La Représentation de Bonne Par Abdelmajid BEN HADJ SALEM. Ingénieur Géographe Général

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1 La Représentation de Bonne Par Abdelmajid BEN HADJ SALEM Ingénieur Géographe Général Février 218 Version 1.

2 1 Table des matières 1 L origine du découpage de la cartographie 1/5 type ancien. 2 2 Définition et Propriétés de la Représentation de Bonne Formules Modèle sphérique Modèle ellipsoïdique Calcul des coordonnées Modèle sphérique Calcul direct Calcul indirect Le modèle ellipsoïdique Le calcul direct Le calcul inverse Calcul de la longueur de la méridienne d un ellipsoïde de révolution Résolution de l équation L(ϕ) = L Calculs d erreurs A Le calcul des angles des feuilles à l échelle 1/ B La désorientation entre les axes des coordonnées Lambert Tunisie et Lambert Algérie

3 1 L origine du découpage de la cartographie 1/5 type ancien 2 La Représentation de Bonne Abdelmajid BEN HADJ SALEM, Ingénieur Géographe Général 1 Résumé Cette note donne les éléments mathématiques de la représentation de Bonne utilisée dans l ancienne cartographie à l échelle 1/5 en Tunisie et en Algérie. Mots-clefs : Représentation de Bonne, modèle sphérique, modèle ellipsoïdique, rayon de courbure de la méridienne d une ellipse, cartes (type ancien) à l échelle 1/5. 1 L origine du découpage de la cartographie 1/5 type ancien Le découpage de la cartographie à l échelle 1/5 type ancien utilisait le découpage obtenu par la représentation de Bonne 2 (origine ϕ = 39gr,λ =longitude de Paris), avec modèle ellipsoïdique. Nous présentons ci-dessous les éléments mathématiques de cette représentation utilisée dans l ancienne cartographie à l échelle 1/5 en Tunisie et en Algérie. Soit O l image du point origine de la représentation de Bonne. L axe des Y dirigé vers le Nord est l image du méridien origine λ. L axe des X dirigé vers l Est est tangent à l image du parallèle origine ϕ = 39gr (arc de cercle). 2 Définition et Propriétés de la Représentation de Bonne Définition 2.1. La représentation de Bonne est une représentation équivalente c est-à-dire elle conserve les surfaces. Propriété 2.2. Les images des parallèles sont des arcs de cercles, celles des méridiens des droites non concourantes. La représentation est dite "mériconique" abenhadjsalem@gmail.com. 2. Rigobert Bonne ( ) : ingénieur, mathématicien et cartographe français.

4 2 Définition et Propriétés de la Représentation de Bonne 3 Propriété 2.3. Les longueurs sont conservés sur le méridien origine et sur les parallèles ou encore le méridien origine et les parallèles sont automécoïques (Fig.1). Propriété 2.4. L image d un cercle de rayon unité est une ellipse. Fig. 1: Image du cercle 2.1 Formules Modèle sphérique Considérons un modèle sphérique (sphère de rayon R ). A un point M(ϕ,λ), on lui correspond son image m. Les coordonnées de m dans Xω Y sont : } X = sm.sinθ = R.sinθ (1) Y = sω R.cosθ mais sω = SΩ = R.cotgϕ, d où : Pour θ = ou λ = λ, on a : X = R.sinθ (2) Y = R.cotgϕ R.cosθ (3) Y = R cotgϕ R (4) Y = ω m = R (ϕ ϕ ) = R = R (cotgϕ (ϕ ϕ )) (5) Tout parallèle est automécoïque (le module linéaire =1), donc M M = m m, d où : R cosϕ.(λ λ ) = R.θ = θ = R (λ λ )cosϕ (6) R et

5 2 Définition et Propriétés de la Représentation de Bonne Modèle ellipsoïdique Considérons maintenant un modèle ellipsoïdique. Les formules (1) restent inchangées : X = Rsinθ Y = sω Rcosθ avec : sω = N cotgϕ = a 1 e 2 sin 2 ϕ.cotgϕ (7) où a et e 2 sont respectivement le demi-grand axe et le carré de la première excentricité de l ellipsoïde de référence à savoir l ellipsoïde de Clarke 188 Français 3 et : R = sm = sm = sω ω m (8) or ω m est la longueur de la méridienne entre les latitudes ϕ et ϕ, soit : R = sω ρ(t)dt = N cotgϕ + ρ(t)dt (9) ϕ ϕ où ρ est le rayon de courbure de la méridienne qui vaut : ρ(ϕ) = a(1 e 2 )(1 e 2 sin 2 ϕ) 3/2 (1) Posons : Alors R s exprime comme : L(ϕ) = ρ(t)dt (11) R = N cotgϕ + L(ϕ ) L(ϕ) (12) Pour avoir θ, on utilise la relation que M M = m m, soit : r(λ λ ) = R.θ = θ = r(λ λ ) R mais r = Ncosϕ, d où : 3. a = ,2m;e 2 =, θ = N(λ λ )cosϕ R(ϕ) (13)

6 3 Calcul des coordonnées 5 3 Calcul des coordonnées 3.1 Modèle sphérique Calcul direct Ayant (ϕ,λ), on calcule : Calcul indirect d où : R = R (cotgϕ (ϕ ϕ )) (14) (λ λ et θ = )cosϕ (15) cotgϕ (ϕ ϕ ) d o X = R.sinθ (16) Y = R cotgϕ R.cosθ (17) On donne (X,Y), l équation (17) donne R.cosθ = R cotgϕ Y. Utilisant (16), on a : X tgθ = R.cotgϕ Y L équation (16) donne : Et utilisant (14), on a : ( ) X θ = Arctg R.cotgϕ Y R = X sinθ (18) (19) (2) ϕ = cotgϕ + ϕ R R (21) et de (13), on obtient : R λ = θ. R cosϕ + λ (22) 3.2 Le modèle ellipsoïdique Le calcul direct Ayant (ϕ, λ) et le modèle ellipsoïde concerné, on veut calculer les coordonnées planimétriques (X, Y ) de la représentation plane de Bonne. Utilisant

7 3 Calcul des coordonnées 6 respectivement les équations (12) et (13), on obtient R et θ : D où : Le calcul inverse R = N cotgϕ + L(ϕ ) L(ϕ) θ = N(λ λ )cosϕ R(ϕ) X = Rsinθ (23) Y = N cotgϕ Rcosθ (24) On donne (X,Y ), comme dans le cas du modèle sphérique, on a : ( ) X X tgθ = = θ = Arctg N cotgϕ Y N cotgϕ Y R(ϕ) = X sinθ (25) (26) Le calcul de la latitude géodésique ϕ se fait en calculant premièrement la valeur numérique de : L(ϕ) = L 1 = N cotgϕ + L(ϕ ) R (27) puis, on résoud en ϕ l équation L(ϕ) = L 1 (voir le paragraphe ci-dessous). On déduit par la suite la valeur de la longitude géodésique λ par : λ = λ + θ.r Ncosϕ (28) 3.3 Calcul de la longueur de la méridienne d un ellipsoïde de révolution Soit (E) un ellipsoïde de révolution défini par ses paramètres : a : le demi-grand axe, e : la première excentricité. L expression de la longueur de la méridienne entre l équateur et un point M de latitude géodésique ϕ est donnée par : L(ϕ) = ρ(u)du (29)

8 3 Calcul des coordonnées 7 avec : a(1 e 2 ) ρ = ρ(u) = (1 e 2 sin 2 u) 2 3 ρ est le rayon de courbure de la méridienne. Posons : L équation (29) s écrit : I(ϕ) = (1 e 2 sin 2 u) 3 2 du (3) L(ϕ) = a(1 e 2 )I(ϕ) (31) L intégrale (3) est une intégrale, dite elliptique, n est pas exprimée par une formule finie. Pour la calculer, on fait l usage d un développement limité de l expression (1 e 2 sin 2 u) 3 2. On utilise la formule : (1+x) q = 1+qx+ q(q 1) x 2 + 2! q(q 1)(q 2) x ! q(q 1)...(q 1 + p) x p +o(x p+1 ) p! avec x < 1, q est un rationnel et p! désigne factoriel p soit p(p 1) Comme e 2 sin 2 u < 1, on a donc à l ordre 12 : 1 = (1 e 2 sin 2 u) 3 3 (1 e 2 sin 2 u) 3 2 = e2 sin 2 u e4 sin 4 u e6 sin 6 u e8 sin 8 u e1 sin 1 u e12 sin 12 u (32) Pour pouvoir calculer les intégrales du type : sin 2p udu on va exprimer les termes sin p u en fonction des lignes trigonométriques mul-

9 3 Calcul des coordonnées 8 tiples de l argument u. Ce qui donne : sin 2 u = 1 2 cos2u 2 sin 4 u = 3 8 cos2u 2 sin 6 u = cos2u 32 + cos4u cos4u 16 cos6u 32 sin 8 u = cos2u + 7cos4u cos6u cos8u 128 sin 1 u = cos2u + 15cos4u 45cos6u + 5cos8u cos1u 512 sin 12 u = cos2u + 495cos4u 55cos6u + 33cos8u cos1u + cos12u (33) L équation (32) s écrit en utilisant les expressions de droite de (33) : (1 e 2 sin 2 u) 3 2 = A + A 2 cos2u + A 4 cos4u + A 8 cos8u + A 1 cos1u + A 12 cos12u (34) En intégrant (34) entre et ϕ et après multiplication par le coefficient a(1 e 2 ), on trouve l expression ci-dessous de la longueur de la méridienne : L(ϕ) = a(1 e 2 ).(C ϕ + C 2 sin2ϕ + C 4 sin4ϕ + C 6 sin6ϕ où les coefficient A k vérifient : +C 8 sin8ϕ + C 1 sin1ϕ + C 12 sin12ϕ) (35) C = A C 2 = A 2 2 C 8 = A 8 8 C 4 = A 4 4 C 1 = A 1 1 C 6 = A 6 6 C 12 = A (36)

10 3 Calcul des coordonnées 9 avec : C = e e e e e e12 C 2 = 3 8 e e e e e e12 C 4 = e e e e e12 C 6 = e e e e12 (37) C 8 = e e e12 C 1 = e e12 C 12 = e12 Posons : Alors, on obtient : n=6 J(ϕ) = a(1 e 2 ) C 2n sin2nϕ (38) n=1 L(ϕ) = a(1 e 2 )C ϕ + J(ϕ) (39) Résolution de l équation L(ϕ) = L 1 On peut écrire l équation L(ϕ) = L 1 comme suit : Posons : Alors, on a à résoudre : ϕ = F(ϕ) = L 1 J(ϕ) a(1 e 2 )C a(1 e 2 (4) )C L 1 J(ϕ) a(1 e 2 )C a(1 e 2 (41) )C La résolution de (42) se fait par itérations comme suit : ϕ 1 = ϕ = F(ϕ) (42) L 1 a(1 e 2 )C (43)

11 3 Calcul des coordonnées 1 Puis : J(ϕ ϕ 2 = ϕ 1 1 ) a(1 e 2 )C J(ϕ j ) ϕ j+1 = ϕ 1 a(1 e 2 )C On fixe un nombre ɛ 1. Si ϕ j+1 ϕ j < ɛ, alors ϕ = ϕ j+1 = ϕ j, sinon on itère le processus. En prenant ɛ = 1,57 1 1, on obtient la précision du mm. La résolution de (42) par itérations est convergente car on montre que F (ϕ) < Calculs d erreurs Jusqu à quel ordre faut-il s arrêter dans le développement limité de l expression de la longueur de la méridienne? Ecrivons (31) sous la forme : L(ϕ) = a(1 e 2 )I(ϕ) = a(1 e 2 ) On s arrête à l ordre i 1 tel que : soit : i= a i sin 2i tdt (44) a(1 e 2 )a i sin 2i tdt < 1 4 m (45) a(1 e 2 )a i sin 2i tdt a(1 e 2 )a i dt a(1 e 2 )a i π 2 < 1 4 m = a i < πa(1 e 2 ) (46) Numériquement pour i = 1, on trouve que a 5 = e1 > πa(1 e 2 ). Par contre pour i = 6, on obtient que a 6 = e12 < πa(1 e 2. Donc on garde ) que les coefficients de e 2,e 4,e 6,e 8 et e 1 de (32). Références 1. Abdelmajid Ben Hadj Salem Eléments de Géodésie et de la Théorie des Moindres Carrés. ISBN Edition Nour- Publishing. 365 pages.

12 A Le calcul des angles des feuilles à l échelle 1/ Abdelmajid Ben Hadj Salem Eléments de Cartographie Mathématique. version pages. A Le calcul des angles des feuilles à l échelle 1/5 Le découpage résulte d un quadrilliage rectangulaire de dimensions L = 32km et l = 2km. Les coordonnées d un sommet d une feuille dans la représentation de Bonne sont (Fig.2) : Fig. 2: Représentation d une feuille à l échelle 1/5 où n et m sont des entiers positifs. X = n.l Y = m.l } (47) A partir de l équation (47), on calcule les coordonnées géographiques correspondantes ϕ, λ. Ces coordonnées sont exprimées dans le système Voirol. On obtient alors les coordonnées rectangulaires (X A,Y A ) Lambert Algérie (Nord ou Sud) en appliquant à ϕ,λ les formules du Lambert Algérie. Quant aux coordonnées des angles de feuilles (X T,Y T ) Lambert Tunisie (Nord ou Sud), elles sont calculées en utilisant les formules du Lambert Tunisie à ϕ = ϕ ϕ et à λ = λ λ où ϕ, λ sont les corrections qu il faut ajouter à ϕ, λ pour les transformer dans le système géodésique tunisien Carthage34.

13 B La désorientation entre les axes des coordonnées Lambert Tunisie et Lambert Algérie 12 B La désorientation entre les axes des coordonnées Lambert Tunisie et Lambert Algérie Sur certaines cartes à l échelle 1/5, sont dessinés 2 quadrillages de coordonnées relatifs respectivement au Lambert Tunisie (système Carthage34) et au Lambert Algérie (Système Voirol). Ces deux quadrillages présentent une désorientation angulaire non négligeable. En faisant abstraction des translations et en négligeant les différences entre les systèmes Carthage34 et Voirol, on a le schéma suivant pour le Lambert Nord (Fig. 3). Fig. 3: La désorientation entre les axes des systèmes planimétriques Lambert Tunisie et Lambert Algérie La désorientation des axes est la valeur de la "convergence des méridiens" au point O, soit pour le Lambert Nord : γ N = (λ OT λ OA )sinϕ = (11 3)sin(4gr) = 4,723gr (48) et pour le Lambert Sud, on obtient : γ S = (λ OT λ OA )sinϕ = (11 3)sin(37gr) = 4,723gr (49)