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3 EXPLIQUER LES POINTS TOURNANTS DU CYCLE ÉCONOMIQUE À L'AIDE DU CYCLE FINANCIER Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de 1' Universi té Laval pour l'obtention du grade de maître ès arts (MA-) Département d' économique FACULTÉ DES SCIENCES SOCIALES UNIVERSITÉ LAVAL JANVIER Lavoie, 200.1

4 National Library Acquisitions and Sibliographic Services Bibliothèque nationale du Canada Acquisitions et services bibliographiques 395 Wellington Sîreet 395. nie Wellington Ottawa ON K1A ON4 OttawaON KlAON4 Canada Canada The author has granted a nonexclusive licence dowing the National Library of Canada to reproduce, loan, distnbute or seu copies of this thesis in microfoxm, paper or electronlc formats. The author retains ownership of the copyright in this thesis. Neither the thesis nor substantial extracts fkom it may be printed or otherwise reproduced without the author's permission. L'auteur a accordé une licence non exclusive permettant a la Bibliothèque nationale du Canada de reproduire, prêter, distribuer ou vendre des copies de cette thèse sous la forme de microfiche/h, de reproduction sur papier ou sur format éleckonique. L'auteur conserve la propriété du droit d'auteur qui protège cette thèse. Ni la thèse ni des extraits substantiels de celle-ci ne doivent être imprimés ou autrement reproduits sans son autorisation.

5 Résumé Ce mémoire utilise le modèle des régimes markoviens de Hamilton pour reproduire les cycles économiques. Le modèle à probabilités de transitions flexibles, jumelé à un modèle probit, permet de vérifier l'information contenue dans le cycie financier, un indicateur avancé du cycle économique. Le modèle est appliqué aux données américaines- Les difficultés d'estimation des techniques classiques sont supprimés en utilisant l'économétrie bayesienne et l'échantillonnage de Gibbs- Les résultats montrent que le modèle de changements de perfonne très bien, mais qu'il n'identifie pas ici de lien causal positif entre le cycle financier et le marché des biens. L'introduction de la structure à terme des taux d'intérêt dans le modèle ne s'avère pas une meilleure variable explicative.

6 Avant-propos Seul mon nom apparaît comme auteur de ce mémoire, mais il n'en demeure pas moins qu'il aurait été impossible de le réaiiser sans l'aide et le support d'un grand nombre de personnes. J'en profite pour souligner leur participation, Premièrement, je tiens à remercier Stephen Gordon, sans qui cette tâche m'aurait été impossible à accomplir. Patience, disponibilité et affabilité sont là quelques-unes des qualités qui font de lui un excellent directeur. Il a su répondre d'une manière irréprochable à la moindre de mes questions, Hélas, il est le maitre de l'économétrie bayesienne et de Matlab, moi son apprenti-padawan. Je conseille à tous les étudiants du département de &availler avec lui, sauf si vous détestez à mourir les Canadiens de Montréal. Merci à Marie-Hélène Hébert, mon poussin doux, qui m'apporte un soutien moral et affectif unique. Je n'aurais pas écrit ce mémoire sans elle. Merci mille fois Marie! Chaque matin, ma "belle-soeur préférée" Christine Hébert (future économiste, qui sait...) est mon rayon de soleil dans l'autobus 372. Je remercie également Nathdie Brousseau, ma comptable préférée, pour son arniti6 et pour les lifts qu'il va bien falloir que je lui remette au cours des années à venir, Marie-Soleil Lapone, ma bioiogïste-écologiste préférée, pour son amitié et pour les nombreuses visites à Québec et à Sherbrooke et Me Alexandre Dumas, photographe professionnel, pour son amitié et sa présence à tous les partys importants. Merci à ~arie-ève Auclair, Pierre Descoteaux, Georges Desmeules, Stéphane Duber- ger, Mathieu Giguère et Maxime Gipère, avec lesquels j'ai pu continuer de jouer au tennis et ainsi me débarasser de mon agressivité. -Merci à ma soeur Aucirey Lavoie (Pepito) qui veille à ma lessive et à mon père Gaétan

7 Lavoie qui m'a permis d'avoir un toit tout au long de ce périple universitaire et qui me paye toujours de bons lunchs. Je remercie Anick Johnson pour son aide dans Latex, mais avant tout pour ses potins crousnuants et AIex Lessard, pour les parties de basketball jouées avec du papier ou des craies ainsi que pour les samedis soirs d'automne passés au DES Steeve Bouchard, Frédéric Clavet, Martial Fiset, Martin Guay et Hugues Vaillancourt remportent tous un oscar pour les "jokes" sur Internet. Bref, cette dernière année en était une bien spéciale : les victoires d'andré Agassi au U.S. Open et à 1'Australian Open, la sortie en cassette de STAR WARS : Épisode 1, les nouveaux épisodes des Simpsons, etc. Et que dire de ces jeudis soirs au Grand Salon, ainsi que des jolies femmes s'y trouvant, qui m'ont permis d'avoir une certaine forme de vie sociale au cours de cette année d'enfer à la maîtrise. P.S. : Afin d'être gentil, je ne divulgerai pas Ie nom des personnes citées ci-haut qui m'ont payé pour avoir leur nom dans un mémoire.

8 Table des matières Résumé Avant-propos Liste des tableaux Liste des figures i ii vi vii Introduction 1 1 Problématique Modélisation et prévision des cycles....., Revue de la littérature Méthodologie Modèle des régimes markoviens Modèle avec probabilités de transition constantes Modèle avec probabilités de transition flexibles Modèle probit univarié Méthode d3estimation bayesienne et Échantillonnage de Gib-abs Méthode d'estimation bayesienne et Échantillonnage de Gibbs Distributions a priori

9 3.1.2 Distributions conditionnel1es AlgorÏthrne de l'échanallonnage de Gibbs Description des données Données sur la production industrielle Données sur les variables financières Données sur le ratio cours-bénéfice du Standard & Poor's Données sur l'indice Standard & Poor's Comparaisons des données 32 5 Résultats empiriques Résultats empiriques Croyances a priori et valeurs de départ Valeurs des paramètres estimés Contribution des indicateurs avancés 40 Conclusion 42 Bibliographie 44 A Tableaux 47 B Structure à terme des taux d'intérêt 56

10 Liste des tableaux 3.1 Étapes de l'échantillonnage de Gibbs Valeurs des paramètres de l'équation de production Valeurs des paramètres de l'équation de probabilités de transition A. 1 Points tournants déterminés par le NBER A.2 Points tournants déterminés à partir du ratio cours-bénéfice du S&P A.3 Points tournants déterminés à partir de l'indice S&P A.4 Statistiques sur le ratio cours-bénéfice et l'indice du S&P A5 Comparaisons du ratio-cours bénéfice et de l'indice du S&P A.6 Comparaisons enm le ratio cours-bénéfice S&P 500 et les dates du NBER. 52 A.7 Comparaisons entre l'indice S&P 500 et les dates du M3ER... 53

11 Liste des figures A. 1 Probabilités d'être en récession, , vii

12 Introduction La modélisation et la prédiction des phénomènes économiques comptent au nombre des objectifs de la science économique. Panni ces événements, les cycles iconomiques - qui réfèrent aux CO-mouvements de différentes formes d'activités dont le P B - prennent une grande importance. Comment peut-on expliquer, mesurer et prédire le cycle? Qui doit être concerné par le cycle économique? Quelle est la nature des cycles économiques? Voilà quelques-unes des questions les plus importantes auxquelles les chercheurs tentent de répondre depuis bien des années. En 1946, BURNS et MITCHELL [3] sont les premiers à définir le cycle économique : Bu- siness cycles are a qpe offluctuation found in the aggregate economic activiv of narions that orgaizize their work mainly in business enterprises : u cycle consisrs of expansions occurring at about the same t he in many econornic activities, followed by similarly gene- ral recessions, contractions, and revivals which merge into the expansion phase of the next cycle [3]. Cette définition n'est pas une théorie, mais bien une description. Depuis ce temps, l'étude des cycles économiques connaît un développement sans précédent et les théories à Ieur sujet se succèdent. Les macroéconornistes sont en quête d'une représentation de la vi- sion de Arthur F. Burns et Wësley Mitchell. Qui plus est, prévoir les changements du cycle économique importe beaucoup. À cette fin, on reeouve dans la littérature des indicateurs avancés, variables permettant d'expliquer L'activité économique future. rf the onset of the contraction is marked by a financial cri-

13 sis or ifone develops sornewhat Zatec there is a substantial probability that the decline of aggregate activity will prove severe and perhaps abnormally long as well [21]. Cette observation de Arthur Bms laisse entrevoir qu'une perturbation du cycle financier pourrait se répercuter sur l'activité économique réelle. Dans les faits, on obsenre que les chanpments du cycie financier précèdent souvent ceux du cycle économique. L'exemple le plus marquant de ce siècle est sans contredit la Grande Dépression du début des années trente qui a été précédée par le crash boursier de Donc, il est bien connu que le prix des actifs devance l'activité sur le marché des biens. Or, l'objectif de ce mémoire consiste à trouver I'habilité des deux phases financières - appelées marché haussier et marché baissier - à expliquer les points tournants des cycles économiques. En d'auh-es termes, y a t-il un lien entre le cycle du marché hancier et celui du marchi des biens? Ce mémoire comporte cinq parties. Premièrement, ta problématique du mémoire précède une exposition des recherches antérieures. En second lieu, le modèle et la méthode d'estimation sont développés dans les chapitres deux et trois. La quatrième section porte sur la description des données. Les résultats et leur interprétation composent la cinquième partie. Enfin, une conclusion explore les extensions possibles du modèle.

14 Chapitre 1 Problématique 1.1 Modélisation et prévision des cycles Les modèles linéaires sont fréquemment utilisés en macro-économé~e pou l'étude des comportements cycliques. Cette approche considère que la première différence du loga- rithe de la production agrégée suit un processus linéaire, ce qui implique que les cycles économiques sont symétriques. Toutefois, l'évidence empirique semble contredire I'hy- pothèse de symétrie. En effet, les données montrent clairement que, d'une part, les ex- pansions sont plus longues que les récessions, et d'autre part, les mouvements à la huasse (dans les phases d'expansion) sont relativement graduels alors que les mouvements à la baisse (dans les phases de contraction) sont piutôt abrupts. Par ailleurs, plusieurs séries macroéconomiques présentent dues ruptures cycliques brusques. La production agrégée en est un exemple, dans le cas duquel les altérations structurelles sont souvent associées aux guerres, crises financières ou encore aux politiques macroéconomiques. Outre ces effets empiriques, les travaux célèbres de LUCAS [18] Cl91 soulignent le caractère répétitif et récurrent des cycles économiques. Pa- les modèies retenus pour reproduire ces effets empiriques non-linéaires, on re- trouve le modèle de changements de ré,gimes. Cette technique permet de reproduire le

15 comportement asymétrique des déviations de l'activité économique réelle. Cette récente modélisation découle de la définition d'un cycle économique classique1 telle qu'observée par BURNS et MITCHELL [3]. De plus, certaines séries chronologiques alternent brusquement de comportement. La production agrégée est un exemple de variable qui change d'dure dans le temps, résultat de plusieurs événements comme. Les contributions dévoilent que les cycles sont répétitifs et récurrents. Si l'état2 dans lequel se trouve l'économie a changé dans le passé, il devrait changer de nouveau. Alors l'utilisation du modèle des régimes rnarkoviens s'avère essentielle. L'essence même de cette modexsation consiste à croire que le futur sera en quelque sorte comme le passé et que le processus de la série temporelle est influencé par un réaaime. Ce dernier constitue une période particulière d'une série macroéconomique où le comportement dynamique de celle-ci est totalement différent- L'idée est de modéliser des évenements qui reviennent avec une certaine.fréquence. Qui plus est, la littérature économique compte de nombreuses recherches portant sur la prévision des cycles économiques. À cette fin, il est primordial de choisir des variables devançant Ie cycle économique. Plus particulièrement, les variables financières, tels la structure à terme des taux d'intérêt, les taux d'intérêt, les agrégats monétaires et les indices boursiers, constituent une classe de variables sensible au cycle. Elles permettent peut-être d'anticiper l'activité sur le marché des biens puisqu'elles réagissent avant celle-ci. Parmi ces variables, les indices boursiers sont très populaires. Ils sont procycliques et avancés. Une variabledites avancé est une variable dont les mouvements devancent celles de l'activité économique. Il est important de s'en préoccuper puisqu'ils représentent 'un cycie classique compone une chute et une reprise absoiue dans Ia production agrégée, contrairement aux cycies de croissance qui réfèrent aux déviations positives et négatives autour de la tendance de long terme. 'État et régime sont des synonymes qui sont employés alternativement-

16 éventuellement un mécanisme de transmission au cycle économique, Premièrement, le marché financier indique l'optimisme (ou le pessimisme) des investisseurs à propos des profits futurs des entreprises côtées dans les marchés boursiers et par déduction, le positivisme (ou le négativisme) concernant la production agrégée future. En d'autres ternes, Ia théorie financière présume que le prix des actifs financiers reflète la valeur présente des dividendes, qui à son tour, nous annonce l'état futur de I'économie globale, Les investisseurs réagissent en fonction de ce qu'ils anticipent au plan de l'activité économique. Les marchés financiers incorporent aussi les réactions des investisseurs par rapport aux modifications du taux d'intérêt apportées par la Banque Centrale. En second lieu, l'activité sur les marchés boursiers se répercute sur l'économie par le biais des dépenses de consommation des ménages, une composante déterminante de la demande. En effet, la théorie classique de Ia consommation présume que les ménages : (i) consomment une fraction du stock de leur richesse, (ii) épargnent le solde en vue de consommation future, et (iii) détiennent une proportion de leur épargne sous forme d'actifs risqués dont les rendements sont incertains. Ainsi, une idminution du prix des titres financiers aurait tendance à réduire la consommation future, puisque le portefeuille d'épargne des agents détermine leur consommation future. Enfin, les marchés financiers affectent l'investissement, plus précisement en ce qui a trait aux entreprises et à leurs décisions d'achats de capital physique pour le futur. Les modèles de prévision des cycles économiques portent une attention particulière porte sur Ie début et la fin des récessions, qui réfèrent aux points tournants. Les sommets et Ies creux composent ces points tournants. Un sommet se définit comme la période qui précède un décfin de la production agrégée; parallèlement, un creux désigne la période qui précède la relance. La séquence complète incluant la chute et la reprise de l'activité économique, c'est-à-dire d'un sommet à un autre (ou d'un creux à un autre), définit un cycle économique. La caractéristique d'intérêt du cycle concerne donc les points de retour- nements. Comme le mentionne BURNS et MITCHELL [3], le choix d'un sommet (ou d'une récession) ne correspond pas nécessairement au point Ie plus d'une phase ex-

17 pansiomiste (récessionniste). Une phase récessionniste ou expansionniste est évidemment comprise entre deux points tournants, témoignant de Ieur importance. Les mêmes effets de cycle se font sentri lorsqu'il s'agit du marché financier. La phase expansionniste du cycle financier est un marché haussier (bull market) tandis qu'un marché baissier (beur market) représente la phase contractante. L'objectif du mémoire consiste à regarder si ces deux phases constituent une bonne variable explicative pour la dynamique des cycles économiques. L'utilisation de cette variable discrète contraste quelque peu avec les recherches antérieures. Par exemple, FILARDO [8] ainsi que ESTRELLA et MISHKIN [7] prônent les indices boursiers continus qui contiennent une multitude de fluctuations de court terme (bruit), ne prévoyant en rien les chutes et hausses de l'activité agrégée à venir. Une diminution ou une augmentation du prix des actifs financiers peut avoir lieu au- tant dans un marché haussier que dans un marché baissier. Donc, les variables boursières continues ne représentent pas la meilleure option. L'idée est de voir si c'est l'état du cycle financier qui importe, c'est-à-dire un changement relativement long et prononcé, plutôt que la valeur continue de celui-ci. Autant pour le cycle financier que le cycle économique, les phases expansionnistes sont généralement plus longues que les phases récessionnistes, témoignant de l'importance de la relation entre les deux. L'intérêt du mémoire consiste à trouver l'habilité des deux phases financières à l'explication des points tournants des cycles économiques. Un marché haussier annonce-t-il une au,omentation du PD3 réel? Y a-t-il un lien entre une effondrement persistante et accentuée du marché financier et une récession? Le but est de vérifier si l'état du cycle financier est un mécanisme de transmission va- lable au cycle économique. En second lieu, on peut se demander si la durée d'un état du marché financier auamente la probabilité de changer de phase économique. Par exemple, Ta probabilité d'être en récession peut croître avec le temps passé dans un marché baissier. Troisièmement, existe-t-il un point critique à partir duquel on considère que le cycie fi- nancier cesse d'être un signal pour un point de retournement du cycle économique? Cette question est importante puisque le cycle financier ne se répercute pas toujours sur le marché

18 des biens. Un exemple récent et frappant d'une telle situation est le crash boursier d'octobre 1987 : la chute dramatique des marchés hanciers n'a pas entraîné de récession. Les indicateurs avancés comme le cycle financier peuvent s'avérer des outils intéressants pour plusieurs institutions tels les gouvernements et la banque centraie d'un pays, qui sont primordides dans la formation et la mise en place de politiques. Dans un premier temps, les prédictions économiques du PIB réel s'avèrent essentielles à l'élaboration de la politique monétaire Au Canada, il existe un décalage pouvant varier de 12 à 18 mois entre Ie moment où des modifications sont apportées au taux d'escompte et une croissance stable de I'économie, ce dernier étant l'objectif ultime de la Banque du Canada. Les projections économiques sont primordiales dans la prise de décisions d'ajustements pour atteindre le but fixé en vertu de la longue transmission de la politique monétaire à l'activité économique. Les banques centrales veulent éviter les récessions, ou, du moins, Ies atténuer. Deuxièmement, les prévisions jouent un rôle capital dans l'établissement de politiques fiscales et sociales des gouvernements tels les transferts, les recettes fiscales ainsi que les taux d'imposition sur les particuliers et les entreprises. Enfin, l'habilité à anticiper les fluctuations économiques permet aux particuliers et aux gestionnaires de portefeuilles d'acheter ou de vendre des titres financiers à un meilleur moment. En sornme, ce mémoire, axé sur la modélisation des cycles économiques, est dans la lignée de toutes les recherches portant sur l'explication et la compréhension de l'activité économique agrégée. Le but consiste à déterminer la faculté d'information des phases du cycle financier sur le marché des biens. L'impact du cycle financier sur le cycie économique constitue un point crucial qui mérite d'être traité plus à fond.

19 1.2 Revue de la Littérature L'étude des fluctuations de l'activité économique préocuppee les chercheurs depuis les années quarante. Les travaux pionniers sont ceux de Arthur F. Burns et Wesley Mitchell, du National Bureau of Economic Research (NBER). À partir d'une impressionnante liste de 280 séries chronologiques, BURNS et MITCHELL [3] ont identifié 21 séries reliées aux cycles économiques, dont le prix des actifs financiers. Cette liste est célèbre parce qu'elle a été consüuite sans les techniques statistiques modernes et l'informatique- Récemment, STOCK et WATSON [26] ont révisé la liste originale de Burns et Mitchell grâce à des tech- niques économétrîques. Par la suite, plusieurs travaux empiriques et théoriques ont marqué cette littérature. Certains sont reliés au mémoire. En 1989, HAMILTON 1151 a développé une nouvelle approche pour traiter la non- linéarité des séries chronologiques. Contrairement aux populaires méthodes linéaires, Ha- milton explore la possibilité que les données trimestrielles du produit national brut américain suivent un processus stationnaire non-linéaire. Les estimés du modèle autorégressif d'ordre quatre de Hamilton démontrent que la croissance du PNB des États-unis est plus ca- ractérisée par un phénomène récurrent de changements d'états que par un modèle au- torégressif linéaire. Suite à cette étude, plusieurs recherches ont exploité ce modèle non- linéaire dans l'étude des cycles économiques. Ce modèle à probabilités de transition consti- tue le modèle de base à une multitude d'articles subséquents. Goo~wm [23] utilise également les changements de régime dans la modélisation des cycles économiques de huit pays industrialisés. L'auteur conclut que le modèle de Hamilton est habile pour identifier de manière objective les dates des cycles. Il note que les creux et sommets américains indiqués par le modèle sont très corrélés avec ceux du NBER. De plus, Goodwin teste l'asymétrie des cycles. Pour tous les pays, à l'exception de l'allemagne, la statistique du ratio de vraisemblance rejette I'hypothèse que la probabilité inconditionnelle

20 d'être en récession et d'être en expansion sont égales. Donc, les phases expansionnistes sont plus longues que Ies phases récessionnistes. Suite à cette structuration des cycles par Harniiton, le développement d'une extension a arnelioré le modèle original. DURLAND et MCCURDY [61 ont incorporé la flexibilité tem- porelle des probabilités de transition pour vérifier si la probabilité de sortir d'une phase dépend de la durée de celle-ci. Utilisant les mêmes données que HAMILTON [ls], ils ont comparé le modèle à probabilités fixes avec celui à probabilités de transition flexibles. Les données supportent l'asymétrie des fiuctuations américaines du modèle à transitions flexibles et rejettent le modèle de Hamilton. Les auteurs trouvent que la probabilité de sortir d'une récession au,mente avec la durée passée dans cette même phase. Cependant, l'échantillon ne révèle pas la même conclusion pour les expansions. Ce modèle à probabi- lités flexibles constitue le modèle utilisé dans le mémoire- L'une des améliorations du modèle de Hamilton permet d'évaluer la puissance expli- cative d'indicateurs avancés. L'information potentielle de l'indice composé du Standard & Poor's 500 est exploitée par FILARDO [8]. Utilisant des ~OM&S mensuelles sur la produc- tion industrielle américaine - les mêmes que dans ce mémoire - l'auteur rejette le modèle de Hamilton à cause de son incapacité à identifier une relation évidente entre la phase de croissance et de décroissance. Le modèle à probabilités de transition variant dans le temps supporte bien les données de Ia production industrielle de l'après-guerre. Plus parti- culièrement, les coefficients du S&P 500 sont positifs et statistiquement simgsicatifs pour la probabilité de transition reliée à une expansion, mais ils ne sont pas significaafs pour celle rattachée à une contraction. La plupart des études antérieures utilisent l'économéme classique ou des algorithmes pour estimer le modèle des réahes markoviens. DIEBOLD et RUDEBUSCH [SI utilisent une procédure bayesienne pour prévoir les points tournants du cycle économique avec t'indice

21 composé commercial d'indicateurs avancés. Toutefois, leur modèle conclut qu'il n'existe aucun lien entre l'âge de la phase et la probabilité d'atteindre un point tournant. Également, MCCULLOCH et TS AY [20] utilisent l'analyse bayesienne en plus de l'échantillonnage de Gibbs pour examiner la capacité de prévision du prix de l'essence aux États-unis sur les changements discrets du produit national brut. FILARDO et GORDON [9] ont aussi tiré profit des méthodes bayesiennes pour l'estirna- tion du modèle à régimes rnarkoviens- Les auteurs montrent que les probabilités de tran- sition et les durées anticipées des phases économiques varient dans le temps. De même, ils constatent que Ie modèle à transitions constantes ne reproduit pas toutes les périodes récessionnistes. Ce modèle, utilisant un indice composé de onze indicateurs avancés3 comme signal potentiel de changement de phases, génère un résultat très intuitif. La durée anticipée d'une phase diminue quand l'état actuel de l'économie est très avancé. Ce mémoire utilise la même méthodologie que cet article mais évaluera l'information contenue dans une autre variable exogène, soit le cycle financier. D'autres recherches antérieures se servent du prix des actions, mais elles n'utilisent pas le modèle de changement de régimes. Au niveau de la prévision des récessions américaines, ESTRELLA et MISHKIN [7] vérifient l'information contenue dans les indices boursiers. Utilisant un modèle probit, les résultats montrent que l'indice des prix du New York Stock Exchange (NYSE) est utile pour les horizons compris entre un et trois trimestres et que le ratio cours-bénéfice du NYSE possède seulement un pouvoir de prédiction pour un tri- mestre. Contrairement à Estrella et Mishkin, ce mémoire examine la capacité du cycle financier à expliquer l'activité économique réelle plutôt que seulement les récessions. Une autre différence réside dans I'expIoitation d'une variable discrète, en l'occurence le cycle financier, pour anticiper les points tournants à l'opposé des indicateurs avancés continus comme les articles précédents utilisant le modèle des régimes markoviens. 3Cet indice composé de onze indicateurs avancés inclut les indices boursiers.

22 La non-linéarité du modèle des rigimes markoviens avec transitions ff exibies permet de mieux capturer le comportement de l'activité économique comme le démontre FILARDO [a]. DURLAND et MCCURDY [6] et GOODWIN [13] présentent similairement des preuves confirmant l'asymétrie des cycles. L'utiIisation d'une telle modélisation est un atout à ex- ploiter. Le survol de la littérature dévoile que certaines recherches utilisent les modèles à régimes markoviens pour capter les fluctuations économiques. D'autres études évaluent la puissance de prédiction des variables boursières continues. Finalement, quelques rares articles utilisent les techniques bayesiennes pour estimer les modèles. Ce mémoire prend origine d'un aspect particulier de chacun des travaux cités dans cette section.

23 Chapitre 2 Méthodologie 2.1 Modèle des régimes markoviens Modèle avec probabilités de transition constantes Contrairement à l'approche traditionnelle qui étudie les cycles à l'aide de modèles linéaires, Ia non-linéarité capture mieux le comportement des fluctuations. Donc, l'analyse de la dynamique du cycle dans le mémoire passe par le modèle de changement de réagime. Plusieurs séries macroéconomiques, dont la production agrégée, contiennent des changements brusques. Les permettent de modéliser ces perturbations. Si un changement a eu lieu dans le passé, il est fort probabie qu'il y en ait d'autres dans le futur. Afin de prendre en considération cette caractéristique importante, les fluctuations de La production sont influencés par un régime St aléatoire, discret et inobservable. Si l'état de l'économie avoisinant les points tournants était observable, l'utilisation d'un modèle linéaire autorégressif serait appropriée pour expliquer le PIB réel au temps t par les valeurs présentes et passées des régimes et de la production.

24 oùb(l) = 81L+02L rLr où +(L) = #tl+&lz+...+t$rlr sontdespolynômes de l'opérateur de retard. Puisque St est inobservabie au temps t, particulièrement autour des points de retournements, il est impossible d'utiliser l'équation 2.1, Il faut donc se tourner vers une autre option. Une chaine markovienne vient gouverner l'évolution de I'état St. Soit St une variable aléatoire qui peut prendre une valeur discrète j = (1,2;.., N ) et qui dépend de l'état à la période précédente noté St-l, alors on dit que St est une chaîne markovieme de N états si : où p, est la probabilité de transition conditionnelle de passer de l'état i à j et où pii +pi* pijv = 1. Seul l'état à Ia pérïode t - 1 influence I'état à la période t. Il faut remonter aux années soixante pour retrouver les pères des régimes markoviens, en l'occurrence GOLDFELD et QUANDT [Il][12] ont inventé les régimes markoviens dans les années soixante. Toutefois, l'application de cette théorie dans I'étude des cycles est récente. HAMILTON [15] a appliqué pour la première fois cette idée en 1989 en analysant la croissance du PNB réel américain. Soit yt le taux de croissance de l'output à 1a période t, où St E {O, 1). Les déviations de la croissance de y, est un processus stationnaire autorégressif d'ordre p. La moyenne p du processus de y, est affectée par des changements discrets : OU pst =,& +,&St. Donc, la moyenne p est spécifiée par une constante et par la variable d'état- En manipulant 3.3, on obtient :

25 où d(l) = $1 L + d2l qjflr est un polynôme de I'opérateur de retard, r = 4 et où zt est i-i-d. N(O,O:). Soit,8 = (a, BI)'. L'état de l'output St suit un processus markovien de premier ordre à deux régimes, soit un état de croissance ou de décroissance1. Un processus markovien de premier ordre si,gi- fie que l'état dans lequel se trouve L'économie dépend uniquement du régime précédent : où S, = O represente une période de récession (mauvais état) alors que St = 1 qualifie une période expansionniste (bon état). q est la probabilité qu'une récession soit suivie par une seconde et 1 - q désigne la probabilité qu'une période creuse précède par une expansion économique. p et 1 - p indiquent respectivement les probabilités qu'une période expan- sionniste précède une période similiaire et qu'une période de croissance soit suivie par une récession. Il en résulte la matrice de transition P se définit comme suit : ' ~ dichotomisation a de la production globale en deux phases est raisonnable. FILARDO [8] conciut que l'utilisation du modèle à deux états supportait de manière très si,anificacive Ies données américaines. De plus, FILARDO et GORDON Cg], HAMILTON Cl51 et GOODWrN [13] utilisent égaiement Ie modèle des régimes markoviens d'ordre un à deux érats. Il existe des tests permettant de déterminer le nombre de rigimes d'une série chronologique. Quoi qu'il en soit, l'une des diiïîcultés avec les chaînes markoviennes est le nombre de paramèues de transition qui croît rapidement avec l'ordre du processus.

26 Les probabilités q, 1 - q, p et 1 - p sont fixes. Elles ne sont pas influencées par de I'information quelconque. De plus, q; 1 - q, p, Z - p ]0,1[ puisque la chaûie markovieme est irréductible, c'est-à-dire qu'il y a toujours une possibilité de changer de régime. Il n'y a pas d'état absorbant puisqu'il n'y a aucune probabilité est égale à 1. La mamice de transition irréductible concorde avec les observations. II. n'y a jamais eu de récession ou d'expansion permanente. Ce modèle à probabilités constantes possède l'avantage de dater de manière objective les points tournants du cycle, contrairement à ceux du NBER. En contrepartie, il est moins bon théoriquement et empiriquement : les éléments extérieurs tels les chocs de productivité et les politiques monétaire et fiscale n'ont aucun effet sur ces probabilités Modèle avec probabilités de transition flexibles Une extension du modèle de base développée par FILARDO [8] donne la possibilité aux probabilités de transition de varier dans le temps. Intuitivement, il est tout à fait raison- nable de penser que la probabilité de transition de l'état puisse varier. Sachant que les cycles économiques sont récurrents et répétitifs, plus la durée d'une période récessionniste est Iongue par exemple, plus on peut s'attendre à sortir bientôt de cet état pour connaître une expansion économique. De plus, si l'économie sort d'une récession pour laisser place à une reprise économique, Ia probabilité de retomber à nouveau en récession est moins élevée. Le modèle à probabilités fixes ne capte pas ce type de comportement.

27 L'état actuel de l'économie n'est pas connu avec certitude par 1'économètre et les agents économiques. Cependant, les agents connaissent l'indicateur avancé 2,. Le modèle avec probabilités de transition flexibles permet à ces dernières de changer avec des variables exogènes. La production agrégée peut dépendre de l'information contenue dans le vecteur 6. Particulièrement avant qu'une période expansionniste ou qu'une période récessionniste ne débute, on peut s'attendre à un changement des probabilités- Dans le modèle de Kamil- ton, les probabilités sont toujours constantest que ce soit avant, pendant, ou après les points tournants. En somme, I'évoIution du régime inobservable dépend de Iyi.nformation dispo- nible au temps t, Avec cette information supplémentaire, les probabilités sont maintenant fonction de l'indicateur avancé : où p(6) se définit comme la probabilité d'être dans le bon état pendant deux périodes consécutives, alors que 1 - p (6) s'interprète comme la probabilité de passer d'un régirne expansionniste à récessionniste entre deux périodes. Les deux sont conditionnelles au vecteur G. Intuitivement, un marché haussier pourrait laisser croire à une au,omentation des probabilités 1 - q(5) et p(g). Inversement, l'observation d'une hausse de 1 - p(zt) et q(5) pourrait suivre un marché baissier. De plus, ce modèle permet de répondre à l'une des questions fondamentales de la problématique, 2 savoir si la probabilité d'avoir un point de retournement du cycle économique dépend de la durée de la phase du cycle financier. Par exemple, le temps passé dans un marché haussier pourrait auamenter 1 - p(zt) et p(5). Ainsi, Ia matnce de transition P devient :

28 En somme, les bénéfices des probabilités flexibles par rapport au modèle de base de Hamilton sont significatifs et sont dûs à sa dependance temporelle, sa structure non-linéaire et l'incorporation d'information supplémentaire Modèle probit univarié Puisque la variabie endogène est discrète, l'estimation à l'aide d'un modèle probit uni- varié permet d'expliquer son comportement, L'addition d'un modèle probit dans le cadre du modèle de changements de régimes est l'oeuvre de MCCULLOCH et TSAY [20]. Ce modèle permet aux probabilités de transition de changer avec l'infomation contenue dans le vecteur S. Il est maintenant possible de relier Ia probabilité d'un changement du cycle économique à plusieurs variables explicatives. L'équation de probabilités de transition est : P(St = 1) = P(S; 2 O), P(St = O) = P(S,' < O) (2.13) S; = 6, + &Zt + 6sSt-1 + pt (2.14) où S,' est une variable latente. L'utilisation d'un modèle probit univarié permet donc l'es- timation de Sc &, le vecteur de paramètres relié à &, indique l'information disponible pouvant faire varier les probabilités. pt est i.i.d. -N(0,1), Cétat de l'économie à la période t - 1 StVl et le vecteur d'indicateurs avancés 5 expliquent donc le régime actuel du cycle économique. Le calcul des probabilités de transition à chaque période t est possible grâce à la distribution cumulative conditionnelle de p :

29 Ainsi, p, et q, deviennent : Le modèle à régime markovien univarié avec probabilités de transition variables, combiné au modèle probit univarié, permet d'avoir de l'information supplémentaire sur I'arrivée d'un point tournant en incorporant z', afin de mieux prédire le changement de phase du marché des biens. L'analogie des deux modèles pourrait mieux caractériser la dynamique des cycles que le modèle à probabilités fixes et est supérieur aux méthodes linéaires populaires.

30 Chapitre 3 Méthode d'estimation bayesienne et Échantillonnage de Gibbs 3.1 Méthode d'estimation bayesienne et Échantillonnage de Gibbs L'estimation représente l'une des difficultés majeures du modèle des régimes markoviens, spécialement le modèle à probabilités de transition flexibles. Écon~rnétri~uement parlant, l'analyse des changements de ré,oùnes est difficile puisque les régimes sont rarement observables directement. La majorité des articles antécédents utilisent des méthodes d'estimation classiques. Cette approche comporte quelques problèmes souievés par HA- MILTON [16]. Or, opter pour l'approche bayesienne pour l'estimation contourne les problèmes de l'économénie classique. De plus, c'est un atout puisque l'état inobservable par les agents économiques est traité comme un paramètre à estimer. Toutefois, l'objectif de ce mémoire ne consiste pas à comparer l'approche classique et la méthodologie bayesienne', mais 'pour un débat théorique et philosophique entre fréquentistes et subjectivistes, voir POIRIER 1231 [25].

31 plutôt d'utiliser cette dernière pour estimer le modèle à régimes markoviens et pour exami- ner Ia capacité prévisionnelle du cycle financier. Si la méthodologie bayesienne est préférée à la méthode classique, elle comporte sa part de difficultés. L'un des problèmes majeurs avec l'économétrie bayesienne est le calcul exigé des intégrales. Si l'économètre s'intéresse par exemple à l'espérance a posteriori du paramètre 8, ii faut calculer son intégrale : Soit X = {%)T) Ies données observées du modèle. II est fort possible que ces intégrales n'aient pas de solution analytique. Afin de cdculer les intégales impossibies à résoudre analytiquement, I'échantillonnage de Gibbs - technique Markov Chain Monte Carlo (MCMC) la plus simple - permet de surmonter cette difficulté. Cette tâche difficde s'amplifie avec l'utilisation d'un modèle complexe comme celui des régimes markoviens et avec la dimension du vecteur de paramètres à estimer de 8. Le récent développement de l'informatique a popularisé I'échantiilonnage de Gibbs, algorithme basé sur les chaînes markoviemes comme le modèle de Hamilton. L'idée principale de cet algorithme consiste à simuler les tirages artificiels des pa- ramètres tirées de la loi a posreriori. Ainsi, la moyenne de cet échantillon artificiel permettrait d'avoir un estimateur convergent de l'espérance E[g(B) 1 Une condition suffi- sante pour admettre ce résultat est que la chaîne markovienne est ergodique. Les paramètres générés par I'échantillonnage de Gibbs ne sont pas indépendants mais forment plutôt une chaîne markovienne.

32 ES-ON Qui plus est, l'échantillonnage de Gibbs facilite l'économétrie bayesieme, rendant celle-ci pratiquement plus simple que sa contrepartie classique. D'ailleurs, la plupart des applications de l'échantillonnage de Gibbs s'appliquent aux modèles bayesiens. ALBERT et CH~B [II ainsi que FILARDO et GORDON [9] ont utilisé l'échantillonnage de Gibbs dans le cadre du modèle des régimes markoviens. Pour un développement théorique de cette technique, voir CASELLA et GEORGE [4], BÉLANGER et GORDON [14] ainsi que GEL- FAND et SMITH [Io] Distributions a priori Pour résumer, le modèle de Hamilton à probabilités flexibles comprend deux composantes et par le fait même, deux variables d'intérêt, soient l'équation du taux de croissance de la production et l'équation des probabilités de transitions. L'estimation conjointe du modèle demande l'économétrie bayesieme et l'échantillonnage de Gibbs. L'idée de cette dernière technique est de simuler une séquence {O('))? qui converge en la distribution a posteriori P(O 1 X). Les moments a posteriori découlent de cette séquence (0(')}~. Les paramètres des équations clés sont réunis ainsi : Puisque la distribution de SI dépend de l'état à la période précédante, so est également inclus dans 8. Le point de départ de l'analyse bayesienne consiste à spécifier explicitement Ia loi a priori Cette dernière joue un rôle clé et caractérise la croyance a priori d'un paramètre en

33 Dans un premier temps, les croyances apriori au sujet des paramètres du taux de crois- sance de l'output yt de l'équation 2.4 sont représentées par des a priori conjugués. Étant donné O:, la loi a priori de O a une distribution normale multivariée : où 6 et représentent respectivement la moyenne a priori et la variance a priori de <P. De la même façon, étant donné O;, les croyances a priori sont quantifiées par une loi normale tronquée : où IB,,o est une fonction indicatrice pour identifier s, = 1 comme un état de croissance, 6 et Âsoi représentent respectivement la moyenne a priori et la variance a priori de B. La loi a priori de la variance de 1' ouput a Ia forme gamma-inverse : En second Iieu, la distribution a priori de 6 est un a priori conjugé de la forme normale. La IinéarÏté de l'équation de probabilités de transition implique : ' ~ e choix approprié des croyances a priori et la quantificacion de celles-ci sont difficiles et très débattus. Pour plus de détails, voir POIRIER [25]

34 Enfin, une distribution a priori Bernoulli de la période 0, qui est une période de forte croissance, caractérise so, la valeur de départ utilisée pour le processus rnarkovien de St, où P(so = 1) = ji Distributions conditionnelles Premièrement, l'échantillonnage de Gibbs est utilisé pour simuler les distributions a pos- teriori conjointe des paramèwes suivants. Cette technique d'échantillonnage est appropriée puisque le modèle entraîne que la distribution a posteriori des paramètres est facile à cal- culer alors que la distribution conjointe a posteriori est compliquée et inutile. P (O), 6('), (S~O)); sont des valeurs de départ qi doivent être choisies arbitrairement avant de débuter l'algorithme. Il est possible de générer les valeurs de départ des séquences {pio)}~ et (q~o)}~ étant donné les valeurs de 2, et &. Étant donné O(*) = {p, (0) }1, T {qt(0) j1, T {~~"));f} voici les différentes étapes permettant de générer les valeurs de O('), i 2 1. Soit 9, = y, - Bo - Prst7 étant donné les valeurs de st et de,b, l'équation 2.4 devient un modèle linéaire standard : Soit ïjt le vecteur des variabies du côtt gauche de l'équation 3.3 et soit Y la matrice des variables du côté droit. La loi a posteriori est une normale-gamma :

35 Les valeurs de oz peuvent être tirées de la distribution a posteriori inverse-gamma de l'équation 3.5. Ces valeurs peuvent être utilisées pour tirer des valeurs de la distn- bution normale de l'équation 3.4, Soit ÿt le vecteur des variables du côté gauche de l'équation 3.6 et soit P la matrice des variables du côté droit. Puisque 0; est connu, la loi a posteriori de,6 est : - où AB = (-ai' + PY)-' et B = -&(Âilg + Y'$. Les valeurs de distribution normale tronquée de l'équation 3-7. sont tirées de la

36 Puisque les états sont inconnus, ils sont traités comme les autres paramètres inconnus et également andysés à l'aide de l'échantillonnage de Gibbs. ALBERT et CHIB [II ont simulé respectivement la séquence {St}F dans Ie cadre du modèle de changements de régimes à probabilités constantes alors que FILARDO et GORDON [9] l'ont simulé dans le cadre du rnodèie de changements de régimes à probabilités flexibles. La distribution conditionnelle complète de la séquence (St)T est une loi de Bernouilli rnulîinomiale et dépend des états àt - 1 :...: t - T dupasséetdes états futurs t + 1,... :t + r. Soit Y, = (y,,..., y,); Sn = (so,..-, sn) et Xt = {so;...; s,-~' stil:...: st}. La dism- bution conditionnelle complète est :

37 où r = 4. Un développement en profondeur de l'équation 3.8 est donné par ALBERT et CHIB [l]. Une stratégie consiste à prendre les valeurs les plus récentes de ST et de procéder par récursions rétrogradées. Les valeurs de st peuvent être simulées d'une série de distri- butions BernouIli utilisant les probabilités générées par l'équation ci-haut. L'application du théorème de Bayes permet d'obtenir 7F. La probabilité conditionnelle a posteriori que so = 1 est :

38 Étant donné la valeur de?r, so peut être simulé à partir d'une loi de Bernoulli. Une fois l'étape 2 terminée et les états St générés, le modèle devient un modèle probit. Étant donné les valeurs de 6 et l'inégalité P(St = 1) = P(S; 2 O) de l'équation 2.13, les valeurs de st peuvent être simulées à partir de la distribution normale tronquée appropriée. Étant donné s;, l'équation 2.14 S; = 60 + bzg i bsst-l t pt devient une régression linéaire avec variance unitaire. Soit W la matrice des variables du côté droit et soit le vecteur sr = sr. La distribution a priori devient : - où As = (-3; ' + VVW) et 8 = As (Â;' d + Wf s'). Les valeurs de 6 peuvent être générées à partir de la loi multivariée de l'équation Étant donné les valeurs de 6, les probabilités de transitions p, et q, sont facilement obtenues à partir de la fonction de densité cumulative normale de l'équation 2.15 pour t = (1 + r;...: 7') Algorithme de ~'échanti~lomage de Gibbs Le tableau 3.1 qui suit résume la simulation des tirages artificiels des différents paramètres du vecteur O. Les étapes un à trois forment un tour de l'échantillonnage de Gibbs. Un tour est composé de plusieurs itérations. Après chaque tour, les vaieurs des paramètres

39 ES-ON de B permettent d'obtenir les distributions conditionnelles du modèle. Étant donné que l'échantillonnage de Gibbs converge en loi vers la distribution conditionnelle conjointe P(B 1 X), la moyenne a posteriori de B est : où Bi représente la valeur de 0 après le ième tour, i = {1,2;...: N) et n indique les quelques centaines d'observations qui sont mises de côté dans le calcul de la moyenne a posteriori. Puisque Bi converge en distribution vers P(0 1 X), alors la moyenne de l'échantillon & converge vers l'espérance E[B 1 XI. TABLEAU Étapes de l'échanallonnage de Gibbs - Etape 1 Forme de la distribution Normale Gamma-Inver s e Normale Tronquée Bernouilli Bernouilli Normale Tronquée Normale

40 Chapitre 4 Description des données 4.1 Données sur la production industrielle Les données américaines sont utilisées pour évaluer l'habileté du modèle à expliquer la dynamique des cycles économiques. Les données ponant sur la production indusnielle américaine approximent l'activité agrégée1. L'échantillon couvre la période 1954 : : 08. Cette série mensuelle et désaisonnalisée provient du Federal Reserve Board. Ces données ont été utilisées antérieurement par F~LARDO [8] ainsi que par FILARDO et GORDOX [9] dans Ze cadre du modèle de changement de régimes. La production indus- nielie américaine représente donc la variable endogène du modèle. 4.2 Données sur les variables financières Les flucruations haussières et baissières concernent non seulement le cycle économique, mais également le cycle financier. Pour respecter la problématique du rôle prévisionnel des phases du marché financier sur le cycle économique, le cycle financier est caractérisé par ' ~ e niveau de production est un indicateur de base pour l'activité agrégée. L'industrie de biens durables représentée par la production industrielie est procydique et coincidenre avec le cycle économique.

41 deux états : le marché haussier et le marché baissier. Ces données discrètes pourraient expliquer davantage le marché des biens que les variables boursières continues. FILARDO [8] a déjà utilisé l'indice Standard & Poor's 500 continu- L'intérêt est de voir si la dichotomisation de la variable explicative en deux phases apportera des résultats différents. Le S&P 500, deuxième indice boursier le plus consulté aux États-unis, est plus approprié que les autres indicateurs tels le Dow Jones et le Nasdaq pour representer le cycle du marché financier. Ces derniers, composés à partir de moins de titres que le S&P 500'. ne peuvent guère représenter le cycle financier américain Données sur le ratio cours-bénéfice du Standard & Poor's 500 Deux variables sont utilisées pour déterminer le cycle financier. Elles couvrent également la période 1954 : : 08. La première variable considérée est Ie ratio cours-bénéfice du S&P Pour identifier Ies creux et les sommets du ratio cours-bénéfice du S&P 500, une règle du pouce est utilisée4. Le tableau A2 de I'annexe A résume les caractéristiques du taux de capitalisation des bénifices du S&P 500. Sur 548 observations entre janvier 1954 et août 1999, le ratio prix de l'actif sur bénéfice par actif est caractérisé par 11 sommets et par autant de creux. Il comporte dix cycles complétés en plus de celui en cours. '500 titres composent Ie S&P 500 comparativement à 30 pour Ie Dow Jones. 'ce ratio financier est le plus important et le plus utilisé dans l'évaluation de rentabilité des fimes, I'amait et la séiecaon de titres financiers. Également appelé le taux de capitalisation des bénéfices ou encore le price earnings rario, il s'obtient en divisant Ie prix de l'action ordinaire par le bénéfice par action ordinaire. 'Un poinc tournant est identifié avec la règle du pouce : si un changement quanutatif de la variable enue deux dates est supérieur ou égal à 30% et que l'écart séparant ces deux dates totalise au moins six mois. À cette fin, les données en niveau ont été soigneusement analysées. L'un des avantages de cette technique simple est sa flexibilité, utile lorsque qu'une phase comporte des facteurs et des conditions uniques. Pour un résumé des différentes méthodes de mesure des cycles, voir le chapitre vois de NIEMIRA et f f i ~ N t [21] ainsi que BOLD~N [2].

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