2a 4a. b2 4ac. [x ] + 25

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1 Lcée JANSON DE SAILLY I POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ 1 DÉFINITION Une fonction polnôme de degré est une fonction f définie surrpar f)=a + b+c où a, b, c sont des réels et a 0. EXEMPLES La fonction f définie pour tout réel par f)= 0,5 + est une fonction polnôme du second degré avec a= 0,5, b=0 et c=. La fonction g définie pour tout réel par g)=+1) 3 est une fonction polnôme du second degré car, pour tout réel, g)= a=4, b=1 et c=1) La fonction h définie pour tout réel par h)= 3 n est pas une fonction polnôme. + 1 FORME CANONIQUE Toute fonction polnôme f de degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0, peut s écrire sous la forme : f)=a α) + β avec α = b et β = fα). DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0. Comme a 0, pour tout réel, f)=a + b a + c ). a Or pour tout réel, + b ) = + b ) b a +. On en déduit que pour tout réel, [ f)=a + b ) ] b 4a + c a [ = a + b ) ] b 4ac 4a = a + b ) b 4ac 4a Soit en posant α = b et β = f b ) = b 4ac, on obtient pour tout réel, f)=a α) + β 4a EXEMPLE Cherchons la forme canonique de la fonction f définie surrpar f)= 3+. Pour tout réel, f)= [ + 3 ] 1 [ = + 3 ) ] [ = + 3 ) ] Ainsi, pour tout réel, f) = + 3 ) A. YALLOUZ MATH@ES) Page 1 sur 16

2 Lcée JANSON DE SAILLY II VARIATIONS Quand on connaît la forme canonique d une fonction polnôme du second degré, on peut en déduire son maimum ou son minimum. DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0, alors pour tout réel, f)=a α) + β avec α = b. 1. Étudions le cas où a<0 Si 1 < α alors 1 α < α 0 d où 1 α) > α). la fonction carré est décroissante sur ] ;0]) On en déduit que a 1 α) + β < a α) + β soit f 1 )< f ). Si α 1 < alors 0 1 α < α d où 1 α) < α). la fonction carré est croissante sur [0;+ [) On en déduit que a 1 α) + β > a α) + β soit f 1 )> f ). Ainsi, si a < 0 la fonction f est strictement croissante sur l intervalle sur l intervalle [ b [ ;+. Étudions le cas où a>0 ] ; b Si 1 < α alors 1 α < α 0 d où 1 α) > α). On en déduit que a 1 α) + β > a α) + β soit f 1 )> f ). Si α 1 < alors 0 1 α < α d où 1 α) < α). On en déduit que a 1 α) + β < a α) + β soit f 1 )< f ). Ainsi, si a > 0 la fonction f est strictement décroissante sur l intervalle sur l intervalle [ b [ ;+ On retient : ] ; b Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f)= a + b+c avec a 0. Les variations de f sont données par les tableau suivants : a<0 a>0 ] et strictement décroissante ] et strictement croissante b f b ) f) + b f) f b ) + EXEMPLE Soit f la fonction définie surrpar par f)= Ici a= 3, b= et c=1. Ainsi, b = 1 3 et f 1 ) = 1. Comme a<0, on en déduit le tableau des variations de f : 3 3 A. YALLOUZ MATH@ES) Page sur 16

3 Lcée JANSON DE SAILLY f) 4 3 III COURBE REPRÉSENTATIVE Dans un repère orthogonal ) O; i, j définie surrpar f)= a + b+c avec a 0 est une parabole. On dit que la parabole a pour équation =a + b+c du plan, la courbe représentative d une fonction polnôme f de degré Le sommet S de la parabole a pour abscisse α = b. Il correspond au maimum ou au minimum surrde la fonction f. La parabole a pour ae de smétrie la droite d équation = b a<0 a>0 f b ) S j j O i b b O i La parabole est tournée vers le bas S f b ) La parabole est tournée vers le haut SYMÉTRIE DE LA PARABOLE Pour des raisons de smétrie, l abscisse α du sommet de la parabole est la moenne des abscisses 1 et de deu points de la parabole aant même ordonnée : α = 1+. EXEMPLE Soit f la fonction définie pour tout réel par f)= 6 5 où a, b et c sont trois réels. Déterminons deu points de la courbe représentative de la fonction f aant la même ordonnée. Cherchons les solutions de l équation f) = 5 6 5= 5 6=0 3)=0 Soit =0 ou =3. Par conséquent, le sommet de la parabole a pour abscisse α = 0+3 = 1,5 IV ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ Une équation du second degré à une inconnue, est une équation qui peut s écrire sous la forme a +b+c=0 où a, b, c sont des réels et a 0. A. YALLOUZ MATH@ES) Page 3 sur 16

4 Lcée JANSON DE SAILLY L équation a + b+c=0 avec a 0 peut s écrire sous la forme a [ + b On pose =b 4ac, l équation a +b+c=0 avec a 0équivaut à l équation a soit encore + b ) Si <0 alors 4a < 0 et 4a = 0. + b ) 4a ) ] b 4ac 4a = 0 [ + b ) 4a > 0. Donc l équation du second degré n a pas de solution. Si =0 alors l équation a +b+c=0 avec a 0 équivaut à l équation du second degré a pour unique solution = b. ] = 0, + b ) = 0. Donc l équation Si >0 alors : + b ) 4a = 0 + b ) + b + + b+ ) = 0 ) ) + b + b ) = 0 ) = 0 Donc l équation du second degré a deu solutions 1 = b 1 PROPRIÉTÉ et = b+ Soit S l ensemble des solutions dansrde l équation du second degré a + b+c=0 où a, b et c sont des réels fiés avec a 0 et =b 4ac le discriminant du trinôme. Si < 0 alors l équation n a pas de solution; S = /0. Si =0 alors l équation a une seule solution; S= { Si > 0 alors l équation a deu solutions; S = { b }. b ; b+ } EXEMPLE Résoudre dansrl équation 6 3=7 Pour tout réel, 6 3= =0. Il s agit de résoudre une équation du second degré avec a=6, b= 7 et c= 3 Le discriminant du trinôme est =b 4ac soit = 7) 4 6 3)=49+7=11. Comme >0, l équation admet deu solutions : 1 = b Soit 1 = = 1 3 = b+ Soit = 7+11 = 3 1 { L ensemble des solutions de l équation 6 3=7 est S= 1 3 ; 3 } A. YALLOUZ MATH@ES) Page 4 sur 16

5 Lcée JANSON DE SAILLY INTERPRÉTATION GRAPHIQUE cas a<0 cas a>0 b O <0 b La parabole ne coupe pas l ae des abscisses O b O =0 b La parabole est tangente à l ae des abscisses O >0 b 1 O b 1 O La parabole coupe l ae des abscisses en deu points REMARQUE Les solutions éventuelles de l équation a + b+c=0 sont aussi appelées les racines du trinôme a + b+c A. YALLOUZ MATH@ES) Page 5 sur 16

6 Lcée JANSON DE SAILLY V SIGNE DU TRINÔME 1 FACTORISATION Factorisation du trinôme a + b+c avec a 0 : Si <0 alors le trinôme ne se factorise pas. Si =0 en notant 0 l unique racine : f)=a 0 ). Si >0 en notant 1 et les deu racines : f)=a 1 ) ). DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f) = a + b+c avec a 0 et =b 4ac le discriminant du trinôme. [ f)=a + b ) ] 4a. Si <0 alors f) est le produit par a d une somme de deu nombres positifs; le trinôme ne se factorise pas. Si =0 alors f)=a + b ). Soit en notant 0 = b l unique racine on a : Si > 0 alors f) = a les deu racines on a : + b+ ) f)=a 0 ) + b ) f)=a 1 ) ). Soit en notant 1 = b et = b+ PROPRIÉTÉ Soit f un polnôme du second degré défini surrpar f) = a + b+c avec a 0 et = b 4ac le discriminant du trinôme. Si <0 alors pour tout réel, f) est du signe de a. Si =0 alors f) est du signe de a pour tout réel b. Si >0, 1 et désignant les deu racines du trinôme avec 1 < alors f) est du signe de a pour tout réel ] ; 1 [ ] ;+ [ et f) est du signe contraire de celui de a pour tout réel ] 1 ; [. DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f) = a + b+c avec a 0 et =b 4ac le discriminant du trinôme. Si <0 alors f) est le produit par a d une somme de deu nombres positifs donc le signe du trinôme est le signe de a pour tout réel. Si =0 alors f) = a + b ) donc f) est nul pour = b ; pour les autres valeurs de le signe du trinôme est le signe de a. Si >0, 1 et désignant les deu racines du trinôme avec 1 < alors f)=a 1 ) ). Étudions le signe du produit a 1 ) ) à l aide d un tableau de signe. A. YALLOUZ MATH@ES) Page 6 sur 16

7 Lcée JANSON DE SAILLY a 1 ) ) signe de a 0 signe de a 0 signe de a REMARQUE On retiendra la règle «Un polnôme du second degré est du signe de a à l etérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. EXEMPLES 1. Résoudre l inéquation Étudions le signe du trinôme 4 +3 avec a= 1 4, b= 1 et c=3 1 4 Le discriminant du trinôme est =b 4ac soit = 1) 4 Comme >0, le trinôme admet deu racines : ) 3=1+3=4. 1 = b Soit 1 = 1 1 = = b+ Soit = 1+ 1 = 6 Un polnôme du second degré est du signe de a à l etérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. Ainsi : 6 + Signe du trinôme L ensemble des solutions de l inéquation est S=] ; 6] [;+ [.. Étudier les positions relatives de la parabole P d équation = avec la droite D d équation = 3 Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de 3)= +3 Le discriminant du trinôme est =b 4ac soit = ) 4 1 3= 4 1= 8. Comme <0, le trinôme est du signe de a donc pour tout réel, +3>0. La parabole P est au dessus de la droite D. A. YALLOUZ MATH@ES) Page 7 sur 16

8 Lcée JANSON DE SAILLY 18 septembre 017 SECOND DEGRÉ : RÉCAPITULATIF 1 re ES f)=a + b+c avec a 0 Discriminant =b 4ac <0 =0 >0 Variations b f) f b ) + a>0 Courbe b 1 0 Solutions de a +b+c=0 Signe de a + b+c 0 b Pas de solution Strictement positif sur R 0 b Une solution : 0 = b Positif surr Deu solutions : 1 = b = b+ Positif sur ] ; 1 ] [ ;+ [ Négatif sur [ 1 ; ] Variations b f b ) f) + b 0 b 0 a<0 Courbe 1 0 b Solutions de a +b+c=0 Signe de a + b+c Pas de solution Strictement négatif sur R Une solution : 0 = b Négatif surr Deu solutions : 1 = b = b+ Négatif sur ] ; 1 ] [ ;+ [ Positif sur [ 1 ; ] A. YALLOUZ MATH@ES) Page 8 sur 16

9 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE 1 Étudier dans chacun des cas, les variations de la fonction et donner les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction. 1. f 1 est la fonction définie surrpar : f 1 )= +1.. f est la fonction définie surrpar : f )= f 3 est définie surrpar f 3 )= f 4 est définie surrpar f 4 )= 3 EXERCICE f est une fonction polnôme du second degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0 ) Dans chacun des cas suivants, répondre au questions suivantes : Quel est le signe de a? Quelle est la valeur de b? Quel est le signe du discriminant? Quel est le signe de c? + 1. Le tableau des variations de f est : f) 1 +. Le tableau des variations de f est : f) La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f A. YALLOUZ MATH@ES) Page 9 sur 16

10 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE 3 1. Soit f une fonction polnôme du second degré telle que le maimum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont eactes? a) a>0 et <0. b) a<0 et =0. c) a<0 et <0. d) La courbe représentative de la fonction f coupe l ae des abscisses en deu points. e) L équation f) = 0 admet une seule solution.. Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polnôme du second degré f 1, f, f 3 et f 4. C C 3 0 C C 4 0 À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative : f 1 : a>0 et <0; f : a>0 et >0; f 3 : a<0 et =0; f 4 : a<0 et >0. EXERCICE 4 f est une fonction polnôme du second degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0 ) Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de a et indiquer si le discriminant est négatif, positif ou nul. 1. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f. 0. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f Le tableau des variations de f est 4. Le tableau des variations de f est 3 + f) f) A. YALLOUZ MATH@ES) Page 10 sur 16

11 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE 5 Résoudre dans R les équations suivantes : = +3 1= = = = + EXERCICE 6 Soit f une fonction définie surrpar f)=a + b+c. Sa courbe représentative dans un repère orthonormal est une parabole passant les points : A ;7), B0;1) et C; 1). 1. À l aide d un sstème d équations, déterminer les réels a, b, et c, et en déduire l équation de la parabole.. On note P la parabole d équation : = Calculer les coordonnées de ses points d intersection avec l ae des abscisses. EXERCICE 7 L offre et la demande désignent respectivement la quantité d un bien ou d un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un pri donné. Une étude concernant un article A a permis d établir que : la fonction d offre f est donnée par fq)=0,5q la fonction demande g est donnée par gq)= 78 6q q+8 où fq) et gq) sont les pri d un article en euros, pour une quantité q comprise entre 1 et 1 millions d unités. Pri en C) 8 Courbe de demande du marché 7 6 Courbe d offre du marché Quantité en millions) 1. À l aide du graphique précédent et en argumentant la réponse, déterminer si la demande est ecédentaire quand le pri de vente d un article est de 1 C.. On suppose dans cette question que le pri de vente d un article est de 4,50 C. a) Calculer la quantité d articles offerte sur le marché; b) Calculer la quantité d articles demandée sur le marché; A. YALLOUZ MATH@ES) Page 11 sur 16

12 Lcée JANSON DE SAILLY c) Quel problème cela pose-t-il? 3. On dit que le marché est à l équilibre lorsque, pour un même pri, la quantité offerte est égale à la quantité demandée. Déterminer le pri d équilibre et la quantité associée. EXERCICE 8 Pour deu résistances R 1 et R montées en série, la résistance du dipôle est R=R 1 + R R 1 R Pour deu résistances R 1 et R montées en parallèle, la résistance du dipôle est 1 R = 1 R R R 1 R On donne R = 6 Ω, déterminer la résistance X pour que la résistance du montage ci-dessous soit 16 Ω. X R X EXERCICE 9 Résoudre dans R les inéquations suivantes : )1 3) 1 EXERCICE Soit P la parabole d équation =a + b+c passant les points A ;4), B; 1) et C6;). À l aide d un sstème d équations, déterminer les réels a, b, et c, et en déduire l équation de la parabole.. Résoudre dansr l inéquation Soit D la droite d équation = Étudier les positions relatives de la droite D et de la parabole P. EXERCICE 11 Une entreprise fabrique un produit «Bêta». La production mensuelle ne peut pas dépasser articles. Le coût total, eprimé en milliers d euros, de fabrication de milliers d articles est modélisé par la fonction C définie sur ]0; 15] par : C)= 0,5 + 0,6+8,16 La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l annee ci-dessous à rendre avec la copie. On admet que chaque article fabriqué est vendu au pri unitaire de 8 C. A. YALLOUZ MATH@ES) Page 1 sur 16

13 Lcée JANSON DE SAILLY 1. Qu est ce qui est plus avantageu pour l entreprise fabriquer et vendre articles ou fabriquer et vendre articles?. On désigne par R) le montant en milliers d euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de milliers d articles du produit «Bêta». On a donc R) = 8. a) Tracer dans le repère donné en annee la courbe D représentative de la fonction recette. b) Par lecture graphique déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l entreprise réalise un bénéfice positif; la production 0 pour laquelle le bénéfice est maimal. 3. On désigne par B) le bénéfice mensuel, en milliers d euros, réalisé lorsque l entreprise produit et vend milliers d articles. a) Montrer que le bénéfice eprimé en milliers d euros, lorsque l entreprise produit et vend milliers d articles, est donné par B)= 0,5 + 7,4 8,16 avec ]0;15]. b) Étudier le signe de B). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice positif). c) Étudier les variations de la fonction B sur ]0;15]. En déduire le nombre d articles qu il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maimal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maimal? ANNEXE 130 Γ A. YALLOUZ MATH@ES) Page 13 sur 16

14 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE 1 Une entreprise fabrique un produit dont le coût de production mensuel en euros est modélisé par : C)=0,0 + 37, où est le nombre d unités produites mensuellement et dans l intervalle ]0;1300]. Pour éviter de se retrouver avec un stock important, l entreprise ajuste son pri de vente en fonction de la quantité produite. Le pri de vente unitaire en euros en fonction de, est P)=100 0,03. On suppose que l ajustement du pri de vente unitaire permet d écouler toute la production et on note R) la recette mensuelle générée par la production et la vente de produits. Les fonctions coût et recette sont représentées ci-dessous dans un repère orthogonal = C) =R) On cherche à déterminer la quantité que l entreprise devrait produire mensuellement pour maimiser son profit. 1. Montrer que le bénéfice B est donné par B)= 0,05 + 6, Déterminer graphiquement puis par le calcul, les valeurs de pour lesquelles l entreprise réalise un profit. 3. Étudier les variations de la fonction B. En déduire la quantité que l entreprise doit produire mensuellement pour maimiser son profit. Quel est le montant du profit maimum? EXERCICE 13 La fonction f définie sur ]0;0] par f)= , modélise le nombre d articles vendus en fonction du pri unitaire eprimé en euros. 1. Calculer le montant en euros de la recette si le pri de vente d un article est : de 5 euros; de 10 euros.. Montrer que la recette en fonction du pri s eprime par R)= Étudier les variations de la fonction recette sur l intervalle ]0;0]. 4. Déterminer le pri de vente permettant d obtenir une recette maimale. En déduire le nombre d articles vendus à ce pri. 5. Dans quel intervalle de pri, doit se situer le pri de vente pour obtenir une recette supérieure à 980 C? A. YALLOUZ MATH@ES) Page 14 sur 16

15 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE Résoudre l équation X 7X 18=0. En déduire une epression factorisée de f) où f est la fonction définie pour tout réel par : f)= Étudier le signe de f) surr. EXERCICE 15 On considère les fonctions f et définies sur l intervalle[0;1] par f)= ci-dessous par les courbes C et C et g)= 0 +, représentées 1 1,0 0,9 D : = 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, C C 0,1 0 E 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1. Déterminer la courbe représentative de la fonction f en justifiant la réponse.. Montrer que pour tout réel de[0;1], on a : f) et g). 3. Un cabinet d audit a été chargé d étudier la répartition des salaires dans deu filiales d une entreprise, appelées A et B. Pour l étude, les salaires sont classés par ordre croissant. Le cabinet d audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction f pour la filiale A et par la fonction g pour la filiale B. Lorsque représente un pourcentage de salariés, f) et g) représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives. Eemple : pour la courbe C, le point E0,3; 0,1) signifie que 30 % des salariés aant les plus bas salaires se partagent 10 % de la masse salariale. a) Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A aant les plus bas salaires. b) Pour les 50 % des salariés aant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale? c) Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire? A. YALLOUZ MATH@ES) Page 15 sur 16

16 Lcée JANSON DE SAILLY EXERCICE 16 Une entreprise fabrique un produit «Bêta». La production mensuelle ne peut pas dépasser articles. Le coût total, eprimé en milliers d euros, de fabrication de milliers d articles est modélisé par la fonction f définie sur ]0; 1] par : f)= 0,3 3 4,8 + 5,8 La représentation graphique C T de la fonction coût total est donnée ci-dessous : C T Le coût moen de production C mesure le coût en euro par article produit. On considère la fonction C définie sur l intervalle ]0;1] par C)= f). 1. Soit A le point d abscisse a de la courbe C T. a) Montrer que le coefficient directeur de la droite OA) est égal au coût moen Ca) b) Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction C. a) Étudier les variations de la fonction C. b) En déduire le pri de vente minimal, arrondi à l euro près, d un article pour que l entreprise ne travaille pas à perte? A. YALLOUZ MATH@ES) Page 16 sur 16