VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

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1 VRILES LETOIRES DISCRETES EXERCICE 1 : Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est définie n 0,1,2 p X n 1 Vérifier que ceci définit bien une loi de probabilité et par : 2 calculer l espérance de X. 2 n EXERCICE 2 : Soient un réel et n un entier naturel non nul. Soit la variable aléatoire X prenant ses valeurs dans l ensemble puis calculer E X 1 et. E X 0,1,...,n telle que pour tout k 0,1,..., n P X k n k k 1.Déterminer EXERCICE 3 : On effectue des tirages dans une urne contenant 1 boule blanche et 1 noire dans les conditions suivantes : si on tire une noire on arrête; si on tire une blanche, on la remet dans l urne avec une autre boule blanche 1) Soit la variable aléatoire X qui prend pour valeur le rang d obtention de la boule noire ; p X k = 1 en déterminer la loi de probabilité de X (on vérifiera que * remarquant que: n n n 1 n n 1 2) X admet-elle une espérance? ) kx EXERCICE 4 : 1) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 0.Calculer 1 E X 1. 2) Même question si X suit une loi binomiale de paramètres n et p n *, p 0,1. EXERCICE 5 : Un sauteur en hauteur tente de franchir successivement des hauteurs numérotées 1,2,, n,. On suppose les sauts indépendants les uns des autres et on suppose aussi que la probabilité de 1 * franchir la hauteur n est n.les hauteurs doivent être franchies les unes après les n autres dans l ordre et le sauteur s arrête quand il n a pu franchir une hauteur. Soit X le numéro du dernier saut réussi. 1) Déterminer la loi de X. 1 E X. 2) Calculer E X et en déduire 2 E X 1 et en déduire 3) Calculer V X.

2 EXERCICE 6 : Un gardien de nuit doit ouvrir l une des portes à contrôler pendant sa tournée, dans le noir. Il possède un trousseau de 10 clés d allures semblables, mais une seule peut ouvrir la porte en question. L essai des clés se fait au hasard. Le gardien dispose de deux méthodes. Méthode rationnelle, dite méthode qui consiste à essayer chaque clé, l une après l autre, en prenant garde de ne pas réutiliser la même clé. Méthode désordonnée, dite méthode, qui consiste à essayer une clé après avoir agité le trousseau ; chaque fois que le gardien essaye une clé, celle ci peut avoir ou non déjà été essayé. 1) On appelle X la variable aléatoire qui désigne le nombre de clés essayées (y compris celle qui donne satisfaction) par la méthode.déterminer la loi de probabilité de E X, V X X, 2) On appelle X la variable aléatoire analogue que l on obtient par la méthode. Déterminer la loi de probabilité de E X, V X X, EXERCICE 7: Soient n n 2 individus qui jettent une pièce honnête.une personne gagne une partie si elle obtient le contraire de toutes les autres. 1) Quelle est la probabilité qu une partie comporte un gagnant? On note X le nombre de parties nécessaires à l obtention d un gagnant E X, V X 2) Trouver la loi de X, EXERCICE 8 : Une boîte contient 60 boules blanches et 40 noires. On effectue dans cette boîte des tirages successifs d une boule avec remise. 1) On désigne par X le nombre de tirages qu il faut effectuer pour obtenir la première boule blanche Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. 2) On note Y le nombre de tirages qu il faut effectuer dans cette boîte pour obtenir 2 boules blanches Déterminer la loi de Y.Calculer son espérance. EXERCICE 9 : Dans une urne il y a k boules blanches et n k boules noires avec 1 k n 1.On les tire une à une sans remise. X désigne le rang de la dernière boule blanche tirée. Déterminer la loi E X. de X, en déduire On pourra utiliser le travail préliminaire de la fiche précédente : soient deux entiers N j N 1 n et N tels que1n N, montrer par récurrence sur N que jn n n1 EXERCICE 10 : Dans un stand de tir, un joueur dispose de n fléchettes (n entier supérieur ou égal à 2) pour tenter de faire éclater un ballon. chaque essai, la probabilité de succès vaut p0 p 1, et donc la probabilité de l échec vaut q (avec q1 p). On suppose que les différents essais sont indépendants les uns des autres et que le joueur s arrête dès que le ballon éclate (s il éclate!). Soit X le nombre aléatoire de fléchettes utilisées par le joueur. 1) Quelles sont les valeurs prises par X? P X k k 1,..., n 1 P X n ) 2) Déterminer la loi de X (on déterminera pour puis 3) Démontrer que son espérance E(X) vaut 1 n q. 1 q

3 EXERCICE 11: Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p 0,1 Y X On considère la variable aléatoire Y définie par : X Y si X p. 0 si est impair est pair 2 Déterminer la loi de Y, son espérance. EXERCICE 12: (EDHEC 1998) On réalise une suite de lancers d'une pièce équilibrée, chaque lancer amenant donc pile ou face avec la probabilité 1/2. On note P k (resp F k ) l'événement : «on obtient pile (resp face) au k-ième lancer». On note X la variable aléatoire qui prend la valeur k si l'on obtient pour la première fois pile puis face dans cet ordre aux lancers k - 1 et k (k désignant un entier supérieur ou égal à 2), X prenant la valeur 0 si l'on n obtient jamais une telle succession. 1) Calculer P(X = 2). 2) a) En remarquant que (X = 3) = P 1 P 2 F 3 F 1 P 2 F 3, calculer P(X = 3). b) Sur le modèle de la question précédente, écrire, pour tout entier k supérieur ou égal a 3, l'événement (X = k) comme réunion de (k 1) événements incompatibles. c) Déterminer P(X = k) pour tout entier k supérieur ou égal à 2. d) Calculer P(X = 0). 3) Montrer que X a une espérance E(X), puis la calculer. EXERCICE 13 : Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n n, n 2. On effectue deux tirages successifs d une boule dans l urne, soit X le plus grand des numéros obtenus et Y le plus petit. Déterminer la loi de X et la loi de Y en supposant que : 1) le tirage a lieu sans remise 2) le tirage a lieu avec remise (On commencera par déterminer dans ce dernier cas, pour k 1,2,..., n p X k p Y k ) tout entier, et EXERCICE 14 : Soit, TP, un espace probabilisé et soit X : vérifiant X 1) Montrer que, pour tout une variable aléatoire réelle * n n1 n, k P X k P X k n P X n k0 k0 2) On suppose que la variable aléatoire X admet une espérance notée E X np X n kp X k Montrer que, pour tout n, 0 kn1 général P X n converge et que E X P X n n0 3) On suppose que la série de terme général P X n Montrer que la série de terme général kp X k espérance 4) Enoncer le théorème qui vient d être établi converge.en déduire que la série de terme converge et que la variable aléatoire X admet une

4 pplication : * Une urne contient des boules numérotées de 1 à n n On tire les boules de l urne une à une et avec remise. On s arrête lorsque pour la première fois le numéro est supérieur ou égal aux numéros tirés précédemment Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués 1) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X 2) Pour tout entier j 2, n entier j 3) Déterminer la loi de X 4) Déterminer l espérance de X, déterminer P X j EXERCICE 15 : ORL HEC 2011 (Question sans préparation). Vérifier que le résultat est valable pour tout EXERCICE 16 : ORL HEC 2012 (Question sans préparation) EXERCICE 17 : ORL HEC 2009

5 EXERCICE 19 : INSPIRE D ESCP 2005 Travail préliminaire Exercice