MPSI DS 04. le 17 décembre 2003

Transcription

1 MPSI --3 DS 04 le 7 décembre 003 Présentation des copies : Utiliser des copies doubles uniquement ; Laisser une marge à gauche de chaque feuille et une demi-page sur la première feuille pour les remarques du correcteur. Numéroter les feuilles doubles en indiquant le nombre total de feuilles doubles (par exemple /3, /3, 3/3). Indiquer le nom sur chaque double feuille. /3 vide Q Q Q3 Les questions doivent être traitées dans l ordre de l énoncé, correctement numérotées et un trait horizontal doit les séparer ; si une question n est pas traitée, laisser un espace blanc. Ne pas utiliser de crayon de papier. Tirer deux traits diagonaux à l encre pour supprimer une partie de la copie. L énoncé ne doit pas être recopié sur les copies. Passer souvent à la ligne et espacer les formules. Rédaction mathématique : Annoncer avant une démonstration, le résultat à prouver et respecter les plans de démonstration. Chaque variable utilisée dans une démonstration doit être définie ; Pour montrer une équivalence, l écrire en numérotant les propositions (i) et (ii) ; Chaque résultat annoncé doit être justifié en citant précisément un théorème du cours avec ses hypothèses exactes, ou en citant le numéro d une question précédente du problème. Les résultats de calcul doivent être simplifiés et encadrés. Les calculs doivent être détaillés et expliqués à l aide de phrases en Français : Les notations de l énoncé doivent être respectées ;

2 Exercice Q Déterminer un équivalent simple de la suite de terme général u n th n cos(e n ) ln(ch n) Problème On rappelle le théorème de Bezout utilisé dans ce problème : Théorème. Deux entiers relatifs (p,q) Z sont premiers entre eux si et seulement s il existe un couple d entiers (u,v) Z tels que up + vq. On dit qu une fraction rationnelle p q est irréductible lorsque p Z, q N et p et q sont deux entiers premiers entre eux. On utilisera également sans démonstration que est irrationnel.. Partie Q Soient quatre entiers relatifs (p,q,p,q ) Z 4 vérifiant Montrer que p p et q q. p + q p + q Q 3 a. Montrer en utilisant la formule du binôme que pour tout entier n N, il existe deux entiers (p n, ) (N ) tels que ( + ) n+ p n + b. Montrer que l on a également c. Montrer que le couple (p n, ) est unique. ( ) n+ p n Q 4 a. Montrer que n N, { p n+ b. En déduire que n N, p n n. + p n + p n + Q 5 Montrer que n N, p n+ + p n ( ) n Q 6 a. Soit n N. Montrer que la fraction r n p n est irréductible. b. Déterminer un équivalent des suites (p n ) et ( ). En déduire la limite de la suite (r n ) n N.

3 c. Vérifier que : r 0 r + r + et que n N, r n+ + + r n + En réitérant, nous pouvons donc écrire (avec n traits de fractions), r n Partie Dans la suite du problème, on définit une fraction continue comme une suite de rationnels (r n ) n N où n N, r n p n, p n Z, N vérifiant les trois propriétés :. r 0 Z,. n N, p n+ + p n ( ) n, 3. n, < +. Q 7 a. Vérifier que n N, la fraction r n p n b. Vérifier que q 0 et p 0 Z. c. Montrer que n N, n. est irréductible. On définit pour n N, v n r n et w n r n+. Q 8 a. Soit k N. Déterminer le signe de α k [r k+ r k+ ] + [r k+ r k ]. b. En déduire que les suites (v n ) et (w n ) sont strictement monotones et adjacentes. c. Montrer que la suite (r n ) converge vers un réel x (on demande une démonstration détaillée). d. On définit pour n N, n ( ) k S n q k q k+ Montrer que la suite (S n ) converge et que k0 x r 0 + lim n + S n Q 9 a. Montrer que n N, 0 < x r n <. b. En déduire que x est irrationnel. q n

4 .3 Partie 3 Réciproquement, soit un nombre irrationnel x R\Q. Nous allons montrer qu il existe une fraction continue (r n ) n N qui converge vers x. On définit une fonction f par f(x) et on note I R \ Q l ensemble des nombres x E(x) irrationnels. Q 0 Montrer que I est inclus dans l ensemble de définition de la fonction f et que f(i) I. On peut donc définir f (x) f ( f(x) ) et plus généralement définir par récurrence pour n N, f n+ (x) f n( f(x) ). On pose alors a 0 E(x), a E ( f(x) ),...,a n E ( f n (x) ) Q Montrer que n N, a n. et on définit par récurrence les suites (p n ) et ( ) en posant : { { { p 0 a 0 q 0, p + a 0 a p n+, n N, q a + a n+ p n+ + p n a n+ + + Q Vérifier que la suite (r n ) ( p n ) est une fraction continue. Q 3 a. Montrer que n N, f n+ (x) x p n p n+ x+. b. En déduire que n N, x p n+f n+ (x) + p n + f n+ (x) +. Q 4 a. Déterminer pour n N le signe de x r n. b. En déduire que la suite (r n ) converge vers x. Q 5 Montrer que n N, + et en déduire une amélioration de l inégalité n. Q 6 En utilisant les résultats précédents, montrer qu un réel x est irrationnel si et seulement s il existe une infinité de nombres rationnels p q tels que x p q < q

5 Corrigé. Q Cherchons un équivalent du numérateur en écrivant a n [th n ] + [ cos(e n )] α n + β n En utilisant la définition de la tangente hyperbolique, α n th n e n e n + e n (puisque e n o(e n )). En utilisant l équivalent classique du cos, β n cos(e n ) n + e n n + (car e n n + 0). Montrons alors que a n n + 3 e n. Cherchons la limite du quotient, En utilisant les équivalents calculés, Pour le dénominateur, écrivons ln(ch n) ln [ e n + e n a n 3e n / puisque ln o(n) et ln( + e n ) o(n). Finalement, u n 3 e n n + n α n 3e n / + α n 3e n / 4 3 et β n 3e n / e n β n 3e n / 3. On a bien n +. ] ln [ e n ( + e n ) ] n ln + ln( + e n ) n + n. Q Montrons que q q par l absurde. Si q q, on aurait p p q q est irrationnel. Il vient ensuite que p p. Q ce qui est faux puisque Q 3 a. Posons p n E( n+ ) p0 E( n ) p0 ( ) n + p N p ) p N ( n + p + En utilisant la formule du binôme de Newton, ( + n+ ( ) n + ) n+ k k k0 ( ) n + k + ( ) n + k k0 k pair E( n+ ) p0 k ( n + p n + p ) p + k0 k impair E( n ) p0 k ( ) n + p p + Q 4 b. Il suffit de reprendre le développement du binôme précédent. c. L unicité provient directement de la question. a. Écrivons ( + ) n+ ( + )( + ) n+ ( + )(p n + ) (pn + ) + (p n + ) D après l unicité de (p n+,+ ) on en déduit les formules demandées.

6 b. Par récurrence : P(n) : p n n P(0) : on a p 0 q 0 et les inégalités sont bien vérifiées. P(n) P(n + ) : d après P(n), p n n. Alors p n+ p n + p n p n + n + n n+. Q 5 Par récurrence, P(n) : p n+ + p n ( ) n P(0) : on a vu que p 0 q 0 et on calcule p 3, q. Alors p q 0 q p 0 ( ) 0. P(n) P(n + ) Calculons p n+ + + p n+ (p n+ + + )(p n + ) (p n+ + + )(p n + ) p n+ + + p n ( ) n ( d après P(n)) ( ) n+ Q 6 a. D après la question 5, en posant u ( ) n p n+ et v ( ) n +, on a up n + v D après le théorème de Bezout, il vient que les entiers p n et sont premiers entre eux. b. En utilisant la question 3, on tire p n ( + ) n+ + ( ) n+ ( + ) n+ ( ) n+ et en posant k + >, k, ( k < ), on a k n+ o(k n+ ). Il vient ( + ) n+ donc que p n n + r n. n + ( + ) n+ et n +. Alors r n n + et donc c. On calcule à l aide des formules de la question 4, p 0,q 0, p 3,q, p 7,q 5 et alors r 0, r 3 + et r Soit n N. En utilisant les 5 mêmes formules, + r n+ p n+ + p n + p n + + p n p n + + r n Q 7 Q 8 a. En utilisant la propriété 3 et Bezout comme à la question 6. b. Facile puisque r 0 N et p 0 q 0. c. Récurrence facile en utilisant que la suite d entiers ( ) est strictement croissante et que q. a. Écrivons (r k+ r k+ ) + (r k+ r k ) p k+q k+ p k+ q k+ q k+ q k+ + p k+q k p k q k+ q k q k+ ( ) k q k+ q k q k q k+ q k+ Mais on sait que q k < q k+. Par conséquent, si k est pair, α k > 0 et si k est impair, α k < 0.

7 b. Soit n N. Calculons w n+ w n r n+3 r n+ α n+ < 0 v n+ v n r n+ r n α n > 0 La suite (v n ) est donc strictement croissante et la suite (w n ) strictement décroissante. Calculons également en utilisant la propriété 3, Majorons donc en utilisant 7c, w n v n p n+ + p n p n+ + p n + w n v n n(n + ) + la suite (d n ) (w n v n ) converge vers 0 d après le théorème de majoration. c. Les deux suites (r n ) et (r n+ ) sont adjacentes donc convergent vers la même limite x R. On montre alors (question de cours) que la suite (r n ) converge vers x. d. Soit n N, on calcule r n+ (r n+ r n ) + (r n r n ) + + (r r 0 ) + r 0 n (r k+ r k ) k0 Mais comme k [[0,n]], r k+ r k p k+q k p k q k+ q k q k+ ( )k q k q k+, il vient que S n r n+ r 0 n + x r 0 Q 9 a. D après la question précédente, comme la suite (v n ) est strictement croissante et converge vers x, k N, v k < x. En effet, s il existait k 0 N tel que x v k0, on aurait pour k k 0 +, x v k0 < v k0+ < v k et par passage à la limite dans les inégalités lorsque k +, on aurait x < v k0+ x ce qui est absurde. On montre de même que k N, x < w k. Soit alors n N, si n est pair, r n < x < r n+, si n est impair, r n+ < x < r n. Dans les deux cas, on a x r n < r n+ r n. Mais comme r n+ r n p n+ p n + + ( )n + il vient que x r n < < + qn (puisque < + ). b. Supposons par l absurde x rationnel. Il existerait (p,q) Z N tels que x p q a), on aurait : n N, 0 < p qp n < q En particulier, pour n q, puisque q q q, on aurait et d après 0 < pq q qp q < ce qui est impossible puisque pq q qp q est un entier.

8 Q 0 Soit x I. On montre par l absurde que x E(x) sinon x serait un entier. Par conséquent, f(x) est bien défini. Soit y f(i). Il existe x I tel que y f(x). Montrons par l absurde que y I. Si y était rationnel, il existerait (p,q) Z N tels que y p pe(x) + q mais alors on aurait x q p qui serait rationnel ce qui est faux. Q Soit n. On a vu que f n (x) I. Par conséquent, E ( f n (x) ) < f n (x) < E ( f n (x) ) + et donc f n (x) f n (x) E(x) > et donc a n E(f n (x)). Q Vérifions les trois propriétés de l énoncé.. On a r 0 p 0 /q 0 a 0 Z.. Montrons par récurrence la deuxième propriété : P(0) : p q 0 q p 0 ( + a 0 a ) a a 0 P(n) P(n + ) : P(n) : p n+ + p n ( ) n p n+ + + p n+ (a n+ p n+ + p n )+ (a n+ + + )p n+ (p n+ + p n ) ( ) n ( d après P(n)) ( ) n+ 3. Soit n. Comme n +, et que d après Q, a n+, Q 3 Montrons ce résultat par récurrence. + (a n+ ) + > 0 P(n) : f n+ (x) x p n p n+ x+ Q 4 P(0) : Calculons xq 0 p 0 x a 0 p xq + a 0 a a x f (x) Ces deux expressions sont bien égales. P(n) P(n + ) : Calculons f n+3 (x) f ( f n+ (x) ) et également f(x) E(f(x)) x E(x) a x a 0 a x a 0 + a 0 a a x f n+ (x) E ( f n+ (x) ) x p ( d après P(n) et la définition de a n n+) a n+ p n+ x+ x+ p n+ [a n+ p n+ + p n ] x[a n+ + + ] x+ p n+ p n+ x+ ( en utilisant la relation de récurrence sur p n, ) La deuxième formule s obtient immédiatement à partir de la première. a. Soit n N, calculons x r n p n+f n+ (x) + p n + f n+ p n (x) + (p n+ p n + )f n+ (x) + f n+ (x) + qn ( ) n f n+ (x) + f n+ (x) + qn

9 Mais a n+ f n+ (x), f n+ (x) > 0 et également > 0, + > 0. Le signe de x r n est donc celui de ( ) n. b. On a pour k N, r k x r k+ et donc n N, x r n r n+ r n ( )n + q n Puisque n, n + + et donc (r n) converge vers x. Q 5 Soit n N. Puisque + a n+ + + et que a n+, + >, on tire que + >. On montre ensuite facilement par récurrence que k N, { q k k q 0 k q k+ k q k et on déduit ensuite de ces deux relations que n N, E(n/) Q 6 Commencons par établir que si x est un nombre rationnel il n existe qu un nombre fini de rationnels ( on part toujours d une forme irreductible avec q > 0) vérifiant p q x p q < q pour cela partons d une écriture irreductible de x h t avec h et t deux entiers naturels (t 0). Nous nous interessons donc aux rationnnels sous la forme p q vérifiant ce qui peut aussi s écrire : Ceci signifie que h t p q < q q(hq pt) < t m {0,..,t} q(hq pt) ±m Traitons le cas m 0, dans ce cas cela impose hq pt 0 donc finalement p q h t, si m 0 alors q m t, il existe donc un nombre fini de q possibles. Mais dès que q est fixé, il existe un nombre fini de p possible puisque on doit avoir hq pt ± m q Ce qui montre qu il y a qu un nombre fini de rationnels p q vérifiant la relation demandée. Supposons maintenant que x soit un irrationnel, le travail précédent a mis en evidence une suite de rationnels pn vérifiant n N x p n + ce qui prouve le point demandé.