Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012

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1 CORRIGE Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 0 Exercice. a. f (x) 5 l (x + ) x défiie sur [0 ; + [. 5 (x + ) f ' (x) 5 x x + ( x + ) x +. Sur [0 ; + [, x + > > 0 doc f '(x) est du sige de x. f '(x) 0 sur [0 ; ] et f '(x) 0 sur [ ; + ]. b. x 0 + f '(x) + 0 f 5 l 5 l 5 - voir.d c. O demade de faire apparaitre ( + x ) x + x. O écrira x + x x + x f (x) 5 l (x + ) x 5 l[x (x + ) x ] x 5 l x + 5 l (x + ) x f (x) 5 l x x + 5 l ( + l x ) x [5 x x ] + 5 l ( + x ). l x l x l x d. lim 0 doc lim [5 ] - doc lim x [5 x + x x + x x + x ] - de plus, lim x + x 0 doc lim x + + x et lim x + l ( + x ) 0. Fialemet lim x + f (x) -. a. D'après le tableau de variatios, f (x) 5 l > 0 sur [0 ; ]. Sur [ ; + [, la foctio f est cotiue strictemet décroissate 0 ] ; 5 l 5 ]. Doc l'équatio f (x) 0 admet ue solutio uique α sur [ ; + [, doc sur [0 ; + [. b. f (4) 0,7 et f (5) -0,55 Doc 0 [f (5) ; f (4)] doc α [4 ; 5]. f (4,) 0,0 et f (4,) 0,04 doc α [4, ; 4,]. f (4,) 0,00 et f (4,4) 0,004 α [4, ; 4,4]. c. Sur [0 ; ], f (x) 5 l > 0 sur [ ; α ], f (x) 0 sur [α ; + [, f (x) 0. E résumé : f (x) 0 sur [0 ; α] et f (x) 0 sur [α ; + [. x

2 . a. u 0 4 ; u g(u 0 ), u g(u ) u u u 8 4 u0 5 u0 u 5 b. La suite semble être croissate.. a. g ' (x) 5 x + 5 > 0 sur [0 ; + [. x + La foctio g est doc croissate. b. f (α) 0, doc 5 l (α + ) α 0 doc g(α) α 0 doc g(α) α. c. Iitialisatio u 0 4 doc 0 u 0 α. Hérédité. Supposos que pour u certai etier aturel k, 0 u k α. la foctio g est croissate doc g(0) g(u k) g(α). 0 < 5 l u k+ α. La propriété est iitialisée et héréditaire, doc toujours vraie. Pour tout de IN, 0 u α. d. Pour tout, u + u g(u ) u f (u ). Or 0 u α, doc d'après.c., f (u ) 0 doc u + u 0, doc u + u. La suite (u ) est doc croissate. e. La suite (u ) est doc croissate et majorée par α, doc elle coverge vers ue limite l qui vérifie g(l) l ou f (l) 0, doc vers α. lim + u α

3 . a. La suite u coverge vers α 4,, à partir d'u certai rag N 0, tous les u serot supérieurs à 4,, doc u 4, deviedra positif, et l'algorithme s'arrêtera. b , ,79606, , , ,490 O lira u 6 4,5 Exercice. O répète fois de faço idépedate le tirage d'ue boule avec la probabilité de succès de tirage d'ue boule rouge égale à 5. La variable aléatoire X suit doc ue loi biomiale de paramètres et 5.. P(X ) P(X ) 5 5. E(X) p 5 6, E(X), 5 Cela sigifie que si l'o fait u grad ombre de parties, e moyee, o obtiedra, boules rouges par partie.. R /5 /5 R /5 B /5 R /5 B /5 B. P(Y 0) P(B B B) P(Y) P(Y 0) k 0 P(Y k) E(Y) ,784 E(Y) 98 5

4 . N pred les valeurs, ou. P(N ) P(R) 5. P(N) P(B R) P(N ) P( B B et B ou N) k P(N k) E(N) ,96 E(N), La proportio moyee de boules rouges est E(Y) E(N) 0,784,96 0,4 5. La proportio moyee de boules rouges est bie la proportio de boules rouges das l'ure. Exercice (E) y' a y + b Soit ue foctio u. 9 5 u est solutio de (E) u'(x) a u(x) + b u'(x) a (u(x) + b ) pour tout x. a Soit la foctio v défiie par v(x) u(x) + b a doc v'(x) u'(x). u est solutio de (E) v'(x) a v(x) v est solutio de (E 0 ) il existe ue costate C telle que v(x) C e ax. il existe ue costate C telle que v(x) C e ax u(x) + b a il existe ue costate C telle que u(x) C e ax b a. Les solutios de (E) sot doc les foctios de la forme x C e ax b a où C est ue costate réelle.. Si f est solutio de l'équatio, elle est solutio de y' -y + 6, elle est de la forme f (x) C e -x 6 -. Doc f (x) C e -x +. lim -x doc lim e -x 0. x + x + alors lim Ce -x +, et la courbe représetative de f admet ue asymptote horizotale d'équatio y. x + VRAI. Ue telle foctio f est de la forme f (x) C e x. f (α + β) C e α + β C e α e β mais f (α) f (β) C e α C e β C²e α e β. Doc si C² C (C 0 ou C ) f (α + β) f (α) f (β) FAUX

5 . La foctio f est de la forme f (x) C e -x. Ici, f (0) doc C et f (x) e-x. L'aire demadée est A 0 l f (x) dx Ue primitive de f : F avec F(x) 4 e-x. A e - l + 4 e0-4 exp( l - ) uités d'aire. e-x l Exercice 4 o spécialité.. (E) z² z + 0. C'est ue équatio du secod degré à coefficiets réels. b² 4 ac (-)² 4-4 égatif. Doc deux solutios complexes cojuguées z z + i. AM z + i i AM z i -i. Doc les poits M et sot sur le cercle C. - (-) + i - + i et z i VRAI + i et z i M P o A P' P M. Pour z, z' z z Doc (z' ) (z ) z doc z' z z z (z ) z z + z z z z (z ) z (z ) doc (z' ) (z ). z.. O a doc (z' ) (z ) doc z' z doc AM' AM O a doc AM' 0 doc M' A. O a aussi arg [(z' ) (z )] arg 0 + k π doc arg (z' ) + arg (z ) 0 + k π doc arg(z AM' ) + arg (z AM ) 0 + k π doc ( u, AM') + ( u, AM) 0 + k π. Fialemet AM' AM, M' A, ( u, AM') + ( u, AM) 0 + k π.

6 4. P est sur le cercle C avec ( u, AP) π AP' AP or AP doc AP' 0,5. ( u, AP') ( u, AP) + k π. O trace P, symétrique de P par rapport à (Ox), P' est sur [AP ] avec AP' 0,5. 6. a. M appartiet à la droite d'équatio x 4 doc il existe u réel y tel que z 4 + i y. 4 + i y z' 4 + i y + i y + i y + i y - + 4i y + i y - + 4i y + 4i y z' - + 4i y + 6 y² + 6 y². Doc OM' et M' appartiet au cercle C' de cetre O et de rayo. b. Soit u poit E de C', OE doc il existe u réel θ tel que z E e iθ. E a u atécédet par f il existe u complexe z tel que z E z z eiθ ( z ) ( z ) e iθ z z e iθ e iθ z z e iθ e iθ z ( e iθ ) e iθ si θ 0, e iθ, ( e iθ ) 0, ( e iθ ) -, l'équatio deviet 0z - et 'a pas de solutio. Doc le poit A de C' 'a pas d'atécédet par f. si θ 0, o a z e iθ e iθ. Tout poit de C' sauf A a u atécédet par f. Complémet : z cos θ i si θ cos θ i si θ ( cos θ i si θ)( cos θ + i si θ) ( cos θ i si θ)( cos θ + i si θ) cos θ + i si θ cos θ + cos² θ i cos θ si θ i si θ + i si θ cos θ + si² θ cos θ + i si θ cos θ + cos² θ i cos θ si θ i si θ + i cos θ si θ + si² θ cos θ i si θ + cos θ i si θ ( cos θ) i si θ cos θ cos θ 4( cos θ) ( cos θ) 4( cos θ) i si θ 4( cos θ) 4 si θ 4( cos θ) i. Les atécédets des poits de C' sot doc des poits de D. Exercice 4 spécialité.. Das les carrés ABCD et DCEF, ( DB, DC) ( DC, DE) π 4 doc ( DB, DE) π.doc E est l'image de B das la rotatio r. Das la rotatio, B a pour image E, C a pour image F, doc I, le milieu de [BC] a pour image J le milieu de [EF]. r(i) J

7 . Les similitudes qui trasformet A e C et I e J trasformet [AI] e [CJ]. Or AI AB² + BC² ² + 0,5²,5 et CJ CE² +EJ²,5 doc AI CJ. Le rapport de la similitude directe est doc et cette similitude est ue isométrie directe, doc ue rotatio ou ue traslatio. AI CJ doc ce 'est pas ue traslatio, c'est ue rotatio. So cetre se trouve sur la médiatrice de [AC], c'est-à-dire (BD) et sur celle de [IJ]. Das la rotatio r, I a pour image J doc DI DJ et D est sur la médiatrice de [IJ]. Le cetre de la rotatio est doc D ; cette rotatio trasforme A e C, c'est doc r. r est doc la seule similitude directe qui trasforme A e C et I e J.. a. z A 0, z C + i ; z I + i ; z J + i. b. s a ue écriture de la forme z' a z + b A est trasformé e I doc z I a z A + b ou + i a 0 + b doc b + i. C est trasformé e J doc z J a z C + + i ou + i a ( + i) + + i + i i a ( + i) - + i ou a - + i + i (- + i)( i) ( + i)( i) - + i + i i + i. Doc z' + i z + + i. c. Le cetre de s est le poit ivariat doc défii par z' z ou + i z + + i z. + i z z i ou z (- + i) i ou z( - + i) - i - i (- i) (- i) z - + i (- + i)(- i) + 4i + i 5i i D est doc le poit ivariat de s, doc le cetre de s.. s a ue écriture de la forme z' a z + b O est trasformé e M doc z M a z O + b ou m a 0 + b doc b m. N est trasformé e P doc z P a z N + b ou p a + m doc a p m. Doc s a pour écriture z' p m z + m. De la même faço, e échageat m et, s a pour écriture z' p m z +.. a. Si OMPN est u parallélogramme, alors OM NP doc m p. Pour s z' p m z + m s est alors la traslatio de vecteur p (p ) z + m z + m z + m OM..

8 Pour s z' p m z + m m z + z +. s est alors la traslatio de vecteur ON. b. OMPN 'est pas u parallélogramme, alors m p et p m 0. Ω d'affixe ω est ivariat par s ω' p m ω + mω p m ω ω m ω p m - m ω p m - m m ω car p m 0. p m W d'affixe w est ivariat par s w' p m w + w p m w w -. w p m - w p m - m - w car p m 0. m p m - m s et s ot le même cetre d'affixe p m.