BACCALAURÉAT BLANC. OBLIGATOIRE et ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

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1 BACCALAURÉAT BLANC Mardi 23 Juillet h 17 h MATHÉMATIQUES Série S OBLIGATOIRE et ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coformémet à la réglemetatio e vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices idépedats. Chaque cadidat doit traiter tous les exercices. Das chaque exercice, le cadidat peut admettre u résultat précédemmet doé das le texte pour aborder les questios suivates, à coditio de l'idiquer clairemet sur la copie. Le cadidat est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l'appréciatio des copies. EXERCICE 1 : Commu à tous les cadidats 5 poits x O cosidère les foctios f et g défiies pour tout réel x par : f x e et g x 1 e x. Les courbes représetatives de ces foctios das u repère orthogoal du pla, otées respectivemet C f et C g, sot fouries e aexe. Partie A. Ces courbes semblet admettre deux tagetes commues. Tracer aux mieux ces tagetes sur la figure ci-dessous. Partie B. Das cette partie, o admet l existece de ces tagetes commues. O ote D l ue d etre elles. Cette droite est tagete à la courbe C f au poit A d abscisse a et tagete à la courbe C g au poit B d abscisse b. 1. a. Exprimer e foctio de a le coefficiet directeur de la tagete à la courbe C f au poit A. b. Exprimer e foctio de b le coefficiet directeur de la tagete à la courbe C g au poit B. c. E déduire que b a. x 2 x1 e Démotrer que le réel a est solutio de l équatio Page 1 sur 5

2 x 2 x 1 e x 1. Partie C. O cosidère la foctio défiie sur par 1. a. Calculer les limites de la foctio e et. b. Calculer la dérivée de la foctio, puis étudier so sige. c. Dresser le tableau de variatio de la foctio sur. Préciser la valeur de a. Démotrer que l équatio x 0 admet exactemet deux solutios das. b. O ote la solutio égative de l équatio x 0 et la solutio positive de cette équatio. À l aide d ue calculatrice, doer les valeurs de et arrodies au cetième. EXERCICE 2 : Commu à tous les cadidats 5 poits Avat le début des travaux de costructios d ue autoroute, ue équipe d archéologie prévetive procède à des sodages successifs e des poits régulièremet espacés sur le terrai. Lorsque le -ième sodage doe lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L évéemet : «le -ième sodage est positif» est oté V,o ote p la probabilité de l évéemet V. L expériece acquise au cours de ce type d ivestigatio permet de prévoir que : si u sodage est positif, le suivat a ue probabilité égale à 0,6 d être aussi positif. si u sodage est égatif, le suivat a ue probabilité égale à 0,9 d être aussi égatif. O suppose que le premier sodage est positif, c'est-à-dire : p 1 = Calculer les probabilités des évéemets suivats : a. A : «les 2 e et 3 e sodages sot positifs» ; b. B : «les 2 e et 3 e sodages sot égatifs». 2. Calculer la probabilité p 3 pour que le 3 e sodage soit positif. 3. désige u etier aturel supérieur ou égal à 2. Recopier et compléter l arbre ci-cotre e foctio des doées de l éocé : 4. Pour tout etier aturel o ul, établir que : p +1 = 0,5 p + 0,1. 5. O ote u la suite défiie, pour tout etier aturel o ul par : u = p 0,2. a. Démotrer que u est ue suite géométrique, e préciser le premier terme et la raiso. b. Exprimer p e foctio de. a. Calculer la limite, quad ted vers, de la probabilité p. Page 2 sur 5

3 EXERCICE 2 : Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité 5 poits N O se propose, das cette questio, de détermier tous les etiers relatifs N tels que : N 1 17 a. Vérifier que 239 est solutio du système. b. Soit N u etier relatif solutio de ce système. Démotrer que N peut s écrire sous la forme N 117x 5 13y où x et y sot deux etiers relatifs vérifiat 17x13y Résolvos l équatio diophatiee (E) :17x13y 4, où x et y sot deux etiers relatifs. a. Détermier u couple x0; y 0 solutio «évidete» de l équatio (E). b. Démotrer qu u couple xy ; est solutio de l équatio (E) si, et seulemet si, 17 x x 13 y y c. E déduire les couples solutios de (E). 3. E déduire qu il existe u etier relatif k tel que N k. N Démotrer l équivalece etre N et N Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même ifructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. 10 k 1 17? a. Existe-t-il u etier aturel k tel que b. Existe-t-il u etier aturel tel que ? EXERCICE 3 : Commu à tous les cadidats 5 poits Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé direct O; u, v ( uité graphique 2 cm). O cosidère les poits A, B et C d affixes respectives : Partie A. 1. Écrivez A za 3 3 i, zb za et zc z et zb sous forme expoetielle. 2. Placez les poits A, B, C. 3. Démotrez que le triagle ABC est équilatéral. Partie B. Soit f l applicatio qui à tout poit M d affixe z associe le poit M d affixe associés par f aux poits O, A, B, C respectivemet. 1 2 z ' iz. O ote O, A, B, C les poits 3 1. a. Détermiez la forme expoetielle des affixes des poits A, B et C. b. Placez les poits A, B et C. c. Démotrez l aligemet des poits O, A, B, aisi que celui des poits O, B, A. 2. Démotrez que si M appartiet à la droite (AB), alors M appartiet à la parabole d équatio y x. Page 3 sur 5

4 EXERCICE 4 : Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u questioaire à choix multiples costitué de quatre questios idépedates. Pour chacue d elles, ue ou plusieurs des réposes proposées sot correctes. Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la ou les lettres correspodates aux réposes choisies. Aucue justificatio est demadée. Il sera attribué u poit par répose est exacte 1. Si lim a. lim u et lim u v 0 v, alors :. b. lim uv. c. lim u 1 v. d. lim u v Soit la suite u défiie pour tout etier aturel par u Cette suite : a. coverge vers 1. b. coverge vers 1. c. coverge vers 0. d. diverge. Les questios suivates portet sur le cube ABCDEFGH ci-cotre : 3. La droite (BD) est parallèle à : a. la droite (EH). b. la droite (HF). c. au pla (EFG). d. au pla (HFC). 4. La droite (HB) est orthogoale à : a. la droite (EG). b. la droite (DF). c. au pla (AFC). d. la droite (ED). 5. O cosidère la suite umérique ( défiie pour tout etier aturel par : { O souhaite écrire u algorithme affichat pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite, du rag 0 au rag. Parmi les trois algorithmes suivats, u seul coviet. Préciser lequel. a. b. c. Page 4 sur 5

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