FAMILLE DE VECTEURS, BASES EXERCICES

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1 EXERCCE 1 : O cosidère das AMLLE DE VECTEURS, BASES EXERCCES 4 les vecteurs u 1,,,4 et v 1,,, 4 1) Peut-o détermier deux réels x et y pour que le vecteur w ( x,1, y,1) appartiee au sous espace egedré par les vecteurs u et v? ) Peut-o détermier deux réels a et b pour que le vecteur t ( a,1,1, b) soit combiaiso liéaire des vecteurs u et v? EXERCCE : O cosidère das l espace vectoriel les trois u,1, ; v 1,,1 ; w 1,5,0 vecteurs 1) Motrer que le vecteur w appartiet au sous espace egedré par les vecteurs u et v u, v, w est-elle libre? ) La famille EXERCCE : O cosidère das les vecteurs u 1,1 ; v, 1 ; w,4 ; t 1,5 1) La famille u, v, w est-elle ue famille géératrice de base de? ) La famille,,, base de? ) La famille, u v w t est-elle ue famille géératrice de uv egedre-t-elle? Ue famille libre? Ue base de EXERCCE 4 : 1) Démotrer que les vecteurs de? Ue famille libre? Ue? Ue famille libre? Ue? Cette famille est-elle ue famille géératrice de? u 1,1 et v 1,0 ) Préciser si les familles suivates de vecteurs de : costituet ue base de sot ou e sot pas des bases de a)u, v avec u 1,1,0 et v 0,1,1 b)u, v, w avec u 1,,1 ; v 1, 1, ; w 1,0, 1 c)u, v, w avec u 1,,0 ; v 1,1,1 ; w,0, d)u, v, w, t avec u 1,,0 ; v 1,1,1 ; w 5,, ; t 0,, EXERCCE 5 : O cosidère das les deux sous espaces vectoriels vect 1,1,0 ; 0,1, et vect,1, ; 1,0, Motrer que EXERCCE 6 : 1) Motrer que la famille 1,, ;,,1 ;,1, est ue famille libre de ) E déduire, sas calcul, que la famille ) Cette famille est-elle ue base de 1,, ;,,1 est ue famille libre de 1

2 EXERCCE 7 : Soit E u espace vectoriel réel de dimesio et B e, e, e 1 ue base de E O poseu e e, v e e1, w e1 e Motrer queu, v, w est ue base de E EXERCCE 8 : Das x o cosidère les foctios P1 : x x 1; P : x x x 1; P : x x Motrer que la famille P, P, P est ue base de EXERCCE 9 : 1 x Soit P X 1, P X X 1, P X X Motrer que la famillep, P, P est ue base de X EXERCCE 10 : Pour k 0,,, o pose P 0 1et pour tout etier k 1 P Motrer que la famille,, 0 P P est ue base de X k 1 1 X X X k k! EXERCCE 11 : Calculer le rag des familles de vecteurs suivates de : 1) x1 1,1,0 ; x 1,0,1, et x 0,1,1 ) x1 1,,1 ; x 1,0,, et x 1,1, EXERCCE 1 : Détermier la dimesio de l espace vectoriel Vect A, B, C où 1 4 A ; B ; C EXERCCE 1 ; Détermier la dimesio du sous espace egedré par la famille où f, g, h f x e g x e h x e x x x : ; : ; : EXERCCE 14 : Calculer le rag des matrices suivates : 1) A 1 0, B, AB et BA ) A b c c a a b, avec abet, c trois réels disticts deux à deux bc ca ab avec

3 ) a b 0 A 0 a b, avec a et b deux réels quelcoques b 0 a EXERCCE 15 : 1) Détermier la dimesio du sous-espace E de egedré par la u, v, w, t u 1,1,1 ; v,0, 1 w,1,0 t famille avec et,1,0 a b b E b a b ; a, b est u espace vectoriel sur dot o b b a précisera la dimesio E x, y, z / x y z 0 et x y z 0 est u ) Démotrer que ) Démotrer que l esemble espace vectoriel dot o précisera la dimesio x, y, z / x z 0 est u espace vectoriel Préciser la 4) Motrer que E = dimesio de E 5) Soit E l esemble des foctios umériques f pour lesquelles existet trois réels a, b, c tels que : x x f ( x) e ( ax( x 1) bx c) Motrer que E est u espace vectoriel sur dot o doera ue base 6) Motrer que l esemble E P X / P1 0 est u espace vectoriel réel dot o précisera la dimesio 7) Motrer que l esemble E P X / P1 P1 0 est u espace vectoriel réel dot o précisera la dimesio E u /, u u u est u espace 8) Motrer que l esemble 1 vectoriel réel dot o précisera la dimesio EXERCCE 16 : Détermier la dimesio du sous espace E de x egedré par les foctios polyômes : f : x x 1 ; g : x x x 1 ; h: x x Que peut o e coclure? EXERCCE 17 : O cosidère das l espace vectoriel les vecteurs u,1,1 ; v 1,,1 ; w,1, 1) Motrer que u, v, w est ue base de ) Détermier les coordoées du vecteur t 1,1,1 das la baseu, v, w EXERCCE 18 : 1) Motrer que la famille X 1, X, X X 1 est ue base de X ) Détermier les coordoées d u vecteur quelcoque de X das cette base

4 EXERCCE 19 : (EDEC 000) Soit la matrice = J O ote E l'esemble des matrices M de M vérifiat : M = M = M 1) a Motrer que E est u espace vectoriel b Motrer par l'absurde qu aucue e matrice de E 'est iversible a b c ) Soit M = d e f J ue matrice de E g h k Motrer que : k = g = c = a, h = b et f = d, puis e déduire la forme des matrices de E Retrouver le fait que les matrices de E e sot pas iversibles Détermier ue base de E et vérifier que dim E = 4 x y x ) O cosidère l'esemble des matrices de la forme y z y x y x Vérifier que est u sous-espace vectoriel de E et doer ue base de J où x, y et z sot des réels EXERCCE 0 : ( ESC 1998 ) O cosidère les matrices de M : , A 1 0 1, B 0 1 0, O M telles que AM MA Soit E l esemble des matrices M de Partie A 1) Vérifier que B appartiet à E ) Soit u etier aturel, motrer que A appartiet à E ) Détermier les réels x, y, z tels que x ya zb O a b c 4) Motrer que E est l esemble des matrices de la forme b a c b avec a, b, c c b a réels E déduire que toute matrice de E est combiaiso liéaire de, A et B et que E est u sous espace vectoriel de M 5) A l aide des résultats précédets, motrer que, A, B est ue base de E 4

5 Partie B ) Soiet P 0 et Q Calculer le produit PQ E déduire que P est iversible et exprimer so iverse e foctio de Q 1 * 1 Calculer la matrice D P AP et motrer que : A PD P ) E déduire les coordoées de la matrice A *,, das la base de E EXERCCE 1 : (EC 1990) O cosidère les matrices suivates de M : A et Soit X la suite d élémets de M défiie par la coditio iitiale X0 A et la 1 relatio de récurrece : X 1 X A 1 O se propose d exprimer X e foctio de A,, 1) O cosidère les trois élémets suivats de,1 Motrer que caoique de,1 ) Calculer B V1, V, V est ue base de M,1 M à la base V, V, V 1 E déduire que : A A M : V1 0 ; V 1 ; V Doer la matrice de passage P de la base 1 Détermier la matrice B P AP ) a) Motrer que la famille A, est ue famille libre de M b) Motrer que, pour tout etier aturel, il existe u couple uique, de réels tel que : X A c) Exprimer et e foctio de 4) Motrer que, pour tout etier aturel, la matrice X est iversible et que so iverse est de la forme A où et sot des réels que l o détermiera 5