée, majorée ou bornée. On a, pour tout de N* : et On en tire l encadrement (1) : De plus, pour tout de N*, on a l encadrement (2) : Par multiplication membre à membre des encadrements (1) et (2) à termes positifs, il vient : La suite ( ) est donc bornée par et. Point méthode 3 : Pour montrer qu une suite explicite est minorée, majorée ou bornée, on peut s appuyer sur les variations de la fonction associée. Exemple : Soit ( ) la suite définie, pour tout de N*, par Déterminer si ( ) est minorée, majorée ou bornée. Pour tout de N, avec, en tant que fonction rationnelle, est définie et dérivable sur [0 ; + [. Pour tout de [0 ; + [, on a. est croissante sur [0 ; + [. On dresse alors le tableau de variation suivant : et est minorée par 0 et non majorée. On peut en déduire que la suite ( ) est minorée par 0 et non majorée. Exercice Déterminer si chacune des suites ( ) est minorée, majorée ou bornée. a., N* b., N c. et, pour tout N, d. N*
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