Tutorat no 5. Diffusion par un milieu inhomogène. On appelle équation de Helmholtz le cas où le potentiel est nul c est à dire l équation :

Transcription

1 1 ESPCI Deuxième année Année Méthodes Mathématiques Cyille Baeteau http ://www-decam.cea.f/images/pisp/cbaeteau/cbaeteau_f.html Tutoat no 5 Diffusion pa un milieu inhomogène Résumé Le teme diffusion couve un vaste champ de phénomènes associés à l inteaction d une onde avec un milieu matéiel. Dans ce tutoat nous nous esteindons au cas où la éponse du milieu est linéaie et indépedante du temps. De plus dans toute la suite nous considéeons des ondes monochomatiques et pa conséquent la dépendance en féquence sea omise. D aute pat nous nous limiteons à une onde scalaie Ψ() qui véifie l équation : Ψ() + k 2 n 2 ()Ψ() = 0 k = ω/c et n() est l indice du milieu. L équation peut se mette sous la fome : Ψ() + k 2 Ψ() = ()Ψ() où () = k 2 (1 n 2 ()) (1) L équation 1 est une équation de diffusion pa un potentiel () que l on enconte dans des situations tès diveses. Il est aussi bon de note que cette équation est exactement équivalente à l équation de Schödinge indépendante du temps pou des paticules non elativistes. 1 Equation de Helmholtz et Fonctions de Geen On appelle équation de Helmholtz le cas où le potentiel est nul c est à die l équation : ( + k 2 )Ψ() = 0 (2) 1.1 Solutions paticulièes éifie que les ondes planes sont solution de l équation de Helmholtz. 1.2 Fonctions de Geen de l équation de Laplace On considèe le cas k = 0. On note G 0 la fonction de Geen de l équation de Laplace : G 0 () = δ() Avec pou condition à l infini G 0 () 0 quand. Soit S R une sphèe de ayon R centée en = 0. Utlise le théoème de la divegence pou monte que : S R G 0 ().nds = 1

2 2 Le poblème étant à symétie sphéique on cheche des solution sous la fome G 0 ( ) = G 0 (). En déduie que G 0 véifie l équation : Pa intégation on touve ainsi : 4π 2 dg 0 d = 1 =R G 0 () = 1 4π 1.3 Fonctions de Geen de l équation de Helmholtz On cheche à pésent à calcule la fonction de Geen de l équation de Helmholtz, c est à die les fonctions G() véifiant l équation : ( + k 2 )G() = δ() (3) Avec pou condition à l infini G() 0 quand. On cheche les solutions à symétie sphéique G(). On intoduit les fonctions : G ± () = 1 e ±ik 4π (4) Montez que les fonctions G + et G sont bien des fonctions de Geen de l équation de Helmholtz 1. On poua pense à décompose e ik / en deux temes (e ik 1)/ + 1/. 1.4 Ondes sotantes et ondes entantes On a obtenu deux solutions linéaiement indépendantes G + et G. Commente leu fome. A quelle situation physique coespondent-elles espectivement? Démonte que l une des solutions appelée onde sotante véifie la elation suivante (dite condition de ayonnement) : ( ) Ψ lim R R ikψ = 0 =R 2 solution généale de l équation de diffusion On considèe le poblème de la diffusion pa un potentiel localisé dans un volume. On suppose qu une onde plane Ψ 0 aive de l infini su le cente diffuseu. 1 On appelle l expession du Laplacien en coodonnées spheiques pou des fonctions à symétiques sphéiques : Ψ = 1 d 2 d 2 (Ψ)

3 3 ψ 0 S FIG. 1 Repésentation schématique de la diffusion d une onde plane pa un cente diffuseu. On écit la solution généale sous la fome : Ψ() = Ψ 0 () + Ψ s () Où Ψ s est l onde diffusée. 2.1 Une elation impotante Démonte la elation suivante : 2.2 Théoème de Geen G + ( ) Ψ s () Ψ s () G + ( ) = G + ( ) ()Ψ() Ψ s ()δ( ) Soient deux fonctions f et g et un volume Ω limité pa une suface Σ, démonte le théoème de Geen : 2.3 La solution généale Ω ( f g g f )d 3 = Soit S R une sphèe de ayon R entouant le volume. Σ ( f g g f ).dσ S R O R R FIG. 2 Sphèe S R enmtouant le volume diffusant Démonte la fomule :

4 4 ( ) Ψ s () = G + ( ) ( )Ψ( )d 3 + Ψ s ( SR ) G + ( ) G + ( ) Ψ s ( ).n.ds Où est un point intéieu au volume R enfemé pa la sphèe S R. 2.4 Condition de ayonnement et fomule intégale de la diffusion Démonte que si Ψ véifie la condition de ayonnement alos l intégale de suface tend ves zéo quand le ayon de la sphèe tend ves l infini. En déduie la fomule intégale de la diffusion : 3 Compotement asymptotique Ψ() = Ψ 0 () + G + ( ) ( )Ψ( )d 3 (5) On considèe le cas où le point M de position est tès éloigné des points P (position ) intéieus à la zone d action du potentiel dont les dimensions linéaies sont de l ode de L. Soit L et L. M u - O P L FIG. 3 Point M éloigné du cente diffuseu. Soit u le vecteu unitaie dans la diection de. Monte que l on a : u. Monte que l onde Ψ() peut se mette sous la fome : Avec : Ψ() Ψ 0 () + f d (u) eik f d (u) = 1 e iku. ( )Ψ( )d 3 4π f d s appelle l amplitude de diffusion et le vecteu k d = ku est le vecteu d onde diffusé.

5 5 4 Pemièe appoximations de Bon Comme vous avez pu le constate l équation (5) est une équation intégale qui ne ésoud pas note poblème ca la fonction Ψ se touve dans les deux membes de l équation. Pa conte la fomule (5) est un bon point de dépat pou le développement de solutions appochées. Monte qu au pemie ode en (pemièe appoximation de Bon) on a : Ψ() Ψ 0 () + G + ( ) ( )Ψ 0 ( )d 3 (6) On suppose que l onde incidente est une onde plane Ψ 0 () = exp(ik i.). Monte que l amplitude de diffusion f d peut s écie comme la tansfomée de Fouie F [ ] du potentiel. f d = f (K) = 1 F [ ](K) 4π Où K est le vecteu k d k i, appelé vecteu d onde tansféé, les vecteus k i et k d étant de même nome. La sphèe de cente l ogine du vecteu k i et de ayon k i = k d = k est appelée sphèe d Ewald. k d K k i Sphee d Ewald FIG. 4 Sphèe d Ewald