Estimation du flot-optique : contributions et panorama de différentes approches.

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1 HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES présentée devant L Université de Rennes 1 Institut de Formation Supérieure en Informatique et en Communication par Etienne Mémin 1 Estimation du flot-optique : contributions et panorama de différentes approches. soutenue le 4 juillet 2003 devant le jury composé de M. Fabrice Heitz, Pr. Université Louis Pasteur (ENSPS, Président M. Luis Alvarez, Pr. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Rapporteur M. Olivier Faugeras, DR INRIA Sophia-Antipolis Rapporteur M. Henri Maître, Pr. ENST Paris Rapporteur M. Patrick Bouthemy, DR INRIA Rennes Examinateur Mme Isabelle Herlin, DR INRIA Rocquencourt Examinateur 1 IRISA, campus universitaire de Beaulieu, Rennes Cedex, memin@irisa.fr

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3 Estimation du flot-optique 1 À Anne-Marie, Sarah-Maï, Ronan et Ninnog.

4 2 E. Mémin Remerciements Je remercie très chaleureusement Luis Alvarez, Henri Maître et Olivier Faugeras d avoir accepté d être rapporteur de cette habilitation à diriger des recherches. Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance à Isabelle Herlin pour sa participation au jury et à Fabrice Heitz pour la présidence qu il a bien voulu exercer le temps de ce jury. Je tiens également à exprimer toute ma plus profonde gratitude à Patrick Bouthemy et Claude Labit, respectivement responsables des projets VISTA et TEMIS qui m ont accueilli pendant toutes ces longues années. Enfin, je souhaite en dernier lieu remercier tout les membres de ce jury pour l intérêt qu ils ont manifesté, pour leurs conseils et les encouragements qu ils m ont prodigués.

5 Estimation du flot-optique 3 Table des matières 1 Introduction 6 2 Principes généraux et panel d approches Conservation de la luminance A priori contextuel Lissages locaux disjoints Lissages locaux globalisés : méthode de Ritz Lissages locaux globalisés : régularisation fonctionnelle Gestion incrémentale des grands déplacements : schéma multirésolution Robustification Robustification de l ECMA Préservation des discontinuités Panel d approches Vers des approches dédiées Phénomènes fluides Reconstruction stéréoscopique Déformation élastique Lissages globaux sur supports disjoints: segmentation au sens du mouvement Minimisation globale alternée Segmentation robuste hiérarchique Segmentation par mélange de lois Couplage estimation/segmentation: lissage local-global Évaluation des différentes méthodes Bilan Estimation et analyse de champs denses : cas des écoulements fluides Un estimateur de mouvement pour les fluides Équation de continuité Un lissage adapté Minimisation de la fonctionnelle Champ de vecteurs plan : rappels et extraction d éléments caractéristiques Séparation des composantes solénoïdale et irrotationnelle Estimation des fonctions de potentiel Extrema des fonctions de potentiel Modèle de Rankine Segmentation au sens du mouvement sur la base d un modèle de Rankine Extraction des paramètres du modèle de Rankine Élimination des singularités secondaires Couplage estimation/segmentation: lissage local-global Suivi dans des images de fluide Suivi de système nuageux convectifs Spécification du terme de propagation Suivi de points

6 4 E. Mémin Suivi par filtrage conditionnel récursif Bilan et perspectives 64 Table des figures 1 Résultat d un estimateur multirésolution associé à une technique d optimisation multigrille [71] sur une séquence de fumée fournie par le LTSI de St-Etienne; (a première image de la séquence; (b grille adaptative finale associée à la technique multigrille (à la résolution la plus fine; (c-f champs denses de vitesse pour une série d images successives Fonction utilisée pour pondérer l équation de contrainte du mouvement apparent Profil d une fonction de coût quadratique comparée avec une fonction de coût robuste (a Résultat, d un estimateur dense comportant un modèle de données relatif à l équation de continuité et associé à une régularisation préservant les amas de divergence et de rotationnel [31] sur une séquence visualisant une couche de mélange; (b résultat sur la même séquence d un algorithme de corrélation de type PIV (résultats et séquence d images fournis par le CEMAGREF Rennes (a images 1, 20 et 40 de la séquence Interview; (b image recalée selon le mouvement dominant sur la première trame de la séquence; (c régions détectées comme non conformes au mouvement dominant [77] Résultat sur la séquence Yosemite ( : (a initialisation de la segmentation sur la grille la plus grossière; (b-c Partitions finales sur des grilles intermédiaires et (d sur la grille finale; (e champ dense de mouvement, (f champ paramétrique Résultat sur la séquence Marble-blocks ( : (a,c,e cartes de segmentation initiale aux grilles de niveau 3,2,1; (b,d,f cartes de segmentation finale aux mêmes niveaux (a Première image d une séquence montrant un vortex généré par l extrémité d une aile d avion (séquence fournie par l ONERA; (b potentiel de vitesse estimé ; (c fonction de courant estimée ; (d champ des vitesses correspondant ; (e composante irrotationnelle ; (f composante solénoïdale Classification des points singuliers à partir de la matrice des portraits de phase linéaires ;! #" &%('* -.!,+ %! (a,b images du canal infra-rouge METEOSAT; (c,d images du canal vapeur d eau METEOSAT (images fournies par METEO FRANCE

7 Estimation du flot-optique 5 11 (a-f résultats pour la séquence Infra-rouge présentée figure 10a; (g-l Résultats concernant la séquence vapeur d eau présentée figure 10b (a,g: champs des vitesses estimés au moyen de l estimateur dédié; (d,j: champs paramétriques correspondants (modèle de Rankine étendu; (b,h: puits/sources estimés et superposés aux composantes irrotationnelles; (e,k: vortex estimés et superposés aux composantes solénoïdales; (c,f: carré du potentiel de vitesse et de la fonction de courant; (i,l: lignes de courant ( et courbes de niveau du potentiel de vitesse ( Résultat d un estimateur conjoint dédié aux mouvements fluides sur des images satellites METEOSAT (images fournies par METEO FRANCE; vortex, puits et sources détectés; champ dense estimé; champ paramétrique estimé (représentation s appuyant sur un nombre discret de puits, sources et vortex et une composante laminaire[70] (a Vecteur normal au contour + au point. (b vecteur de décalage du contour + au temps Résultats de suivi sur une séquence METEOSAT infra-rouge (images fournies par MÉTÉO-FRANCE. Les deux premières rangées montrent des images successives de la séquence avec un contraste surélevé. Les deux dernières lignes montrent les contours surimposés à chaque instant aux images réelles Filtre particulaire conditionnel pour le suivi de points (a Suivi de point sur une image météorologique infra-rouge; (b-(c suivi de points sur une image du canal vapeur d eau; (b première image de la séquence et points initiaux; (c trajectoire complète Liste des tableaux 1 Comparaison de différentes méthodes sur la séquence Yosemite Comparaison de différentes méthodes sur la séquence Yosemite (sans le ciel. 37

8 6 E. Mémin 1 Introduction L estimation de mouvement est un problème très ancien dans le domaine de la vision par ordinateur. Ce problème consiste à estimer à partir d une séquence d images le mouvement apparent des objets composant une scène tridimensionnelle. De façon formelle, on cherche à recouvrer la projection des différents mouvements tridimensionnels de la scène sur le plan image. La caméra ou les objets peuvent être selon les cas mobiles ou immobiles. Ainsi formulé, il est immédiat de constater que l on se trouve en présence d un problème inverse extrêmement difficile à résoudre. En effet, d une part la scène tridimensionnelle observée n est perçue qu à travers sa projection dans l image et des mesures d intensité lumineuse (perte d une dimension et d autre part, les variations de ces intensités sont les seules données disponibles pour remonter au mouvement (la variation en position n est observée qu à partir de la variation d une fonction de la position. Dans le cas d une variation apparente nulle (cas par exemple d une sphère homogène tournant sur elle-même, ce problème possède une infinité de solutions dont une seule correspond à la projection du mouvement réel. Ce distinguo entre mouvement projeté et mouvement reflété par la variation de l intensité lumineuse est fait par l emploi du terme de flot optique qui désigne le champ des vitesses mesuré à partir des variations de la luminance. Pour des images peu bruitées, ne présentant pas de variations brutales de l intensité et composées d objets n occasionnant pas de réflexions spéculaires prépondérantes, le flot optique reste néanmoins globalement assimilable au mouvement projeté [103]. Ce dernier peut alors être estimé sur la base des variations de la fonction de luminance. L estimation du mouvement apparent est un pré-requis indispensable pour bon nombre de tâches composant un système de vision, dans la mesure où sa connaissance permet de lever une grande partie des ambiguïtés présentes dans une image. Il permet ainsi d avoir accès à une information de profondeur relative, ou de définir, à travers des groupes de points animés de mouvements homogènes, une certaine notion d objets mobiles. L estimation de mouvement revêt ainsi une importance primordiale dans des applications de surveillance (trafic routier, foules, sites sensibles,..., de robotique pour le guidage d engins à partir d une caméra, ou de façon plus générale d analyse de séquences vidéo lorsque l on souhaite détecter ou suivre des éléments mobiles, caractériser ou classer des événements au moyen d une information de mouvement. Les séquences vidéo ne sont bien évidemment pas les seules séquences d images concernées. Ce problème s étend à tout type d images prises par des capteurs de toutes sortes et dépeignant des phénomènes physiques divers. Ces phénomènes physiques et les séquences d images associées possèdent des spécificités qui vont selon les cas simplifier ou au contraire compliquer la tâche d estimation du mouvement. Ainsi, un des cas particuliers rencontrés très fréquemment concerne les écoulements fluides. L étude et la visualisation des écoulements fluides sont au centre de vastes domaines d études comme l imagerie médicale, la visualisation expérimentale d écoulements (aérodynamique, hydrodynamique et les sciences environnementales. Tous ces domaines, mettent en jeu des écoulements pour lesquels il n existe pas de modélisation exacte ou qui ne sont pas modélisables dans toute leur complexité en raison notamment de conditions aux limites (aux bords du domaine et à l instant initial complexes ou inconnues. Dans ce cas, la visualisation offre alors un moyen rapide d analyser et de comprendre ces écoulements.

9 Estimation du flot-optique 7 Leurs mouvements, mesurés soit au moyen de capteurs spécifiques, soit à partir d une série d images, constituent une information primordiale pour ces études. Les domaines dans lesquels ces phénomènes interviennent sont d une importance économique capitale. Citons par exemple : la météorologie, où la reconstruction des champs de vents à partir de données satellitaires permet de suivre et d observer l évolution de phénomènes météorologiques clés comme les centres dépressionnaires, les tornades ou certains groupes de nuages. Ces champs de vents permettent également d initialiser des modèles atmosphériques numériques. l océanographie, où l estimation de mouvement permet d étudier l évolution des courants marins, la dérive d entités passives telles que les icebergs ou des nappes de polluants. l imagerie médicale, où l étude d écoulements de bio-fluides est capitale pour la mise au point de prothèses limitant les risques de gêne ou de complications ou encore afin de détecter certaines pathologies telles que les thromboses. l imagerie pour l étude expérimentale d écoulements fluides, où l extraction d attributs cinématiques (vitesse, vorticité, divergence est indispensable afin de caractériser l écoulement. Ce domaine concerne l étude des propriétés d écoulements particuliers tels que les écoulements turbulents. Ces études ont un impact industriel considérable dans tous les secteurs où l on souhaite contrôler un écoulement fluide. Cela englobe par exemple, le domaine du transport (avionique, automobile,..., les applications militaires ou pharmaceutiques, ou le secteur agro-alimentaire. Tous ces domaines possèdent des modalités d imagerie diverses qu il s agit d exploiter de façon adéquate. À l opposé de techniques de mesures in situ complexes qui ne fournissent la plupart du temps que des mesures éparses, la vidéo offre un moyen nonintrusif et versatile d obtenir une très grande variété d informations spatio-temporelles quasi-continues. Par contre, dans le premier cas, les quantités mesurées sont directement disponibles dans un repaire lié au phénomène observé, tandis que, dans le cas de séquences d images, ces informations doivent être extraites des données de luminance, ce qui n est pas sans poser quelques problèmes... L analyse du mouvement à partir de séquences d images décrivant l évolution de phénomènes fluides est particulièrement délicate de ce point de vue. La difficulté réside, d une part, dans les grandes distortions spatiales et temporelles de la fonction de luminance, et d autre part, dans la spécificité des mouvements associés à un écoulement fluide. Ces mouvements se caractérisent entre autres par des zones à divergence ou rotationnel de forte amplitude. On voit bien que, dans ce contexte, les techniques standards issues de la communauté de vision par ordinateur, qui s appuient sur des caractéristiques stables de la fonction de luminance et sur l hypothèse d un mouvement rigide, s avèrent en général mal adaptées. La conception de méthodes alternatives dédiées aux mouvements fluides constitue un vaste champ d investigation relativement peu abordé. Une partie conséquente du travail de recherche que j ai mené, a consisté à explorer diverses techniques permettant d extraire ou d analyser, à partir de séquences d images, les champs des vitesses d écoulements fluides. Ce type d étude fera l objet d une partie spécifique dans ce document. Le but de ce document sera également de décrire comment mes contributions s insèrent

10 8 E. Mémin dans un large panel d approches répertoriées dans l état de l art en estimation du mouvement. Nous avons donc structuré ce document en deux grandes parties. La première décrira les principes généraux relatifs au problème de l estimation du mouvement. Cette section regroupera également une classification des principales approches possibles pour résoudre ce problème. Cette description globale inclura un certain nombre de mes contributions principales afin de situer à quelles grandes classes d approches elles se rattachent. Ces contributions concernent notamment la spécification d estimateurs de mouvement hiérarchiques [69, 50], l étude de méthodes d estimation et segmentation conjointes de champs denses de vitesse [71, 70] et la conception d estimateurs de mouvements dédiés à des problèmes spécifiques [31, 81, 90]. Par souci de cohérence du document, les aspects de mes recherches concernant l étude d implantation parallèles ou matérielles d estimateur de mouvement [68, 73, 72] ne seront que brièvement abordés. Comme évoqué précédemment, la deuxième partie de ce document se focalisera sur le cas de séquences d images d écoulements fluides. Dans cette partie nous décrirons notamment plusieurs estimateur de mouvement adapté aux écoulements fluides [31, 58, 70] et comment ces champs de vecteurs peuvent être segmentés [32, 70]. Nous présenterons également deux applications particulières de suivi : le suivi de points d intérêt [6] et le suivi de systèmes nuageux convectifs[87]. Ces deux applications s appuient sur des informations cinématiques extraites de la séquence d images. 2 Principes généraux et panel d approches Ce chapitre a pour but de décrire les principes généraux sur lesquels reposent les différents estimateurs de mouvement de l état de l art. Une description de ces estimateurs sera d autre part proposée dans le cadre d une classification reposant sur le type d hypothèse contextuelle utilisée. Toutes les méthodes d estimation de flot optique s appuient sur la conservation temporelle d invariants géométriques ou photométriques. Les invariants géométriques tels que les contours, points de courbure maximale, segments, coins ont l avantage de constituer des invariants stables aisément identifiables. Par contre, ces points ont l inconvénient d être peu nombreux et donc de conduire à des mesures de mouvement éparses. Dans le cas d images faiblement structurées (imagerie fluide, radar, etc..., ce type de marqueurs s avère d autre part quasi impossible à extraire. À l opposé, les invariants photométriques sont eux beaucoup plus simples à obtenir et permettent une mesure dense du mouvement. Les approches que nous décrirons dans ce chapitre s appuient exclusivement sur des invariants photométriques. Dans la suite, nous désignerons par l intensité lumineuse d un point au temps. Le champ des vecteurs désignera le champ des vitesses instantanées que l on cherche à estimer. D un point de vue général, la constitution d un invariant photométrique peut s exprimer en posant que des fonctions de la luminance se conservent au cours du temps. En considérant un ensemble de fonctions invariantes:!#" on obtient un système de équations à 2 inconnus. De multiples choix sont alors envisageables. On peut choisir comme étant l intensité elle-même %&, les gradients

11 Estimation du flot-optique 9 spatiaux de l intensité [102], ou encore des filtrages gaussiens successifs [105]. À partir de ces spécifications, deux déclinaisons de l invariance temporelle entre deux instants sont possibles : une formulation générale non-linéaire de mise en correspondance entre l image et l image : une formulation différentielle linéaire : + La première formulation conduit à équations non-linéaires valides quelle que soit l amplitude du déplacement, tandis que la deuxième est caractérisée par équations linéaires souvent mal conditionnées et définies uniquement pour de petits déplacements. Ainsi, à titre d exemple, en considérant une conservation du gradient de l intensité, on obtient le système : où désigne la matrice hessienne de l intensité et dont le conditionnement dépend de la courbure +. Cette approche ne permet donc pas d estimer directement le mouvement dans le cas de courbes d iso-intensité de faible courbure. Ce problème classique et commun aux différentes approches d estimation du mouvement est désigné sous le nom de problème de l ouverture. Il traduit le fait que localement le mouvement d une structure linéaire ne peut être estimé sans prendre en compte un voisinage étendu (i.e., une ouverture suffisante. 2.1 Conservation de la luminance La plupart des approches classiques en estimation du mouvement s appuient de fait sur une hypothèse simple de conservation de la luminance. Les deux formulations de conservation conduisent dans ce cas soit à l annulation de la différence inter-images déplacée (DID :! &,+ soit à l équation de contrainte du mouvement apparent (ECMA : Ces contraintes sous-tendent l hypothèse forte que les variations temporelles de luminance sont uniquement dues au mouvement. Cette hypothèse possède des limitations évidentes et ne prend pas en compte un certain nombre de phénomènes tels que les variations d illumination, les occultations ou les réflexions spéculaires. La deuxième contrainte,

12 10 E. Mémin contrairement à la première, ne peut en aucun cas être utilisée seule. Cette équation ne relie en effet que l expression de la variation temporelle de l intensité à une composante du vecteur de vitesse normale aux courbes d iso-intensité : + On peut noter que ces deux contraintes ne permettent en aucune façon une estimation dans les zones quasi-uniformes (infinité de solutions et sont très sensibles au bruit (lié à l image ou à l inexactitude du modèle. Ces difficultés sont usuellement levées en ayant recours à une information ou à un a priori contextuel. 2.2 A priori contextuel L adjonction d un a priori contextuel permet de lever l indétermination de l estimation par la prise en compte d un voisinage spatial, mais aussi de propager l information vers les zones trop uniformes. Cela a aussi pour conséquence d augmenter la robustesse de l estimation vis-à-vis des bruits de mesures ou de modélisation. Cet a priori contextuel, ou lissage, consiste à imposer à la solution recherchée, une certaine forme mathématique en introduisant une dépendance spatiale mutuelle entre les vecteurs de vitesse des points de la grille image. Cette dépendance peut suivant les cas s exprimer de façon paramétrique ou non-paramétrique. Il est possible de classer ce lissage en trois catégories différentes : les lissages locaux disjoints, les lissages locaux globalisés, les lissages globaux disjoints. La première forme de lissage consiste à considérer, sous la forme d une paramétrisation locale linéaire de la solution, relations de dépendance spatiale indépendantes et locales. La seconde, vise à globaliser ces dépendances. Les dépendances sont alors exprimées de façon non-paramétrique dans le cadre d une régularisation fonctionnelle ou au moyen d une paramétrisation locale définie soit sur la base de fonctions de forme soit dans un cadre d optimisation multigrille. Les deux premières formes de lissage sont exprimées sur un support fixe connu a priori, ou du moins facilement adaptable (cas des partitions adaptatives constituées au moyen d éléments géométriques de forme simple tels que les blocs, triangles, etc... La dernière forme fait elle référence aux méthodes d estimation et segmentation conjointes du mouvement où il s agit d estimer conjointement le support spatial d une représentation paramétrique du mouvement et cette représentation. Dans ce cas, la globalisation du lissage s effectue sur chaque région du support et est interrompue sur les frontières de la partition, représentatifs des discontinuités spatiales des mouvements. Chacun de ces lissages correspond à une famille d approches de natures assez différentes. Nous nous proposons de les passer en revue. 2.3 Lissages locaux disjoints Le principe de ce lissage consiste de façon générale à considérer un ensemble de fenêtres centrées en différents points de la grille image. Un champ paramétrique

13 Estimation du flot-optique 11 (constant, affine, quadratique,... est estimé sur chacune de ces fenêtres. La représentation du mouvement obtenue sur chaque fenêtre est conservé. Ce type d estimation est parfois associé à un lissage a posteriori du champ estimé. Ce principe de lissage peut s exprimer aisément sur tous types d invariants, qu ils soient géométriques ou photométriques. Dans le cas de la conservation de la luminance, on obtient deux types d estimateurs différents s appuyant soit sur la DID ou ses variantes, soit sur l ECMA. Le premier type comprend les méthodes de corrélation où un champ localement constant est recherché sur un espace d états discrets ' r! #" % '& (& ( Les fonctions de similarité,, utilisées usuellement sont : la valeur absolue ou le carré de la DID, ou la fonction de corrélation. Cette dernière est utilisée sous sa forme initiale : (!'& + (& ' ou sous une forme centrée et normalisée par la variance : (&! '& + '& + '&,+ *,+.- *,+0/ où et * + désignent respectivement la moyenne et la variance empiriques de la luminance sur une fenêtre centrée en. Cette dernière fonction constitue une mesure de corrélation plus robuste, dans la mesure où les variations d intensité entre les deux images et sont prises en compte. Des études expérimentales ont montré que cette mesure conduisait à des déplacements estimés plus précis [67]. Des mises-en-œuvre très efficaces de ces fonctions de corrélation peuvent être obtenues dans le domaine de Fourier. Ces approches sont implémentées au moyen de transformée rapide (FFT et s appuient sur la propriété de la transformée de Fourier, qui établit que la transformée de la corrélation de deux signaux 21 " 3 4 est donnée r!4" % par le produit de la transformée de et de la transformée conjuguée de : La fonction de corrélation est alors calculée dans le domaine de Fourier sur des fenêtres locales centrées en un même point dans les deux images. Ce type d approches, bien que très efficace d un point de vue calculatoire, n est théoriquement défini que dans le cas de signaux périodiques. Dans le cas contraire, elles s avèrent assez sensibles aux déplacements importants. Une autre méthode de corrélation, définie dans l espace des phases, s appuie sur la propriété de décalage de la transformée de Fourier: 5 5 (08:9 où 8 désigne la fonction de Dirac et 9 et désignent respectivement les fréquences spatiales et temporelle. Cette équation montre qu un motif se déplaçant avec une vitesse appartient

14 12 E. Mémin et, il s agit respectivement d une ligne et d un plan. Dans le dernier cas, l équation du plan est donné par l argument de la fonction 8 : à un sous-espace d une dimension inférieure à l espace 9. Pour des images + 9 La pente de ce plan passant par l origine définit le vecteur de vitesse: + k. Notons que la détermination de ce vecteur est ambiguë lorsque le spectre du signal appartient à une droite et non à un plan (cas d une orientation spatiale privilégiée des niveaux de gris. On retrouve alors le problème de l ouverture dans le domaine fréquentiel. Dans le cas de deux images et reliées par une translation globale et une hypothèse d invariance 5 (i.e., +, la transformée de Fourier de l image est donnée par : :9 : soit : : La représentation spatiale de ce coefficient de corrélation spectrale normalisé (obtenu par transformée de Fourier inverse est caractérisée par une masse de Dirac 8 +, ce qui permet de déterminer aisément le déplacement [42, 55]. Ces différentes méthodes sont très largement utilisées pour leur rapidité et leur simplicité. Elles trouvent leurs applications dans des domaines tels que l indexation d images, la compression de séquences d images, ou la visualisation d écoulements fluides (méthodes dites PIV 1 pour l estimation de mouvement à partir d images de particules [2], extraction de champs de vent en imagerie météorologique, etc... Ces méthodes rapides sont néanmoins intrinsèquement discrètes et il n est pas toujours aisé de définir sur cette base des schémas ayant une précision réelle (sous-pixelique. Le deuxième type de méthodes, correspondant à un lissage local et reposant sur l ECMA, revient à résoudre un système linéaire à inconnues pour un modèle paramétrique à composantes. Dans le cas d un modèle de mouvement linéaire du type, où est une matrice qui dépend de la paramétrisation choisie 2, estimer le mouvement revient alors à chercher le vecteur tel que : + & (& (& (&!& (1 ' θ 4" % où est une fonction de forme donnant plus ou moins d importance au point central de la fenêtre considérée 3. Cette expression s étend à un produit de convolution dans le domaine spatio-temporel : (2 1 Particle Imagery Velocimetry. 2 "!#&%('*+ pour un modèle constant; "!#&%,'.-0/ /21439 "!:#;%<' - /= >1@?A1B3 pour un modèle quadratique C/D1C381B373E? 9 3 Des fonctions gaussiennes sont usuellement employées. dans le cas d un modèle affine et

15 + Estimation du flot-optique 13 avec et où désigne les gradients spatio-temporels de la fonction de luminance ( ", désigne ici un noyau gaussien tridimensionnel -. avec - * * * Dans un cas discret et bidimensionnel, une résolution aux sens des moindres carrés de l expression (1 constitue l estimateur proposé par Lucas et Kanade [65] : + + & + & (& (& '& r!4" % r!4" % (3 '& Il est aisé de voir que la matrice est mal conditionnée dans le cas de gradients d intensité trop faibles (zone uniforme ou dans le cas d une structuration linéaire des contours photométriques sur ( &. On retrouve ici le problème de l ouverture. Une résolution par analyse aux valeurs propres de (2 regroupe les approches par tenseur de structure 4 [17, 55]. La matrice " étant symétrique, il existe une matrice orthogonale telle que : y y avec et -, matrice diagonale regroupant les valeurs propres du tenseur. La solution de (2.3 avec la contrainte (ou est donnée par le vecteur propre " " " " " associé à la plus petite valeur propre 5. Lorsque le tenseur est bien conditionné, et en rappelant que est par définition tangent à un vecteur, les deux composantes du vecteur de vitesse sont alors donné par :,! ( " x " Une analyse des valeurs propres permet d autre part de caractériser un certain nombre de situations. Ainsi, lorsque les trois valeurs propres sont proches de zéro (ce qui peut être détecté en regardant la trace de aucun mouvement ne peut être estimé. Cela correspond aux zones de niveaux de gris uniformes. Dans le cas où seule la plus grande valeur propre est significativement différente de zéro, les gradients de l intensité lumineuse possèdent une direction spatiale privilégiée et seule la vitesse normale peut être estimée: " / / " x / " &' 4 Le tenseur de structure,, est défini par la matrice! symétrique, semi-définie positive : "#% &' (.Ce tenseur admet 3 valeurs propres réelles. 5 Cette approche correspond à une résolution de type moindres carrés totaux. Étant donné un système linéaire (*+, du type -/. ' 5, une résolution par moindres carrés totaux consiste à minimiser 0-/.10? associé à la contrainte 02.0 ' / afin d éviter une solution triviale. Le Lagrangien du problème d optimisation sous contrainte s écrit :. 3 '546 "*879:0-/.;0?1< =! /?> 0 1 0? % '. ( - ( -/. < =! />. (. %. Ce qui revient bien à résoudre le problème aux valeurs propres : - ( -/. ' =.. x :

16 -/ - 14 E. Mémin Cela nous ramène encore une fois au problème de l ouverture. Si les trois valeurs propres sont différentes de zéros, il n existe pas de mouvements cohérents sur le support considéré. On se trouve dans ce cas, en présence d une discontinuité de mouvement. Notons qu une résolution des approches (1 et ( dans le domaine de Fourier conduit à un problème de régression plane dans le domaine spectral. Ces approches sont en général associées à l utilisation d un ensemble préfixé de filtres spatio-temporels directionnels tels que les filtres de Gabor qui permettent une estimation directe des paramètres du plan [40, 48, 55, 95, 111]. 2.4 Lissages locaux globalisés : méthode de Ritz Une façon d étendre les approches précédentes consiste à rechercher une solution modale approchée de la forme : "! où les coefficients sont inconnus et les fonctions de forme, connues. Ces fonctions à support compact sont choisies en fonction de la connaissance a priori que l on peut avoir sur la solution. On suppose en particulier que la base des fonctions de forme est complète, c est à dire que pour tendant vers l infini, l écart + tend vers zéro. Le principe de la méthode consiste alors à rechercher les coefficients minimisant: * (4 où définit le domaine spatial, de bord, dans lequel on recherche cette solution. Dans le cas d une fonctionnelle quadratique, la stationnarité de par rapport aux inconnus s écrit: / c. c Si le degré de la fonctionnelle par rapport à et ses dérivées ne dépasse pas deux, la matrice, appelée matrice de raideur est symétrique: - - c / c c c / c Cette méthode a été appliquée pour une fonction définie soit à partir de l ECMA [97, 109] soit à partir de la DID [75, 100]. Dans le premier cas, le système à résoudre est linéaire et les fonctions de bases qui ont été choisies sont des fonctions de type cosine window pour [97] et une base de fonctions d ondelettes particulières (ondelettes de Cai-Wang définie à c

17 Estimation du flot-optique 15 partir de B-splines d ordre 4 pour [109]. Dans le deuxième cas, les deux approches utilisent des fonctions de formes de type B-splines définies de façon hiérarchique. Les méthodes de résolution choisies sont des solveurs itératifs : Gauss-Newton pour [75], gradients conjugués dans le cas de [97] et Levenberg-Marquardt pour [100, 109]. Le principal problème de ces méthodes réside parfois dans la difficulté à définir un pavage adéquat du domaine spatial et surtout à autoriser des solutions possédant des discontinuités fortes. 2.5 Lissages locaux globalisés : régularisation fonctionnelle Le dernier type de méthodes regroupe la majorité des approches d estimation dense du mouvement. Elles doivent en particulier leur succès à leur flexibilité. Ces méthodes permettent en effet de prendre en compte dans un cadre commun, des ruptures de continuité, des zones d occultation, ou encore de définir des estimateurs dédiés à l étude de certains phénomènes. Contrairement aux cas précédents, ces méthodes introduisent explicitement des fonctions régularisantes en sus des contraintes reliant inconnues et données photométriques. Ces fonctions traduisent des hypothèses de continuité a priori sur la solution qui autorisent la résolution du problème inverse initial. Ainsi, des hypothèses de continuité d un certain ordre sur la solution vont conduire à exprimer le problème d estimation du mouvement comme la minimisation globale d une fonctionnelle définie, soit au moyen de la DID et relative à un déplacement : + (5 soit, à partir de l ECMA et portant sur les vitesses : + " % + " (6 Ce dernier cas correspond à l approche proposée par Horn et Schunck [53]. Cette approche est définie sur un support continu et est un champ de vecteur sur un sousensemble de. La solution recherchée est définie comme celle minimisant la fonctionnelle : (7 Cette fonctionnelle est convexe, sa minimisation admet donc une solution unique. Les équations d Euler-Lagrange donnant les conditions d optimalité d une telle fonctionnelle sont :,+ où est le laplacien ( Associé à une condition initiale et à des conditions limites aux bords du domaine, ce système peut être résolu en cherchant la solution stationnaire d un système d équations de type réaction-diffusion :,+

18 16 E. Mémin où définit un temps algorithmique. Des discrétisations aux différences finies du laplacien ( " 3 r " s (& + et de la dérivée par rapport au temps ( + conduisent à la résolution d un grand système linéaire creux. Ce système peut être obtenu de façon équivalente en considérant directement une discrétisation aux différences finies de la fonctionnelle (7 :,+ '& s s r où est la grille des pixels et où est l ensemble des points mutuellement voisins (appelé ensemble des cliques au sens d un système de voisinage donné. Cette dernière approche possède une interprétation probabiliste. Elle correspond à une estimation au sens du maximum a posteriori et à une modélisation par champ de Markov du champ des vecteurs vitesse inconnu [44]. L énergie correspondante est une fonction quadratique que l on peut écrire sous la forme matricielle : (8 avec. ( * +.,+.... Cette minimisation d une fonction convexe conduit à résoudre le système linéaire creux suivant : + Ce système étant très grand ( est une matrice ou désigne la taille d une image une résolution directe est exclue et seule une résolution par des méthodes itératives de type Gauss-Seidel, sur-relaxation, gradients conjugués, etc. est envisageable. Ainsi, une approche que nous avons proposées dans [69] utilise une méthode itérative multigrille. Cette méthode consiste à chercher une solution à la minimisation de (8 de la forme où l inconnue recherchée est définie sur un sous-espace réduit des solutions; constitue ici l opérateur d interpolation permettant de passer du sous-espace réduit à l espace complet des solutions. Le vecteur est supposé connu et est défini, dans un cas purement descendant, comme l estimé obtenu pour un sous-espace encore plus réduit de l espace des solutions 6. En supposant que l opérateur d interpolation est linéaire, le 6 Dans [69], pour un niveau donné, l inconnu est définie sur une partition!#" " grille image / par un modèle paramétrique linéaire de la forme : 0 9%'0.213! &" '4 une matrice 6, et 5 & est un vecteur à, paramètres. '!%"&(' 9 ' / '*++',.- de la!. % ' &!. %5 "&, où & est

19 Estimation du flot-optique 17 système à résoudre est donné dans ce cas par : + Une confusion est souvent faite entre les techniques multigrilles et les approches multirésolutions pour l estimation du mouvement. Ces dernières sont de fait totalement différentes et de façon à lever toute ambiguïté, nous nous proposons de les développer plus avant Gestion incrémentale des grands déplacements : schéma multirésolution La validité des estimateurs s appuyant sur l ECMA est limitée aux déplacements qui, en chaque point, restent dans le domaine de linéarité de la fonction de luminance. Ce domaine est d autant plus restreint que les déplacements sont de grande amplitude ou que les gradients photométriques sont importants (contrastes importants. Un moyen de s affranchir de cette limitation consiste à s appuyer sur une pyramide d images construite par filtrages passe-bas et sous-échantillonages successifs de l image originale : + où le symbole désigne une décimation par deux de l image dans les directions horizontale et verticale. Dans le cadre des approches multirésolutions, l idée consiste à estimer les composantes principales du déplacement,, aux résolutions grossières, puis à raffiner successivement la solution en descendant dans la pyramide [15, 37]. Cette idée est à première vue assez similaire à l approche multigrille développée précédemment. En fait, contrairement aux approches multigrilles qui s appuient sur une représentation unique des données, les approches multirésolutions vont traverser une structuration pyramidale des données. Ces dernières s appuient d autre part sur une expression recalée de l équation de contrainte du mouvement apparent, obtenue à partir d un développement de Taylor de la fonction de luminance autour du point : + (9 en posant. Cette contrainte diffère assez sensiblement de l ECMA originelle. Les gradients spatiaux sont dans ce cas définis sur une image recalée et la dérivée temporelle est remplacée par une différence inter-image déplacée. Cette expression reste néanmoins linéaire vis-à-vis de l inconnue. Utilisée comme attache aux données dans une fonction d énergie discrète du type (8, elle conduit, pour un niveau de résolution donné, au système : + +

20 18 E. Mémin où est défini au moyen des gradients spatiaux de l image recalée par le champ obtenu au niveau de résolution +. De façon similaire, l image recalée est notée. La matrice désigne la matrice des différences finies correspondant à la grille réduite de résolution. La fonction désigne la fonction d interpolation utilisée entre deux niveaux de résolution consécutifs (en pratique une interpolation bilinéaire ou une simple duplication, i.e, produit de Kronecker de l image avec la matrice. On voit par là qu un cadre multirésolution conduit à un schéma non-linéaire (vis à des déplacemements totaux s appuyant sur une hiérarchie de données, tandis qu un schéma multigrille conduit lui à un schéma linéaire sur un niveau unique de données. Ces deux approches peuvent tout à fait être couplées afin de construire des schémas d estimation du mouvement efficaces permettant de recouvrir les grands déplacements [69, 71]. L approche résultante peut être vue comme une minimisation d une fonctionnelle reposant sur la DID (5 au moyen d une technique de type Gauss-Newton multigrille. Cette technique consiste à linéariser successivement le problème non-linéaire au voisinage d itérés intermédiaires définis sur des sous-espaces réduits de la solution. Ces contraintes sont successivement relâchées et les itérés correspondants sont définis sur des grilles adaptatives de plus en plus fines. Un échantillonnage de résultats, pour ce type de méthodes, est montré à la figure 1 pour un exemple difficile montrant une fumée diffusant devant la caméra Robustification La présence de grands déplacements n est pas, loin s en faut, la seule difficulté des techniques d estimation du mouvement. Les modèles de données utilisés, DID ou ECMA, s appuient tous deux sur une hypothèse de conservation de la luminance qui n est absolument pas respectée dans un certain nombre de situations telles que les occultations, les contours abrupts, la présence d un bruit d acquisition, ou de variations d illumination. L autre source de problème concerne le terme de lissage et la préservation des discontinuités spatiales du champ des vitesses. Les fonctions de régularisation usuelles ne permettent pas en effet d introduire directement des ruptures de continuité Robustification de l ECMA Plusieurs méthodes ont été proposées afin d étendre la validité de l ECMA. La plupart s appuient sur une sophistication du terme quadratique d attache aux données. La première stratégie possible consiste à normaliser ce terme en fonction des gradients photométriques : où est une fonction décroissante définie telle que et qui tend vers zéro lorsque tend vers l infini (c.f. figure 2. Une approche alternative, proposée dans [49] consiste à localiser a priori les problèmes potentiels au moyen d un test statistique. Ce test vérifie l adéquation d une modélisation locale des fonctions d intensité et par des plans de même pente. Soit

21 Estimation du flot-optique 19 (a (b (c (d (e (f FIG. 1 Résultat d un estimateur multirésolution associé à une technique d optimisation multigrille [71] sur une séquence de fumée fournie par le LTSI de St-Etienne; (a première image de la séquence; (b grille adaptative finale associée à la technique multigrille (à la résolution la plus fine; (c-f champs denses de vitesse pour une série d images successives.

22 20 E. Mémin FIG. 2 Fonction utilisée pour pondérer l équation de contrainte du mouvement apparent. " le résultat de ce test, le nouveau modèle s exprime : Les fonctions de pondération précédentes ne dépendent que des données et peuvent être déterminées avant l estimation proprement dite. Une extension de ces idées consiste à remplacer la norme quadratique par une fonction de coût robuste. Les aberrations manifestes sont alors écartées en ligne [18]. Le modèle s écrit : Les fonctions de coût robustes sont plus permissives que la norme quadratique et permettent d atténuer l effet de données aberrantes. Ces fonctions paires et uniformément croissantes sont définies de façon à être moins sensibles que la fonction quadratique aux données hors modèle (outliers en anglais. Si on considère un problème d estimation du type cela revient à résoudre le problème ( On voit qu il suffit de choisir pour que la fonction de coût se comporte comme une fonction quadratique pour les résiduels faibles et de façon à atténuer l influence des résiduels trop importants. La plupart de ces fonctions sont par contre souvent non-convexes et nécessitent des méthodes de minimisation plus coûteuses (c.f. figure 3.

23 Estimation du flot-optique x Φ(x FIG. 3 Profil d une fonction de coût quadratique comparée avec une fonction de coût robuste. Une écriture dite semi-quadratique peut être obtenue pour sous les conditions de concavité de en sus des conditions précédentes[20, 25, 43]. Dans ce cas, la minimisation de est équivalente à une minimisation associant une nouvelle fonction de pondération :. Si la fonction est affine le problème revient alors à résoudre une succession de problèmes quadratiques pondérés où la minimisation vis-à-vis de la fonction de pondération est donnée explicitement par :. À poids fixés, le problème quadratique correspondant est résolu au moyen d un solveur itératif. Une variante efficace de cet algorithme consiste à effectuer seulement quelques pas d un solveur itératif avant la remise à jour des poids [73]. Ce type d adaptation s est avérée être expérimentalement plus rapide et tout autant efficace Préservation des discontinuités Le principal désavantage d un terme de lissage quadratique est qu il lisse aveuglément la solution à travers les contours des objets en mouvement. De façon similaire au cas précédent, plusieurs solutions sont envisageables afin de contrecarrer ce problème. Il est possible par exemple de lisser en fonction du module du gradient photométrique : ou perpendiculairement au gradient [76] : avec + - et Cet opérateur permet de ne pas lisser la solution au travers des discontinuités photométriques (i.e.,. Il a

24 22 E. Mémin d autre part l avantage de rester linéaire vis-à-vis du champ inconnu tout en permettant une préservation des discontinuités dans le cas d images homogènes contrastées. Pour des zones texturées en mouvement, ce lissage est peu approprié et conduit à des solutions de qualité inférieure à celle obtenue pour un lissage quadratique. En effet, dans ce dernier cas, le lissage s effectue suivant des directions caractérisant la texture en mouvement et pas les discontinuités de mouvement. Une autre solution vise à adapter en ligne le lissage. Il s agit dans ce cas de localiser en cours d estimation les discontinuités sur la base des variations spatiales du champ des vitesses. Il est possible, comme dans le cas précédent, de localiser (implicitement les discontinuités manifestes à l aide de fonctions de coût robustes. Le terme de lissage s exprime dans ce cas : Une écriture de type semi-quadratique, associée à une discrétisation aux différences finies du gradient, conduit à introduire des variables de discontinuités entre deux sites voisins de la grille image. Il est également possible de découpler le lissage de part et d autre des frontières d une segmentation. À cause du processus de segmentation associé qui est par essence un processus global, ce schéma ne correspond plus à un processus de lissage local. Ce type d approches sera décrit de façon plus précise dans la section dédiée aux lissages globaux sur supports disjoints. Tous les ingrédients que nous avons décrits jusqu à présent peuvent évidemment être combinés entre eux. Notons que les techniques de robustification ainsi que l utilisation d un cadre multirésolution incrémentale ne sont évidemment pas réservées aux approches reposant sur une régularisation fonctionnelle, elles peuvent tout aussi bien s appliquer aux deux autres classes d approches. Il existe par ailleurs d autres types d estimateurs robustes que les -estimateurs [91]. Des estimateurs de type Moindres carrés médians ou des estimateurs randomisés ont ainsi été très largement utilisés en vision par ordinateur [115, 101, 113]. Ces estimateurs sont en général plus robustes que les -estimateurs, mais sont associés à un coût calculatoire beaucoup plus élevé. Ainsi à titre d exemple, l estimateur de mouvement proposé dans [10, 82] s appuie sur un estimateur local associé à une estimation par moindres carrés médians. 2.6 Panel d approches Une description rapide des principales approches de cette famille peut être effectuée en identifiant la fonctionnelle associée, le choix de la discrétisation et la méthode d optimisation utilisée. Il est possible ainsi de recenser quelques approches caractéristiques qui diffèrent les unes des autres par l un de ces choix : Konrad & Dubois [60] (,+,+ '& s s r Cette approche est associée à une optimisation déterministe de type Gauss-Seidel (ICM [16], pour un espace d état discret des déplacements.

25 Estimation du flot-optique 23 Heitz & Bouthemy [49] s s r + (& + La fonction d énergie est définie dans un cadre multirésolution et associée à une optimisation déterministe de type Gauss-Seidel; est une variable binaire issue d un test statistique du type de celui décrit La fonction est une quadratique tronquée :. Alvarez, Sanchez & Weickert [4] + où +/ - et + Cette fonctionnelle associe l opérateur de lissage proposé par Nagel & Enkelmann [76] (c.f à un terme de différence inter-images déplacée dans un cadre d espace échelle gaussien (, où est le noyau gaussien 2D de variance *. Cette approche est mise en œuvre au moyen d une discrétisation linéaire implicite des équations d Euler- Lagrange (ce qui conduit à une linéarisation autour de l estimé courant du terme non linéaire de DID et d une résolution de type Gauss-Seidel. Cohen & Herlin [29] L estimateur s appuie sur une norme pour le terme régularisant et sur une implémentation par éléments finis des équations d Euler-Lagrange associées. Cette méthode est mise en œuvre sur une grille adaptative déduite des gradients spatiaux de l image. Black [18], Mémin & Pérez [69, 71] s s r,+ '&,+ '& Ces approches définies dans un cadre multirésolution considèrent toutes trois des fonctions de coût robustes sur le terme de lissage et sur le terme d attache aux données. Elles se différencient par l utilisation d une technique itérative de type SOR pour la première, et de techniques multigrilles sensiblement différentes pour les deux autres approches (méthode multigrille pure pour la seconde approche[69], Gauss- Newton hiérarchique [71] et paramétrisation adaptative des sous-espaces de solutions pour la dernière. Kornprobst [61] ( '&

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