Définition Soient a et b deux nombres réels. On appelle fonction affine, toute fonction f définie sur R par : Exemples.

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1 Fonctions affines Élie Arama cbea Epression algébrique 25 novembre 207 Epression algébrique 2 Représentation graphique Définition Soient a et b deu nombres réels. On appelle fonction affine, toute fonction f définie sur R par : f () = a + b Variations et signe Eemples f () = 2 + f 2 () = 4 f () = 5 + f 4 () = 0, + 0,8

2 Remarque Attention, puisque a, b R, il se peut que a = 0 ou b = 0. Si a = 0, alors f () = b : f est dite constante. Si b = 0, alors f () = a : f est dite linéaire. Les fonctions constantes et linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines. Eemples f () = 0 est une fonction constante ; 2 Représentation graphique g() = est une fonction linéaire. Plus généralement, f et g sont toutes les deu affines. Application Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont celles de fonctions affines? f () = 2 + Affine : a = 2 et b = ; f 2 () = Affine : a = et b = ; f () = Pas affine à cause du 2 ; f 4 () = Affine : a = et b = 0 ; f 5 () = 9 6 Affine : a = et b = 2 ; f 6 () = + Pas affine à cause du ; f 7 () = 0 Affine : a = 0 et b = 0 ; f 8 () = 2 + Pas affine à cause de. Toute fonction affine a pour représentation graphique une droite. Remarque Lorsque f est la fonction affine définie sur R par f () = a + b, sa représentation graphique dans un repère du plan est la droite d équation y = a + b. Définitions Le réel a est appelé le coefficient directeur de la droite : ce paramètre définit la pente de la droite. Le nombre réel b est appelé l ordonnée à l origine : ce paramètre donne l ordonnée du point d intersection de la droite avec l ae des ordonnées.

3 Remarques La représentation graphique d une fonction constante est une droite parallèle à l ae des abscisses. La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine du repère. Toute droite du plan non parallèle à l ae des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. Remarques Une droite parallèle à l ae des abscisses est la représentation graphique d une fonction constante. Une droite passant par l origine du repère est la représentation graphique d une fonction linéaire. Une droite parallèle à l ae des ordonnées ne peut pas être la représentation graphique d une fonction numérique. Eemples Soient f, g et h trois fonctions affines définies sur R par : f () = 2 + g() = h() = 0,5 On peut tracer leurs représentations graphiques, C g et C h de la manière suivante. C g C h 2 (0 ; ) (4 ; ) (4 ; 2) (0 ; ) 0,5 (0 ; 0) 0 ( ; ) Eemples Soient d, d 2 et d, trois droites dans un repère du plan. D après le théorème précédent, on peut affirmer que d, d 2 et d sont les représentations graphiques respectives de trois fonctions affines f, f 2 et f définies sur R. f () = 2 f 2 () = + d 2 5 d 4 y = 4 f () = d 2 2 y = 2 y = +

4 Remarque Dans les eemples précédents, lorsque la fonction affine n était pas constante, on a lu directement son coefficient directeur sur le graphique. Cependant, il est également possible de le calculer ce coefficient directeur à partir des coordonnées de deu points appartenant à la droite. En effet, si P ( ; y ) et P 2 ( 2 ; y 2 ) sont deu points dans un repère du plan tels que = 2 et appartenant à une même droite D d équation y = a + b, alors son coefficient directeur a est donné par la formule : Variations et signe a = y y 2 2 Eemple Soit f la fonction affine définie par sa représentation graphique. Les points ( ; 0) et (2 ; ) appartiennent à. Le coefficient directeur de f est donc égal à : a = 0 2 ( ; 0) / 0 (2 ; ) / Soit f une fonction affine définie sur R par f () = a + b. On suppose que f n est pas constante, c est-à-dire que a = 0. Si a > 0, alors f est strictement croissante sur R. Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur R. a > 0 a < 0 a = Graphiquement, on retrouve a =! Par ailleurs, on peut lire graphiquement que l ordonnée à l origine de f est aussi égale à (simple coïncidence). On a donc : f () = +.

5 Application Déterminer le sens de variation des fonctions affines suivantes. f () = + décroissante : a = < 0 ; g() = 4 croissante : a = > 0 ; 2 2 h() = 8 décroissante : a = < 0 ; i() = croissante : a = > 0 ; 6 6 j() = + croissante : a = > 0 ; k() = 0 2 décroissante : a = 2 < 0 ; Application Soit f et g deu fonctions affines définies sur R par : f () = 7 et g() = 2 4 Dresser le tableau de signe des fonctions f et g sur R. Signe de f a = > 0 et b = 7, donc f s annule en b a = 7. Voici le tableau de signe de f. f () Signe de g a = 2 < 0 et b = 4, donc g s annule en b a = 2. Voici le tableau de signe de g. g() Soit f une fonction affine définie sur R par f () = a + b. On suppose que f n est pas constante, c est-à-dire que a = 0. Le signe de f est donné par l un des tableau suivants. Liens et références a > 0 a < 0 f () b a f () b a Fonctions de référence - 2de (Yvan Monka) ; 2nde - Droites - Cours (PolyMatheu) ; Maths collection Indice (Bordas, édition 207) : pages 88, 89, 262 et 26. b a + + b a