Continuité-convexité

Transcription

1 Table des matières 1 Notion de continuité 2 2 Valeurs intermédiaires Exemples Théorème de la valeur intermédiaire Exemple et encadrement de la solution Dérivée seconde d une fonction 5 4 Convexité Définition et théorème Point d inflexion 7 1/8

2 1 Notion de continuité f est une fonction continue sur un intervalle I si sa courbe représentative est un trait continu (on peut effectuer le tracé sans lever le crayon). On donne ci-dessous les courbes représentatives C 1, C 2 et C 3 des fonctions f 1, f 2 et f 3 sur [ 3; 5]. La fonction f 1 est continue sur [ 3; 5]. La fonction f 2 est continue sur [ 3; 5] mais n est pas dérivable en x = 1. Rappel : Graphiquement, si f est dérivable sur I et a I, f (a) est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d abscisse a. La fonction f 3 est n est pas continue sur [ 3; 5]. f 3 est n est pas continue en x = 1. Exemple 1 : Exemples de fonctions continues et discontinues 1. Citer une fonction continue sur R 2. Citer une fonction qui n est pas continue sur R 1. La fonction f définie sur R par f(x) = x 2 est continue sur R 2. La fonction g définie par g(x) = x 1 pour x < 0 et g(x) = x + 2 pour x 0 n est pas continue en x = 0 On admettra que les fonction polynôme et rationnelles (quotient de deux polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition. Théorème : dérivabilité et continuité (admis) Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. 2/8

3 2 Valeurs intermédiaires 2.1 Exemples Exemple 2 : Conditions pour l unicité de la solution de f(x) = k On a représenté ci-dessous la courbe représentative de chacune des fonctions f, g, h et i définies sur I = [ 2; 4] : Quel est le nombre de solutions de l équation f(x) = 1? g(x) = 1? h(x) = 1? i(x) = 1? Pourquoi? En déduire les trois conditions suffisantes pour l existence et l unicité de la solution d une équation de la forme f(x) = 1 (avec f définie sur I intervalle de R) f(x) = 1 n admet aucune solution sur I. f n est pas continue sur I, il y a donc un saut en x = 1 et donc la courbe C f et la droite d équation y = 1 n ont aucun point d intersection. g(x) = 1 admet une solution unique sur I. g est continue sur I g( 2) = 3 et g(4) = 3 soit g( 2) < 1 < g(4) De plus g est strictement croissante sur I h(x) = 1 n admet aucune solution sur I. h est continue et strictement croissante sur I mais h(x) 0 sur I soit h(x) < 1. i(x) = 1 admet deux solutions sur I. i est continue sur I 3 i(x) 2 sur I i n est pas strictement monotone sur I donc il y a plusieurs solutions possibles à l équation i(x) = Théorème de la valeur intermédiaire Théorème de la valeur intermédiaire f est une fonction définie sur un intervalle I = [a; b] (a < b) de R Si f est continue et strictement monotone sur I alors f prend une seule fois toute valeur comprise entre f(a) et f(b) 3/8

4 Nombre de solutions de l équation f(x) = 0 dans le cas d une fonction strictement croissante sur un intervalle I : f est continue sur I f est strictement croissante sur I f(a) < 0 et f(b) > 0 (avec a I et b I et a < b) donc d après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation f(x) = 0 admet une solution unique α sur I avec a < α < b 2.3 Exemple et encadrement de la solution Exemple 3 : solution de l équation f(x) = 0 Soit f(x) = x 3 2x x 5 définie sur R. Montrer que l équation x 3 2x x 5 = 0 admet une solution unique α sur R et donner la valeur arrondie de α aux dixièmes. Méthode : Vérifier que f est continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur R Trouver (avec la calculatrice éventuellement) deux réels a et b de I tels que f(a) < 0 < f(b) Etude des variations de f f (x) = 3x 2 4x + 12 Racines de 3x 2 4x + 12 = 118 donc il n y a aucune racine et f (x) est donc du signe de a = 3 (coefficient de x 2 ) donc f (x) > 0 et f strictement croissante sur R f est une fonction polynôme donc est continue sur R et strictement croissante sur R f(0) = 5 et f(1) = 6 soit f(0) < 0 et f(1) > 0 donc d après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation f(x) = 0 admet une solution unique α sur R avec 0 < α < 1 Encadrement de la solution à la calculatrice Pour arrondir aux dixièmes, il faut déterminer un encadrement d amplitude un centième. Encadrement aux dixièmes : On utilise le menu TABLE de la calculatrice. Entrer la fonction f dans Y1 puis paramétrer le tableau de valeur (touche ST ou RANG) en prenant Xstart=0 ; Xend=1 ; Pitch=0, 1 (tableau de valeurs avec x variant de 0 à 1 par pas de 0, 1) Revenir à l écran précédent (Quit ou Exit) puis selectionner Tabl Trouver deux valeurs de Y encadrant 0 et noter les valeurs de x correspondantes. Pour x = 0, 4 on a Y = 0, 456 et pour x = 0, 5 on a Y = 0, 625 on a donc 0, 4 < α < 0, 5 Encadrement aux centièmes : On recommence en choisissant : Xstart=0,4 ; Xend=0,5 ; Pitch=0, 01 On obtient f(0, 44) 0, 02 et f(0, 45) 0, 086 donc 0, 44 < α < 0, 45 4/8

5 Rédaction finale : D après la calculatrice f(0, 44) 0, 02 et f(0, 45) 0, 086 donc 0, 44 < α < 0, 45 et α 0, 4 Remarque Pour arrondir la solution aux dixièmes, il faut encadrer aux centièmes. Pour arrondir aux centièmes, il faut encadrer aux millièmes... 3 Dérivée seconde d une fonction Définition :Dérivée seconde Soit f définie et dérivable sur un intervalle I. Si f est dérivable sur I, la fonction dérivée de f notée f est définie pour tout x de I par f (x) = (f (x)) Exemple 4 : Dérivée seconde d une fonction polynôme Soit f définie sur R par f(x) = x 2 3x + 1. Calculer f (x) puis f (x). f est dérivable sur R et f (x) = 2x 3 f est dérivable sur R et f (x) = (f (x)) = 2 Remarque 2x 3 > 0 x > 2 ] [ 3 2 donc sur 3 ; +, f (x) > 0 donc f est croissante f (x) > 0 donc la fonction f est croissante sur I. 4 Convexité 4.1 Définition et théorème Définition : fonction convexe Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative. f est convexe sur I si la courbe C f est au-dessus de ses tangentes. Dans le cas contraire(c f en-dessous de ses tangentes), f est concave. Exemple 5 : Avec la fonction carré Soit f définie sur R par f(x) = x 2 et C f sa courbe représentative. Calculer f (x). Calculer f ( 3) et tracer la tangente T 3 à C f au point d abscisse 3 Calculer f ( 2) et tracer la tangente T 2 à C f au point d abscisse 2 Même consigne pour x = 1, x = 0, x = 1, x = 2 et x = 3 5/8

6 f (x) = 2x f ( 3) = 2 ( 3) = 6 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 3 (et donc d ordonnée ( 3) 2 = 9) f ( 2) = 2 ( 2) = 4 (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse 2) f ( 1) = 2, f (0) = 0, f (1) = 2, f (3) = 6 f est convexe et la courbe C f est au-dessus de ses tangentes. f (x) = 2 et f (x) > 0 donc la fonction f est croissante Graphiquement, les coefficients directeurs des tangentes au point d abscisse x (x R) sont croissants. Théorème : convexité (admis) Soit f définie et dérivable sur un intervalle I de R f est convexe si et seulement si f est croissante sur I f est concave si et seulement si f est décroissante sur I Conséquence : Si f est dérivable sur I, il faut étudier le signe de f (x) sur I pour déterminer le sens de variation de f. Exemple 6 : Etude de la convexité d une fonction polynôme Soit f définie sur R par f(x) = x 3 6x 2 + x + 8 Etudier la convexité de f Méthode : 6/8

7 Calculer f (x) puis f (x) Etudier le signe de f (x) En déduire les variations de f et conclure f (x) = 3x 2 12x + 1 f (x) = 6x 12 Etude du signe de f (x) 6x 12 > 0 x > 2 donc f (x) > 0 sur ]2; + [ Ü ½ ¾ ½ ܵ ½¾Ü ¼ ¼ ܵ ¼ ¼µ ½ f est donc croissante sur ]2; + [ donc f est convexe sur ]2; + [ et concave sur ] ; 2[ 5 Point d inflexion Définition : point d inflexion Soit f définie sur un intervalle I de R et C f sa courbe représentative. A un point de C f est un point d inflexion si la courbe C f traverse la tangente à la courbe au point A 7/8

8 Conséquence : Cela signifie que fonction est concave x > x A puis convexe pour x < x A (ou l inverse) donc si A est un point d inflexion, f (x) s annule et change de signe en x = x A Exemple 7 : Point d inflexion Avec la fonction f de l exemple définie sur R par f(x) = x 3 6x 2 + x + 8 Déterminer le point d inflexion de la courbe C f f (x) s annule et change de signe en x = 2 donc la courbe admet un point d inflexion au point d abscisse 2 (et d ordonnée f(2) = 6) finsol f est concave pour x < 2, convexe pour x > 2 et la courbe admet un point d inflexion en x = 2 8/8