( ) 2 ( ) ( ) Chapitre 4 «Equations, inéquations» I) Résolutions graphiques. 1) Equations f (x) = b. Pour résoudre graphiquement l éq

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1 Seconde Chapitre 4 «Equations, inéquations» Page 1 sur 8 I) Résolutions graphiques 1) Equations f (x) = b Pour résoudre graphiquement l éq déterminer les éventuels antécédents de b. Les solutions de l équation sont tous les antécédents de b. On note alors S= { a, a,...} 1 2 Si b n a pas d antécédents, l équation n admet pas de solutions. On note alors S=. quation ( ) f x = b, il suffit de ( ) 2 Exemple : Résoudre l équation f x = 2) Equations f(x) = g(x) On a tracé, dans le même repère, les représentations graphiques de deux fonctions f et g. Résoudre l équation f ( x) = g ( x) points d intersection des deux courbes. ) revient à déterminer les abscisses des ( ) ( ) Exemple : Résoudre l équation f x = g x

2 3) Inéquations f(x) b Pour résoudre graphiquement l inéquation f ( x) b (ou ( ) de tracer la droite d d équation y points de la courbe f x > b ), il suffit = b. Les solutions sont les abscisses de tous C f situés (strictement) au-dessus de la droite. Les solutions sont données sous la forme d un intervalle ou d une réunion d intervalles. Pour résoudre les inéquations ( ) ou ( ) f x b f x < b on regarde cette fois les points sous la droite. Exemple : Résoudre l inéquation f ( x) 2 4) Inéquations f(x) g(x) Pour résoudre graphiquement l inéquation f ( x) g ( x) (ou f ( x) g ( x) faut déterminer toutes les abscisses des points de (strictement) au-dessus de C g. C f qui sont situés > ) il Pour résoudre graphiquement l inéquation f ( x) g ( x) (ou f ( x) g ( x) déterminer cette fois les points en dessous. < ) on Exemple : Résoudre l inéquation f ( x) < g ( x)

3 5) Signe d une fonction Méthode : Pour déterminer le signe d une fo ( ) 0 onction il faut résoudre l équation ( ) 0 f x <. On présente le résultat sous la forme d un tableau de signe. f x = et l f x > et les inéquations ( ) 0 Exemple : Dresser le tableau de signes de la fonction : 6) Positions relatives de deux courbes Méthode : Pour décrire les positions relatives de deux courbes inéquations f ( x) g ( x) > et f ( x ) g ( x) C et C il faut résoudre l éq f g quation f ( x) g ( x) = et les <. On présente le résultat sous la forme d un tableau de signes. Exemple : Construire le tableau des positions relatives des courbes C et C. f g

4 II) Résolutions algébriques 1) Equations du premier degré (Il n y a pas de x 2, x 3 ) Un peu de culture Le mot "Algèbre" vient de l arabe "al djabr" qui signifie "la restauration" au sens de "la réunion de ce qui a été cassé". Ce mot était utilisé pour qualifier la science du rebouteux qui sait remettre en place les os brisés. Il est passé dans la langue espagnole où "algebrista" désigne encore le rebouteux. Il est apparu, la première fois, dans un livre intitulé "Ilm al djabr w al muqàbalah", écrit en 830 par un astronome arabe. Il s agit alors de résoudre une équation à l aide d un "rééquilibrage" entre les deux membres, comme pour une balance. Point méthode : On sépare les termes «en x» des termes constants en les changeant de côté s il le faut. Quand on change un terme de côté, on change son signe. Exemple : 3 = 6x + 7 6x = x = 10 4 x = x = = = La solution de l'équation est Attention, 4 n 'est pas un terme mais un facteur. 5 5 ou S= 2 2 Application : Résoudre les équations suivantes : ( ) ( ) 1 3x 4 = 2 3x + 2 = 3x 5

5 2) Inéquations du premier degré Point méthode : La méthode est pratiquement la même que pour les équations mais au moment de diviser ou multiplier chacun des membres par un même nombre, il faut faire attention au signe de ce nombre. S il est négatif, le sens de l inégalité est inversé! Exemple : 3 6x + 7 6x x 10 4 x Le nombre 4 x est négatif 4 5 x L'ensemble des solutions de l'équation est l'intervalle ; + ou ; + 2 S= 2 x 1 5 3x x Application Résoudre les inéquations suivantes : ( ) ( )

6 3) Equations du second degré a) Equation produit- nul Propriété : Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. Exemple : ( x )( x ) = 0 3 = 0 4 = 0 3x 12 = 0 ou ou impossible x = 2 x = 4 S = { 2 ;4} Application résoudre les équations suivantes : ( ) ( x )( x )( x ) ( ) ( x ) 2 ( x ) = = 0

7 b) Cas général On se ramène au cas où le second membre est nul puis on se ramène au produit nul en factorisant le premier membre. Application résoudre les équations suivantes : ( ) x 2 ( ) ( x )( x ) ( x ) 2 1 = = 0

8 4) Equations quotient Propriété : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Exemple : + 6 = 0 3x = 0 3x 12 = 0 et x = 3 x 4 { 3} S = Application : Résoudre les équations suivantes : x 2 ( 14 )( x 3) x + 1 4x ( 1) = 0 ( 2) = 0 ( 3) = 3 ( 5) = 4x + 1 x 7 1+ x x x + 1