Espaces vectoriels de dimension finie

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1 Espaces vectoriels de dimension finie Familles infinies de vecteurs Jusqu à présent, on n a considéré que des familles finies de vecteurs : CL d une famille finie de vecteurs, famille finie libre, famille finie génératrice, base de cardinal fini. En fait, certains espaces vectoriels sont trop grands pour être décrits par une famille finie. Par exemple l ensemble des polynômes K[X] : intuitivement, la famille infinie (1, X, X 2, X 3,...) semble être génératrice, puisque tout polynôme peut s écrire à l aide d une somme finie de tels monômes. Les définitions vues dans le précédent chapitre peuvent donc être généralisées : Soit E un espace vectoriel. Soit F = ( x i ) i I une famille infinie de vecteurs de E, et soit x E. On dit que x est une combinaison linéaire de vecteurs de F, si il existe une famille finie J I d indices, et (λ j ) j J des réels tels que x = j Jλ j x j. Autrement dit, si x est une combinaison linéaire d un nombre fini de vecteurs de F. On appelle sous-espace vectoriel engendré par F, et on note Vect(F), l ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de F. Comme dans le précédent chapitre, on vérifie immédiatement que Vect(F) est bien un sous-espace vectoriel de E. C est même le plus petit sous-espace vectoriel contenant F. famille infinie génératrice Soit F = ( x i ) i I une famille infinie de vecteurs de E. On dit que cette famille est génératrice de E, si E =Vect(F). Autrement dit, si pour tout vecteur x E, x s écrit comme une combinaison linéaire finie de vecteurs de F. famille infinie libre Soit F = ( x i ) i I une famille infinie de vecteurs de E. On dit que cette famille est libre si pour tout ensemble fini d indices J I, la famille finie de vecteurs ( x j ) j J est libre. base infinie Une famille infinie de vecteurs de E est une base de E, si elle est libre et génératrice de E. Exemples : 1. La famille infinie (1, X, X 2,...) est une base de K[X], appelée base canonique. En effet elle est génératrice, car tout polynôme s écrit comme une combinaison linéaire finie de ces vecteurs. De plus, elle est libre car : soit i 1 < i 2 <... < i p des entiers, et λ i1,...,λ ip des réels, tels que λ i1 X i 1 + λ i2 X i λ ip X ip = 0. Alors par unicité de l écriture du polynôme nul, on obtient λ i1 = 0 =.. = λ i p. Les coordonnées d un polynôme dans cette base sont ses coefficients. 2. Soit E l espace des suites réelles (u n ) n N. On introduit la famille infinie v 0 = (1, 0, 0,...) ; v 1 = (0, 1, 0,...), v 2 = (0, 0, 1, 0,...)... Alors on peut facilement montrer que cette famille est libre. En revanche, elle n est pas génératrice, car si l on prend une combinaison linéaire finie de tels vecteurs, on obtient nécessairement une suite nulle à partir d un certain rang. Donc cette famille ne permet pas (à l aide de CL finies) de décrire toute suite réelle. infinies. toutes les propriétés vues sur les familles libres et liées, restent vraies dans le cas des familles 1

2 1 Espaces vectoriels de dimension finie 1.1 Dimension d un ev Soit E un espace vectoriel. On dit qu il est de dimension finie, si il admet une famille génératrice finie. Dans le cas contraire, on dit qu il est de dimension infinie. Exemples : La plupart des espaces vectoriels que l on a manipulés dans le premier chapitre sont de dimension finie, car on avait pu exhiber des bases de cardinal fini donc des familles génératrices finies :K n, K n [X], M n (K)... En revanche,k[x] n est pas de dimension finie, ni l ensemble des suites K N, ni l ensemble des fonctions réelles d une variable réelle... Exemple : soit E un ev de dimension finie, F un ev quelconque et f : E F une application linéaire. Alors Im(f) est un espace vectoriel de dimension finie. En effet, si E =Vect(u 1,..., u n ) alors Im(f) =Vect(f(u 1 ),..., f(u n )) famille génératrice finie! Théorème Existence de bases en dimension finie Soit E un ev non-nul de dimension finie. Alors, E admet une base de cardinal fini. Soit F = { u 1,..., u p } une famille génératrice finie de E. Si F est libre, c est une base, et le résultat est démontré. Si par contre F est liée, alors d après le premier chapitre, on sait qu un des vecteurs de F peut s écrire comme combinaison linéaire des autres. On peut supposer sans perte de généralité que c est u p. On obtient ainsi une nouvelle famille F 1 = { u 1,..., u p 1 } F qui reste génératrice (propriété sur les familles génératrices vue dans le premier chapitre). Si F 1 est libre c est fini, sinon on peut réitérer le raisonnement précédent... Cette itération prend nécessairement fin, car dans le cas extrême où l on arrive à une famille réduite à un seul vecteur {u 1 } : comme E est non-nul et que u 1 engendre E, nécessairement u 1 0 donc (u 1 ) forme une famille libre. On en déduit le résultat suivant : Corollaire Soit E un ev de dimension finie. De toute famille génératrice finie, on peut en extraire une base. Théorème admis Soit E un ev de dimension finie, L une famille libre de E, et G une famille génératrice finie de E. Alors L est une famille finie, et Card(L) Card(G). Corollaire Soit E un ev de dimension finie. Alors toutes ses bases sont finies et ont même cardinal. E étant de dimension finie, E admet une base finie B 1. Soit B 2 une autre base de E. Comme B 2 est libre, et que B 1 est génératrice finie, d après le résultat précédent, on en déduit que B 2 est également finie et Card(B 2 ) Card(B 1 ).En échangeant les rôles, on obtient l égalité. Dimension Soit E un espace vectoriel non-nul de dimension finie. On appelle dimension de E, et l on note dim(e), le nombre de vecteurs de toute base de E. Par convention, si E = { 0}, on note dim(e)=0. Exemples fondamentaux : dim(k n )=n ; dim(k n [X]) = n + 1 ; dim(m n,p (K)) = n p C est un R ev de dimension 2, mais est un C ev de dimension 1. Théorème de la base incomplète Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors toute famille libre peut être complétée en une base de E. 2

3 Soit L = { u 1,..., u p } une famille libre de E. E étant de dimension finie, soit G = { v 1,..., v n } une famille génératrice finie de E. Si L est génératrice, c est fini. Sinon, il existe un vecteur v i G, tel que v i / V ect( u 1,..., u p ). Montrons alors que la famille L 1 = { u 1,..., u p, v i } est libre : soit des scalaires λ 1,..., λ p, λ p+1 tels que λ 1 u λ p u p + λ p+1 v i = 0 (*). Si λ p+1 0, alors on peut écrire v i = 1 λ p+1 (λ 1 u λ p u p ) V ect( u 1,..., u p ), ce qui ne peut pas. D où λ p+1 = 0, et (*) devient : λ 1 u λ p u p = 0, ce qui donne λ 1 =... = λ p = 0 car la famille L est libre. On a ainsi réussi à construire une famille L 1 libre telle que L L 1. Si on réitère le processus, on peut donc construire une succession de familles libres L L 1 L 2... à l aide de vecteurs de la famille génératrice G. Comme la famille génératrice est finie, le processus est forcément fini, et l on a pu obtenir une famille libre L k contenant L qui est génératrice. On a même démontré que toute famille libre pouvait être complétée en une base en choisissant les vecteurs dans une famille génératrice arbitraire choisie à l avance. Exemple : Soit u = (1, 1, 1) et v = (1, 2, 3). Vérifier que (u, v) forme une famille libre, puis la compléter en une base de R Caractérisation des bases en dimension finie Les résultats de la section précédente, permettent d obtenir le théorème suivant : Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension n. Alors Toute famille ayant strictement plus de n vecteurs est liée. Toute famille ayant strictement moins de n vecteurs ne peut être génératrice. 1. vient de une famille libre a nécessairement moins de vecteurs qu une famille génératrice. 2. vient de d une famille génératrice, on peut en extraire une base. Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension n. Alors : Toute famille génératrice de cardinal n est une base. Toute famille libre de cardinal n est une base. Soit G une famille génératrice de cardinal n. On sait qu on peut en extraire une base. Mais cette base doit avoir n éléments, puisque la dimension de E est n : il s agit donc de G elle-même. Soit L une famille libre de cardinal n. D après le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base, mais qui doit être de cardinal n. Donc L est une base. 1.3 Dimension et isomorphisme Théorème 1 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie tels qu il existe f : E F un isomorphisme. Alors E et F ont même dimension : dim(e) = dim(f ). Soit ( e 1,..., e n ) une base de E. Alors comme f est un isomorphisme, on sait d après le précédent chapitre que la famille (f( e 1 ),..., f( e n )) est une base de F. D où dim(e) = n = dim(f ). : on n a pas utilisé dans la preuve que F était de dimension finie... En fait, il suffit que E ou F soit de dimension finie. En effet, si on sait juste que F est de dimension finie, il suffit d appliquer la preuve précédente à f 1 : on obtient E est de dimension finie et dim(e) = dim(f ). 3

4 par contraposée, on obtient que si E et F sont de dimension différente, aucune application linéaire de E dans F ne pourra être bijective... Théorème 2 Soit E un K-espace vectoriel. Alors E est de dimension n ssi il est isomorphe à K n. Autrement dit, E est de dimension n ssi il existe un isomorphisme ϕ : E K n. Soit E de dimension n, et soit ( e 1,..., e n ) une base de E. Alors tout vecteur x E se décompose de manière unique sur cette base : x = x 1 e x n e n. Considérons ϕ : E K n qui à x associe (x 1,..., x n ), ses coordonnées dans la base. Il reste à vérifier que ϕ est un isomorphisme. Réciproquement, si il existe un isomorphisme ϕ : E K n, alors d après le théorème 1 : dim(e) = dim(k n ) = n. ce théorème permet d obtenir la réciproque du théorème 1 précédent : si E et F sont de même dimension, alors il existe un isomorphisme f : E F. En effet, avec n = dim(e) = dim(f ), le théorème 2 assure l existence de deux isomorphismes ϕ : E K n et ψ : F K n. Alors ψ 1 ϕ : E F est un isomorphisme donc convient. 2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et F un sev non nul de E (en particulier : F E). Alors F est de dimension finie et dim(f ) dim(e). Et de plus, F = E dim(f ) = dim(e) Prendre e 1 F non nul. Alors ( e 1 ) est libre dans F, et si on fait comme dans la preuve du th de la base incomplète, on peut compléter cette famille libre par itération, jusqu à obtenir une famille génératrice de F. Le processus est nécessairement fini, puisque E étant de dimension n, toute famille libre a au plus n vecteurs (et une famille libre de F, est libre dans E!). Dans le cas extrême où on obtient une famille libre de F de cardinal n, comme elle est de bon cardinal, elle est génératrice de E donc de F, et on obtient F = E. 1. Attention : on peut avoir deux sevs F et G tels que dim(f ) dim(g) sans avoir pour autant F G. par exemple dans R 3, F = V ect((0, 0, 1)) et G = V ect((1, 0, 0), (0, 1, 0)) (et de même pour l égalité) 2. Ce théorème donne une autre méthode pour montrer que F = G, avec F, G sev : il suffit de montrer l une des deux inclusions (F G ou G F ) et de vérifier que dim(f )=dim(g). Exemple : Soit G = V ect((x 3) 2, X + 2, 5). Montrer via 2 méthodes que G = R 2 [X] Vocabulaire : Soit E un espace vectoriel de dimension n. On appelle droite vectorielle (resp. plan vectoriel) tout sous-espace vectoriel de dimension 1 (resp. 2). Un hyperplan est un sous-espace vectoriel de dimension n 1. 3 Rang 3.1 Rang d une famille finie de vecteurs Soit E un K ev de dimension finie, et F = ( u 1,..., u p ) une famille finie de vecteurs de E. On appelle rang de cette famille et on note rg(f) la dimension de V ect( u 1,..., u p ). Avec les notations ci-dessus : la famille F = ( u 1,..., u p ) est libre ssi rg(f) = p et génératrice de E ssi rg(f) = dim(e). 4

5 preuve : Notons F = V ect( u 1,..., u p ), alors rg(f) = dim(f ). 1. Si la famille ( u 1,..., u p ) est libre, comme elle est génératrice de F, c est une base de F donc son cardinal p est la dimension de F : p = rg(f). Réciproquement, si p = rg(f), alors p = dim(f ) donc la famille ( u 1,..., u p ) est génératrice de F et de bon cardinal, donc est une base de F donc est libre. 2. Si la famille est génératrice de E, alors F = E d où dim(f ) = dim(e) et rg(f) = dim(e). Si rg(f) = dim(e) alors dim(f ) = dim(e) et comme de plus, on sait F E on obtient F = E donc E = V ect( u 1,..., u p ) et la famille ( u 1,..., u p ) est génératrice de E. Règles de calcul : (identiques aux règles sur Vect!) on ne modifie pas le rang d une famille en enlevant le vecteur nul, en multipliant un vecteur par un scalaire non nul, et en ajoutant à un vecteur toute combinaison linéaire de vecteurs de la famille. Exemple : déterminer le rang de ((1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)) puis le rang de (X + 1, X + 2, X + 3, X + 4). 3.2 Rang d une application linéaire Rappel : image d une application linéaire en dimension finie Proposition Soit E un K espace vectoriel admettant une base finie ( e 1,..., e n ). Alors Im(f) = V ect(f( e 1 ),..., f( e n )). Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F un ev quelconque et f L (E, F ). On appelle rang de f, et on note rg(f) la dimension de Im(f) : rg(f) = dim(im(f)) Soit E et F des ev de dimension finie et f L (E, F ). Alors rg(f) min(dim(e),dim(f )). En effet, Si ( e 1,..., e n ) est une base de E, Im f = V ect(f( e 1 ),..., f( e n )) est de dimension inférieure à n = dim(e). Et par ailleurs, Imf est un sev de F, donc de dimension inférieure à celle de F. Théorème du rang Soit E un K ev de dimension finie et f L (E, F ). Alors dim(ker(f)) + rg(f) = dim(e). : théorème fondamental, qui a beaucoup d applications!! Posons p = dim(kerf) et n = dim(e). Le but est de montrer que dim(imf) = n p. Comme Ker(f) est un ev de dimension finie, il admet une base : notons ( e 1,..., e p ) une base de Kerf. Théorème de la base incomplète : comme Kerf E, on peut compléter la famille libre ( e 1,..., e p ) en une base ( e 1,..., e p, e p+1,..., e n ) de E. Montrons alors que la famille (f( e p+1 ),..., f( e n )) est une base de l image de f. Etape 1 : montrons que la famille (f( e p+1 ),..., f( e n )) est génératrice de Im(f). Soit y Im(f). Alors il existe x E tel que f( x) = y. Comme x E, x s écrit x = x 1 e x n e n (car ( e 1,..., e n ) base de E). Alors par linéarité, f( x) = f(x 1 e x n e n ) = x 1 f( e 1 ) x n f( e n ) = x p+1 f( e p+1 ) x n f( e n ) puisque e 1,.., e p Ker(f) donc f( e 1 ) =... = f( e p ) = 0. Donc la famille (f( e p+1 ),..., f( e n )) est génératrice de Im(f). Etape 2 : montrons qu elle est libre : soit λ p+1,..λ n des scalaires tels que λ p+1 f( e p+1 ) λ n f( e n ) = 0. Alors par linéarité de f, f(λ p+1 e p λ n e n ) = 0. Donc λ p+1 e p λ n e n Ker(f) donc il existe des scalaires µ 1,..., µ p tels que λ p+1 e p λ n e n = µ 1 e µ p e p (puisque (e 1,...e p ) base de Ker(f). 5

6 Ce qui se réécrit µ 1 e µ p e p λ p+1 e p λ n e n = 0. On conclut en utilisant que ( e 1,..., e n ) est une base de E donc une famille libre, d où µ 1 =... = µ p = λ p+1 =... = λ n = 0. Ccl : la famille (f( e p+1 ),..., f( e n )) est une base de l image de f donc dim(imf) = n (p + 1) + 1 = n p. 3.3 Caractérisation des isomorphismes Cette section est une première application du théorème du rang. Théorème Injection, surjection, rang Soit E et F deux ev de dimension finie et f L (E, F ). Alors 1. f est injective ssi rg(f)=dim(e) 2. f est surjective ssi rg(f) = dim(f ) 1. f est injective ssi Ker(f) = {0} ssi dim(kerf)=0 ssi rg(f) = dim(e) d après le théorème du rang. 2. Il suffit de se rappeler que rg(f) = dim(im(f)), et que Im(f) F. Alors Im(f) = F ssi ils ont même dimension càd f est surjective ssi rg(f) = dim(f ). Théorème fondamental Soit E et F deux espaces vectoriels de même dimension finie et f L (E, F ). Alors f est un isomorphisme ssi f est injective ssi f est surjective. En particulier : si E est de dimension finie, un endomorphisme de E est bijectif ssi il est injectif ssi il est surjectif. C est le théorème du rang et le résultat précédent! 6