Suites. C. de la Losa 9 septembre 2013

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1 Suites C. de la Losa 9 septembre 203 I II Définitions Construction d une suite Faire exercices page 56. Calculatrice : reproduire les exemples de la page II de votre livre puis faire les exercices 8 et 7 page 56. III Variations Méthode pour déterminer les variations d une suite : on cherche le signe de u n+ u n. Car u n+ u n 0 u n+ u n (u n ). Exemples : dans chaque cas étudier la monotonie : ) u 0 = 5 et u n+ = u n + n 2 + pour tout n. 2) n IN, u n = (n + ) 3 n 3) n IN, u n = (n + 4) 2. Exemples : Même question mais en conjecturant auparavant les réponses avec un programme écrit en python. ) u 0 = 0,7 et u n+ = u 2 n (on admettra et on pourra utiliser le fait que pour tout entier naturel n on 0 u n ). 2) u 0 = 2 et u n+ = u 2 n (on admettra et on pourra utiliser le fait que pour tout entier naturel n on u n ). Exercice : On considère une suite définie par récurrence u n+ = f (u n ) telle que (u n ) soit positive et f croissante sur IR +. Peut-on en déduire les variations de (u n )? Faire exercices pages 57 Faire exercices 75 et 80 page 63.

2 IV Convergence d une suite Faire exercices page 58 puis le 79 page 63. Avec Python ou une calculatrice, exercices pages 56 et suivantes. V Comportement de la suite H n = n La suite H n est une suite tellement importante en mathématiques qu elle a un nom : suite harmonique. Quand n tend vers +, on est amené à faire une somme d un nombre infini de + termes et n = porte le doux nom de série harmonique. n n= ) Déterminer les variations de la suite harmonique. 2) A l aide de votre calculatrice conjecturer la limite de H n. 3) On suppose que H n converge vers un nombre réel H. a) Quelle est alors la limite de H? de H H n? b) Ecrire H H n en fonction de n. c) Montrer que H H n > 2. d) Conclure. Solution : ) 2) Le programme en Python : S = nmax = 00 3 for n in range (,nmax) : 4 S = S +.0/n 5 print S 3) a) lim H = H car on rajoute des termes par rapport à H n si bien que l on se «rapproche» encore plus de H par rapport à H n. n + Comme H et H n ont les mêmes limites alors leur différence tend vers 0. b) H H n = n + + n

3 c) H H n est une somme de n termes tous supérieurs à. Donc H H n = n + + n > > n > 2 d) D après la question précédente on a n > 0, H H n >. Donc lim 2 H H n n + 2. Alors d après le 3)a) on a 0. Nous sommes face à une contradiction. C est en fait 2 notre hypothèse de départ, à savoir que H n converge, qui est fausse. Donc la suite harmonique diverge. En fait, elle diverge vers + car elle est strictement croissante et non convergente. VI Exercices Exercice 2 : On considère une suite u définie sur IN. Dans chaque cas, indiquez la ou les bonne(s) réponse(s). ) Quel est le 6 e terme de la suite? a) u 5 ; b) u 6 ; c) u 7 ; d) 5 2) Quel est le rang du 0 e terme? a) u 9 ; b) u 0 ; c) 9 ; d) 0 3) Les égalités suivantes sont-elles valides? a) u 2 =,7 ; b) u 2 = 8 ; c) u 3,5 = 0 ; d) u 3 = 50. Exercice 3 : Indiquer si la situation peut être traduite par une suite définie sur une partie de IN. a) A chaque saut du perchiste, on associe la hauteur. b) A chaque intensité du courant, on associe la tension aux bornes du générateur. c) A chaque instant de la journée, on associe la température extérieure. d) A chaque heure de la journée, on associe le nombre d automobiles passées sur le boulevard Cornuché. e) A chaque mois, on associe la durée des communications téléphoniques. Exercice 4 : Combien dénombre-t-on de termes : a) de u à u 28? b) de u 0 à u 5? 3

4 c) de u 5 à u 28? d) de u à u n? e) de u p à u n? (avec p n) Exercice 5 : Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par u n = 3n 2 n + 5. a) Calculer les 3 premiers termes de cette suite. b) Exprimer u n+ et u n + en fonction de n. Mêmes questions pour la suite définie par u n = 3 n, n IN. Exercice 6 : Soit (u n ) la suite définie par u 0 = et pour tout entier naturel n par u n+ = u 2 n 4u n + 5. a) Calculer u, u 2 et u 3. b) Exprimer u n en fonction de u n. c) Exprimer u n+ en fonction de u n Exercice 7 : Etudier le sens de variation des suites (u n ) n, (v n ) n et (ww n ) n, définies, pour tout entier naturel n, par : a) u n = n n + 2 b) v n = n2 w 2 n c) 0 = 0,5 w n+ = w n ( w n ) Exercice 8 : Soit les suites (u n ) n définies, pour tout entier naturel n, par : a) u n = n +,2 n b) u n = n 2 n c) u n = + ) Calculer les cinq premiers termes de chaque suite. 2) Etudier leur monotonie en déterminant le signe de la différence u n+ u n. n + Proposition. (u n ) étant une suite à termes strictement positifs, on peut déterminer les variations de (u n ) en comparant à le rapport u n+ u n. Exercice 9 : Prouver la proposition précédente. Exercice 0 : Déterminer le sens de variation des suites à termes positifs définies ci-dessous, en comparant à le rapport u n+ u n. 4

5 a) u n = 5 3 n ; b) u n = 2 n 3 n ; c) u n = 5n n + ; d) u n = + π n Exercice : Soit la suite (u n ) n définie, pour tout entier naturel n non nul, par u n = ) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ) n. n(n + ). 2) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n peut s écrire sous la forme u n = a n + b, où a et b sont deux nombres réels que l on déterminera. n + 3) On pose S n = u + u u n, n IN. a) Exprimer S n en fonction de n. b) Quel est le sens de variation de la suite (S n )? Exercice 2 : Dans chacun des cas suivants, déterminer le sens de variation de la suite (v n ) n. v a) 0 = 4 v 0 = 2 v v n+ = v n,6 b) v n+ = 2 c) 0 = 3 v v n n+ = 2vn 2 + v n 5