Correction CCP maths 1 MP
|
|
- Estelle Mathieu
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 vril 13 Avertissement : Il subsiste certinement quelques coquilles... Eercice 1 : une série de Fourier Correction CCP mths 1 MP 1. On note n (f et b n (f les coefficients de Fourier réels de f qui sont bien définis cr f est continue pr morceu sur R et π périodique. f est impire donc n N, n (f. Soit n N. b n (f π sin(nt dt [ ] π cos(nt π π n nπ (1 ( 1n. 4 Ainsi, p N, b p+1 (f (p + 1π et p N, b p (f.. L fonction f est constnte pr morceu donc de clsse C 1 pr morceu (et π périodique. S série de Fourier converge donc simplement vers s régulrisée. Pr construction, f est s propre régulrisée donc on l églité suivnte vec convergence de l série : 4 R, sin((p + 1 f(. π(p En prticulier, pour π/ : π(p + 1 sin((p + 1π/ f(π/ donc 4 π p donc p + 1 π 4. Pr illeurs, l églité de Prsevl Bessel s pplique cr f est continue pr morceu et π périodique. On peut donc écrire l églité suivnte vec convergence de l série : 1 (b p+1 (f 1 π f(t dt. π π On obtient insi : π (p donc 1 (p + 1 π 8. Eercice : un système différentiel 1. χ A (X (1 X(3 X + 1 X 4X + 4 (X. D près le théorème de Cley Hmilton (ou pr vérifiction immédite, (A I donc A I est nilpotente. Soit t R. ( e ta e t e tb e t 1 (tbn e t t n I + tb + Bn e t (I + tb. En effet, B donc n, B n. (. En notnt X y n, le système et les conditions initiles se réécrit mtriciellement sous l forme équivlence suivnte : { X AX X( t (1,. Pr théorème de cours, ce problème de Cuchy linéire à coefficients constnts dmet une unique solution : l fonction définie sur R ( 1 pr t R, X (t e ta. Simplifions cette ( dernière epression. ( (( ( ( t Soit t R. e ta e t (I + tb e t + tb e t + 3t Conclusion : l unique couple solution est le couple (t e t (1 3t; t e t ( + 3t.. 1
2 Problème : séries de Tylor et développement en série entière Prtie préliminire 1. L série entière n n 1 est l série dérivée de l série entière n. Cette dernière pour ryon de convergence 1 donc l série n1 dérivée est de même ryon de convergence et s somme est l dérivée de l série De plus, ] 1, 1[, n1 n. n 1 1. Donc ] 1, 1[, n n 1 1 (1.. Soit >. Fions deu réels et A tels que < < A. Posons les fonctions u et v définies sur le segment [, A] pr u(t t et v(t e t. u et v sont de clsse C 1 sur [, A] et t [, A], u (t t 1 et v (t e t. A Pr le théorème d intégrtion pr prties, t e t dt [ t e t] A A + t 1 e t dt e A e A + On fit tendre vers et A vers +. Pr définition de l fonction Γ, les deu intégrles convergent respectivement vers Γ( + 1 et Γ(. Comme est strictement positif, tend vers donc e t O( églement qund tend vers. Enfin, pr théorème de comprison, A e A tend vers qund A tend vers +. Pr unicité de l limite, on obtient l églité Γ( + 1 Γ(. Montrons pr récurrence sur n N le prédict P (n : Γ(n (n 1!. Γ( + e t dt 1! donc P ( est vri. Soit n N. On suppose que P (n est vri. n > donc Γ(n + 1 nγ(n n(n 1!. Donc P (n + 1 est vri. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N et n N, Γ(n (n 1!. n ( k 3. Soit R fié. Montrons pr récurrence sur n N le prédict P (n : f( f (k ( + Initilistion : ( f (k ( t ( + f (t dt f( + f (t dt f( + f( f( f(.! Donc P ( est vri. Soit n N. On suppose P (n 1 vri. ( tn Définissons les fonctions u et v sur I pr u(t et v(t f (n (t. u et v sont de clsse C 1 sur I et t I, u ( tn 1 ( tn 1 (t n et v (t f (n+1 (t. (n 1! ( t n [ ] ( t Pr le théorème d intégrtion pr prties, f (n+1 n (t dt f (n (t + n cr n 1. En eploitnt l hypothèse de récurrence, on obtient insi ( t n f (n+1 (t dt ( n f (n ( + f( n 1 P (n est donc vri. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N. Prtie 1 : quelques eemples 4. Pr théorème, R, sin De plus, (p + 1! p+1. Donc R, f( (p + 1! p 1 f( donc R, f( ( k f (k ( f( (p + 1! p. f dmet donc un développement en série entière sur l intervlle ], +[. Cette fonction est donc de clsse C sur R. A t 1 e t dt. ( t n f (n+1 (t dt. ( t n 1 f (n (t dt. (n 1! n ( k f (k (. (p + 1! p.
3 5. ] 1, 1[ est un voisinge de. D près l question 1, ] 1, 1[, (1 n n n n. L fonction f définie sur ] 1, 1[ pr f( n1 est donc développble en série entière sur l intervlle ] 1, 1[. Elle est de clsse (1 C et d près le théorème rppelé, n N, f (n ( n donc n N, f (n ( n.. 6. ( f est de clsse C donc en prticulier, continue sur ] R, R[. Or [, 1] ] R, R[ cr R > 1. Donc f est continue sur le segment [, 1]. Pr théorème elle est bornée. Il eiste et on le fie un réel M > tel que [, 1], f( M. f (n ( Pr théorème, pour tout réel du disque ouvert de convergence ] R, R[, l série n est bsolument convergente. Or 1 ] R, R[ donc f (n ( est le terme générl d une série convergente. Enfin, [, 1], (n f(f ( n M f (n ( donc sup (n f(f ( n M f (n ( [,1]. Pr définition, l série de fonction f( f (n ( n converge normlement sur l intervlle [, 1]. (b Pour tout [, 1], f( f (n ( n f( f (n ( n f(. Donc l série de fonction précédemment étudiée converge normlement donc uniformément sur le segment [, 1] vers l fonction (f(. Les fonctions sont continues. 1 Pr théorème d intégrtion terme à terme, f( f (n ( 1 d f( n d. L fonction f( est continue, positive et d intégrle nulle sur le segment [, 1] donc pr théorème, cette fonction est nulle et [, 1], f(. Pr le crctère intègre de R, [, 1], f(. (c Soit ], 1[ fié. Au voisinge de, f est identiquement nulle donc n N, f (n (. Soit n N. ], 1[, f (n ( donc f (n est nulle sur ], 1[. Pr continuité de f (n en (à droite, f (n (. f (n ( Donc ] R, R[, f( n. Conclusion : f est l fonction nulle sur l intervlle ] R, R[. Prtie : contre-eemples 7. On définit l fonction f sur R pr f( Pr les théorèmes généru, f est de clsse C sur R. f est développble en série entière sur ] 1, 1[ et ] 1, 1[, f( ( 1 n n. En revnche, cette série n est ps définie pour 1 (terme générl qui ne tend ps vers donc f ne coïncide ps vec s série de Tylor en sur R tout entier. 8. ( (b Dns cette question, nous identifions les polynômes à coefficients réelles et les fonctions polynomiles ssociées. Démontrons pr récurrence sur n N le prédict P (n : P n R[X] >, f (n ( P n( 3n e 1/. Initilistion : Posons P 1 qui est bien un polynôme... >, P ( 3 e 1/ e 1/ f(. Donc P ( est vri. Soit n N. Supposons P (n 1 vri. Alors, il eiste et on le fie un polynôme P n 1 R[X] tel que >, f (n 1 ( P n 1 ( 3n+3 e. 3
4 Pr dérivtion de l églité précédente, on >, f (n ( P n 1( 3n+3 e 1/ + P n 1 (( 3n + 3 3n+ e 1/ + P n 1 ( 3n+3 ( 3 e 1/ 1 3n e 1/ ( 3 P n 1( + ( 3n + P n 1 ( + P n 1 (. Posons P n X 3 P n 1 + ( 3n + X P n 1 + P n 1. Pr stbilité de R[X] pr l dérivtion, le produit, l somme... P n est un polynôme de R[X] et il vérifie >, f (n ( P n ( 1 3n e 1/. P (n est donc vri. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N ce qui démontre le résultt. (c Montrons pr récurrence sur n le prédict P (n : f est de clsse C n sur [, +[ et f (n. Initilistion : 1 f est continue sur ], +[. De plus, lim et lim + t eu donc pr composition des limites, lim +f( f(. Donc f est continue à droite en. f est donc continue sur [, +[ ce qui démontre P (. Soit n N. Supposons P (n 1 vri. Alors f (n 1 est bien définie et continue sur [, +[. De plus, f est de clsse C sur ], +[ donc f (n 1 est de clsse C 1 sur ], +[. D près l question précédente, >, (f (n 1 ( f (n ( P n( 3n e 1/. Pr les théorèmes de comprison des fonctions usuelles, u voisinge de +, u 3n e u o(1. Or lim +(1/ + donc pr substitution, u voisinge de 1 +, e 1/ o(1. 3n P n est une fonction polynomile donc continue en donc bornée u voisinge de. P n ( Ainsi, pr théorème d opértions, lim + 3n e 1/ donc lim +(f (n 1 (. En résumé, f (n 1 est continue sur [, +[, de clsse C 1 sur ], +[ et lim +(f (n 1 (. Pr théorème de prolongement de l clsse C 1, f (n 1 est de clsse C 1 sur [, +[ et (f (n 1 ( lim (f (n 1 (. + Pr définition, f est donc de clsse C n sur [, +[ et f (n ( (f (n 1 ( ce qui démontre P (n. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N. f est donc de clsse C sur [, +[ et n N, f (n (. (d Supposons qu il eiste r > tel que l fonction f soit développble en série entière sur ] r, r[. f (n ( D près le théorème rppelé et l question précédente, ] r, r[, f( n. En prticulier, r/ ] r, r[ et r/ donc e 4/r : bsurde. Conclusion f n est ps développble en série entière sur ucun intervlle de l forme ] r, r[ vec r >. 9. ( Soit R. t, 1 + t 1 donc t est bien définie et continue d près les théorèmes généru sur [, +[. 1 + t e t Au voisinge de +, 1 + t O(. t e t est de signe constnt et intégrble u voisinge de + donc t 1 + t est intégrble sur [, +[. f est donc bien définie sur R. Fions un réel strictement positif. Posons l fonction g définie sur [, +[ [, ] pr g(t, 1 + t. Soit t fié. g(t, est dérivble sur [, ] et [, ], g t (, t (1 + t. De plus, [, ], g (, t t. L fonction t te t est positive et intégrble sur [, +[ en prticulier cr u voisinge de +, te t o(1/t. Pour tout [, ], les fonctions t g(, t et t g (, t sont intégrbles sur [, +[. Pr théorème, l fonction + pour tout >. Donc f est de clsse C 1 sur R. g(, t dt f( est de clsse C 1 sur [, ] donc f est de clsse C 1 sur [, ] et ceci 4
5 (b Soit t > fié. Posons α 1 t qui est un réel strictement positif. Soit ] α, α[. Alors t [, 1[. e t Donc 1 + t (t p t p (p!e t p. (p! Notons h l fonction définie sur R pr h( 1 + t. D près ce qui précède, h est développble en série entière sur l intervlle ] α, α[ donc pr le théorème rppelé, p N, f (p ( (p!t p e t et f (p+1 (. (c D près l question précédente et le résultt dmis à l fin de l question 9(, p N, f (p+1 ( + + dt et f (p ( (p!e t t p dt (p!γ(p + 1 (p!p!. f (n ( Ainsi, on peut réécrire insi (formellement l série entière n : f (n ( n (p!p! + p p! p. (p! Soit un réel non nul fié. Posons u p p! p, terme générl d une suite de réels tous non nuls. Pour tout p N, u p+1 p qui tend vers + qund p tend vers. u p Donc u p n est ps le terme générl d une série bsolument convergente. f (n ( Pr crctéristion du ryon de convergence d une série entière, celui de l série entière n est donc nul. Supposons qu il eiste r > tel que f soit développble en série entière sur ] r, r[. f (n ( Alors, pr le théorème rppelé, ] r, r[, f( n et, pr crctéristion du ryon de convergence, celui de f (n ( l série entière n est donc supérieur ou égl à r. Donc r : bsurde. Donc f n est ps développble en série entière u voisinge de. Prtie 3 : condition suffisnte 1. ( Fions un réel ], [. Soit n N. f est de clsse C n+1 sur l intervlle ], [. (, ], [. f (n+1 M. n Pr l inéglité de Tylor Lgrnge, on obtient lors f( f (k ( k n+1 M M n+1 (n + 1! (n + 1!. ( ( n+1 n f (k ( Pr comprison des suites usuelles, donc pr théorème d encdrement, k (n + 1! n N f (k ( que l on peut réécrire k f(. f est donc développble en série entière sur ], [ donc u voisinge de. f(ce (b (n, N R, sin (n ( 1 donc sin est développble en série entière u voisinge de (sur R... pr l question précédente. 5
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailSynthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détail3- Les taux d'intérêt
3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailFonctions holomorphes
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détail