DEUX ENCADREMENTS DE π

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1 DEUX ENDREMENTS DE π lément oulonne 15 mars 013 Résumé Dans ce document, l auteur va essayer de donner deux encadrements du fameux nombre π. Les outils géométriques nécessaires pour cela seront le théorème de Pythagore et celui de Thalès. Dans ce qui suit, pour avoir un ordre d idée, on pourra prendre 1, 414. n se place dans un repère orthonormé (, #» ı, #» j ) et on considère le cercle trigonométrique unité, comme sur la figure 1. Figure 1 ercle unité trigonométrique 1 Première approximation Notons les points ( 1; 0), (0; 1) et (1, 0) (donc, au passage, le triangle est isocèle en ). onsidérons les points et D tels que D forme un rectangle et que soit le milieu de [D] (figure ) Le nombre π correspond à la longueur de l arc de cercle. ette longueur est comprise entre la somme des longueurs du segment [] et [] et celle des longueurs du segment [D], [D] et []. insi : + π D + D +. (1) r : + = car [] est la diagonale du carré D de côté 1 et : D = D = = = 1. 1

2 D Figure Le triangle est isocèle en, est le milieu de [D] et D forme un rectangle. D où, l équation (1) donne : + π D + D + + π 4 (, 8) π 4 Notre première approximation est peu prise mais facile à obtenir. n peut remarquer que : π 0, 313 () Seconde approximation : plus précise π 4 0, 858 (3) n peut faire mieux! Traçons la médiatrice du segment [] : c est la droite (D) car D est un carré et, dans ce cas précis, la médiatrice d une des diagonales du carré est l autre diagonale. Notons l intersection de la droite (D) avec l arc de cercle. n peut faire la même chose de l autre côté de l axe (), en notant l intersection de la droite () avec l arc de cercle (voir figure 3). n aura alors : π (4) Notons P l intersection de la droite () avec la droite (D) et Q le point d intersection de la droite () à la droite (). P et Q correspondent respectivement au centre de symétrie du carré D et du carré (voir figure 4). Le triangle est isocèle en car (P) est à la fois une hauteur issue de et une médiatrice du segment [] donc = et par symétrie = = +. n va donc calculer la longueur. n se place dans le triangle P rectangle en P. n connait la longueur P qui vaut une demidiagonale du carré unité, c est-à-dire cercle trigonométrique unité donc = 1. n sait aussi que P = P =. l faut donc calculer la longueur P. r appartient au. omme, P et sont

3 D Figure 3 est le point d intersection de la médiatrice du segment [] avec l arc de cercle et est le point d intersection de la médiatrice du segment [] avec l arc de cercle D P Q Figure 4 P l intersection de la droite () avec la droite (D) et Q le point d intersection de la droite () à la droite (). 3

4 alignés dans cet ordre : P = P = 1 =. insi, on peut calculer la longueur grâce au théorème de Pythagore. n a alors : = P + P ( ) ( = + 1 = = = 0, 765. ) = 4 3, 061, ce qui améliore la première partie de l inégalité (1). méliorons maintenant la seconde partie de l inégalité (1) (c est-à-dire π 4). Pour cela, on trace la tangente τ j (resp. τ ) du cercle trigonométrique unité en (resp. en ) et notons (comme le montre la figure 5) : E := τ [D], F := τ j [D], G := τ [], H := τ []. D F G E P Q H n a alors : Figure 5 E := τ [D], F := τ j [D], G := τ [], H := τ [] π E + E + F + F + G + G + H + H Regardons le membre de droite de inégalité et simplifions au maximum grâce aux égalités suivantes : de sorte que : E = F = G = H et E = F = G = H π 4(E + E). ci, nous allons utiliser le théorème de Thalès dans le triangle DP rectangle en P (car D est un carré) mais avant cela, on va prouver que les droites (P) et (E) sont parallèles. 4

5 Démonstration. P appartient à (D) car P est l intersection de la droite (D) avec la droite (). appartient à la droite (D) car est l intersection de la droite (D) avec l arc. r (D) est la médiatrice du segment [] donc (D) (). Ensuite, (E) est la tangente du cercle trigonométrique en donc, propriété de tangente, (E) (D). r, deux droites perpendiculaires à une même troisième sont perpendiculaires. n conclut donc que les droites (P) et (E) sont parallèles. n peut donc utiliser le théorème de Thalès dans le triangle DP rectangle isocèle en P : les droitse (P) et (E) sont parallèles,, E et D sont alignés dans cet ordre ; P, et D sont alignés dans cet ordre. Le théorème ous dit alors qu on a égalité entre les rapports suivants : Donc : n connaît déjà les longueurs P = DP = D = DP P = E E P = D DP = DE D. 1 = = DE E = 1 DE = ( 1) = et D = 1. alculons la longueur D : ( ) 1 = 1. E = D DE = 1 ( ) = 1 = E E + E =. n obtient alors l encadrement final : 4 π 4( ). (5) et encadrement est bien meilleur que l encadrement (1) car : π 4 0, 08 π 4( ) 0, 17. Question pour les lecteurs : Peut-on améliorer l encadrement (5)? 5