Ondes da ns l es m i l i eux er m ielsa t

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1 Ondes da ns l es m i l i eux er m ielsa t Chapi tr e Milieu x t ra n sp aren ts É.1tude des o ndes dans l es milieux eri els mat On de dans un mi l i eu eri mat el:la pr o pa ga tio n des e o le ndes c tr o ma etiques g n da ns le vide m` ene `a de equa s tio ns simples, du fa it de la simplifica tio n initia e q ua le tio des ns de Ma xwell : da ns le vide, ρ= 0 et j = 0. On a a lo rs montr e que les cha mps ele c- tr ique et ma etique g n de l o nde e r v ifient de equa s tio ns a ux e r d iv ees pa r tielles s imples, E = 1 E c 0 t et B = 1 B c. Un cer ta in no mbr e de so lutio ns exa ctes de ces 0 t e q uations (dites de d Alemb ert) sont connues: les o ndes pla nes (O les P ), ondes pla nes pr og r ess ives (O et PP bien ), s ˆur le ca s pa r ticulier des o ndes pla nes pr og r es s ives et mono chromatiques (OPPM). L étude de la pr o pa ga tio n da ns un milieu e r ie ma l (ρ t = 0 j ou = 0) es tév ide mme nt mo ins simple ; on do it disp oser mod` d un ele de comport emen t des charges p er metta nt d expr imer ρ et j en fo nctio n de E et B (e téventuellement d a utr es pa etr ra es: m` pr ess io n ou temp era ture par exemple). Il s ag it souvent d un elemécan mo d` ique, qui mène `a des équ at ions const it, ut p ives er metta nt d expr imer j. ρ et To utefo is, l inclusio n equa des tio ns co nstitutives du etudi milieu e ne p er met pa s e-fo r c ment d o btenir une equa tio n a ux e r d iv ees pa r tielles simple, ni sur to ete ut de r miner d la fo r me enér g a le des so lutio ns de equa cette tio n diff er entielle. On pr ede o c`a lo rs da ns un ca dr e plus r estr eint, pa r la r echer che de so lutio ns so us fo r me d O PP M. L a re ch e rc he de s OPPM: le princip e de cette etude co ns is te etudie `a r les co e-ns q ue nc néces saires de la pr o pa ga tio n d O PP M da ns un milieu er iel, ma pa t r la pr ise e n co mpte s implifi e e de equa s tio ns de Ma xwell et equa des tio ns co nstitutives du milieu étudi e, da ns le ca dr e r estr ictif des OP L étudeéta P M. nt r estr einte `a des gr a ndeurs sinusöıda les, to us les ca lculs e r de iv ees d pa r tielles se s implifient et on pa r v ient so uvent `a des r ela tio ns plus simples `a ete inter r q u une pr equa tio n a ux e r d iv ees pa r tielles. C e tte etude se fa it en enér g al da ns le ca dr e de la no ta tio n co on mplexe: écr it a lo rs les cha mps de l o nde, et les dens es it vo lumiques ρ et j so us la fo r me E = Re(Ē ), B = Re( B ), ρ = Re ρ ( ) etj = Re( j), avec la fo r me ené g r a le: W = W 0 exp [i ( t k r)] (37.1)

2 716 Physique, MP, MP* o `u on choisit par convention0, ta ndis quek et W 0 so nta priori des vecteurs c o mplex es. Une telle no ta tio n n a erêt d int que du fa it qu elle tr a nsfo r me er les a teur o p s de e r d i- va tion en op er a teur s ea lin ir es, co mme on ejà l a vu d au cha pitre ecéde pr nt: t =i e t = ik. Un tel cho ix n est jus e tifi que si en l sem ble de s e q ua tio etudi ns ees fo r me un sy s eme t` lin ea ir e. C est bien s ˆur le ca equa s des tio ns de Ma xwell, ma is ce do it a ussi êtr e le ca s des equa tio ns co nstitutives. Milieu x lin ea ir es Un milieu ma e t r ie l es t dit ea lin ir e si equa les tio ns co nstitutives expr ima nt ρ et les tro is comp osa jntes en fonction des six comp osa ntes E et de de B so nt des r ela tio ns e a lin ir e s. No us no us limiter o ns, da ns to ut ce qui etude suit, `a de l milie ux e lin a ir e s É.quati o n de disp ersion R app els et e xemples: l écr itur e des co nditio eces ns n sa ir ement e r ifi e v es pa r une O P P M(Ē, B ) co mpte tenu de equa s tio ns de Ma xwell et equa des tio ns co nstitutives mène en g ené r al`a unéequ at ion de dispersion, qui prend la fo r me k = k( ).C e st l a na lyse de cette equa tio n de disp er sio n qui p etudier er met les d pr o eté pr s i des o ndes é le c tr o ma etiques g n da ns le milieu e ma r ie t etudi l e. Si un op er a teur cher che `a tr a nsmettr e da ns er le ie milieu etudi l e ma une t o nde q ui n e st pa s une OP P M, il est enér g al to ujo ur s p ossible ecomp de d oser l onde prop e e os s ur la ba se des OP P M, do nc etudier d le comp ortement de chacune de ces comp osa ntes lo rs de la tr aver e e s du milieu etudi e. À la so r tie du milieu ma e r t iel, o n r eco ns titue l onde totale qui est la somme des comp osa ntes OPPM e e imp s en o entr s ee, cha cune d e lle eta s nt, eventuelle me nt, epha d e s e, a enu tt e e, e tc. Rapp elons ici qu `a l o ccasion etude l g ené r a le de s o ndes ebut en d d a nn e e,no us avons eu l o ccasion de es pr enter q uelq equa ues tio ns de disp er sio n simples ; on do it les r ec o nnaˆ ıtr e sa ns es h iter. D a b or equation d, l de d Alemb ert Ē = 1 E c t = 0 (da ns la quelle c n est pa s eme fo r c nt e g a l 0) `ac s é cr it a us ks i = c : Équation de d Alemb ert: k = c (37.) De mê me,l équa tio n de K lein-go r do Ē =a n Ē + 1 E c, o `u a est une co nsta nte t p ositive, sera eq fr uemme nt r enc ee o da ntr ns etude l de s o ndes e le c tr o ma etiq g ues n. E lle imp os e k =a c o u, avec des no ta tio ns cla ssiques: É qua tio n de K lein-go r do n: k = 0 c (37.3)

3 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 717 Enfin, o n a r e nc o e ntr, lo rs de etude l de l effet de p ea u (effet K elv l équa in), tio n de K elv in Ē =µ 0γ Ē t qui imp ose k =µ 0 γ iē ou, de fa c o n plus ené g r a le: É qua tio n de diffusio n (K elvin): k = i D (37.4) o `u le co efficient D, qui se mesure etr en es m` ca es r r pa r seco nde, est do coefficient nc un de diff u sion. M ilieux transp aren mi ts, l i eu x ab s orb puisque an ts: est pa r hyp e o s th` e eput r e p os itifda ns une equa tio n de disp er sio c e n, s t etude l dek qui no us r enseig ne sur la na tur e des OP PM s usceptibles de se pr o pa g er da ns etudi le milieu e. Ains i,s il exis te des so lutio réel ns lesp o ur le vec te k, ur a lo rs des OP PM p euvent se pr o pa g er san s at en t u at. ion pa r co ntr e, si les so lutio es ns entent pr une pa r tie co mplexe, elle sera r epr es ent ee dans exp [i ( k t r) ] pa r une exp o nentielle réel le, do nc par une var iation de l a mplitude de l o nde lo rs de so n pa ssag e da etudi ns le e. milieu Les sig nes r ela tifs de la pa eelle r tie et r de la pa r tie ima g ina kir o e nt deune gr a nde imp ortance physique puisque exp [i ( t kz )] = exp [i ( t Re(k )z i Im(k )z )] p eut s écrire sous la forme exp [i ( t Re(k )z )] exp (Im(k Lo rs )z d une ). pro pa ga tion dans le sens p ositif de l axe (O z ), on aura Re(k ) > 0 mais enéral aussi en Im(k g ) <0 p our ecr d ir e une enua a tt tio n pr og r ess ive de l o nde. Da ns le cas e fr q uent o `u le vec complexek te ur p eut s ecr ir e so us la fo k r = me ku,le ve cte uru éta nt e r elet unita ir e, on cho isir a do nc lo g iquement ec r irēk =k d ik. Si ce ve cte k ur= (k ik )u est une solutio n de equa l tio n de disp er sio n, le vecteur u définit la dir ectio n de pr o pa ga etudi tio ee, n et on p o ur ra no u ter r = z par cho ix a r bitra ire de l axe (O z ) u. selon o n o btient donc exp [i ( k t r) ] = exp [i ( t k z )] ex p ( k z ): on dé cr it ici `a la fo is un ph eno m` ene de pr o pa ga tio n (pa r le co efficientk ) et un ph eno m` ene d a enuatio n (pa r le co efficientk tt ), a u mo ins sik etk so nt p ositifs. Da ns un ca s d a bsor ptio n, l amplitude de l o nde e c d r ıt oˆ exp o nentiellement avec la dista nce pa rco ur ue : on pa r le d on de evan es cen te Si k etk so nt to us deux e n g a tifs, l inte r eta pr tio n phys ique est incha ee ma ng is la pro pa ga tio n co mme enuation l a tt se font dans le sens o e`aez pp o ; s pa r co ntre, k si e tk ne so nt pa s de eme mˆ sig ne, on e d c r it un eno ph m` ene d a mplifica tio n de l o nde. Une telle situa tio n est ra re ma is ne p etr eut e pa exclue sˆ da ns un milieu jo ua nt le r ˆo le de so ur ce ene d r g ie. Da ns le ca s de l a bsor ptio n, la va r ia tio n d a mplitude de z) l onde es t as exp so ee ( k ci `a une dista nce ca er ra istique ct δ do e nn e pa rk δ = 1. On r etiendr a: Pro pa ga t io n et ab sorp t io n d es elec on t d ro es ma et g iq n u es L o r s q ue equa l tio n de disp er sio n a p our k so =(k lution ik )u, l o nde s e pr o pa ge le lo ng du vecteur unita u avec irele vecteur d o ndek. Elle es t a bs e o e r b (sik k > 0) ou amplifi e e (sik k < 0) avec une dis ta nce c a r a er ct is tiq ue δ = 1/. k Un milieu ma er t iel est dit tr a nspa r ent s il est no n a bsor = 0) bant ou p (keu a bsor ba nt (δ λ). Da ns le ca s co ntra il ire, est dit o pa que (a u mo ins p o ur le doma ine de fré q uenc etudi e e).

4 718 Physique, MP, MP* Di sp e rs io n dans un mi li eu trans si p une arent: o nde se pr o pa ge avec un vecteur d onde de pa r tie ee r lle k = k, rapp elons ici qu on p eut e finir d de ux v ite s se e a ess o c i `a la pr o pa ga tio n. La vitesse de pha se: v ϕ = k (37.5) décr it la vitesse de pr o pa ga tio n de la pha se d une OP PM ; elle n a pa s to ujo ur s de s i- g nifica tio n physique simple et en pa r ticulier elle est, da ns de no er mbr ie ure eux ca s, sup `a la elé c r elimitec it 0 prévue pa r la eo th r ie r ela tiviste. La vitesse de gr o up e: v g = d dk (37.6) s identifie, elle, so uvent `a la v itess e de tr a ener ns p g or ie t pa de r l l o nde. E lle est da ns c e c a eces s n sa ir ement er inf ieur e ou e g a le 0. `ac Da ns le cas d une equation de d Alemb ert = ck ϕ =v,v g = c p o ur to ute va leur de ; on dira que la pro pa ga tio n se s fa an its dispersion. Da ns le ca s de equa l tio n de K lein- Go r do nk = 0 c, la pro pa ga tio n se sans fa itat en t u at ion si > 0, avec c p o ur vitesses de phase et de gro ϕ = up ev 1 0/ etv g =c 1 0/. On dira que 0 es t unepu lsat ion de cou pu re. basse La relat ion simp vϕ levg = c est assez frappante et corresp a ond` d e n ombreux prob emes l` physiques courants dont la elisa mo t d ion en m`e` a un e eq u ation de Klein- Gord on ; t ou t efois, on ne d oit su rtou enéraliser t pas g cet eq te u ation q n ui est vra ie q ue p ou r cette equation de disp ersion particuli` ere. Pa r co ntre, si < 0, k est ima g ina ir e pur : il n y a plus pr o pa ga tio n egi et le milieu r pa r l equa tio n de K lein-go r do n est o pa que. Enfin, da ns le cas d une equa tio n de diffusio n (de K elvin)k = i, la solution D géné r a le k =± 1 i δ ave c δ= D a bsor ptio n avec la mˆ de l e ffet de p ea u. ; on a ura do nc syst ema tiquement pr o pa ga tio n et eme dis ta nce ca er ra is ct tiq ue δ, co mme on ejà l a vu d da ns le cas Descripti o n des milieux co nducteurs Co urant et co nductivit e: da ns un milieu ea lin ir e, la dens e vo it lumique de co ur a nts j est une fo nctio n eaire lin des comp osantes Edet deb, ou de leur s e d r iv e es.en génér a l, il s a g it seulement d une fo nctio n des co mp E ; osa tr a ntes duisa dent les e r d i- vées temp or elles pa r des multiplicatio ns pa r i, on p ecr eut ir so e une uvent expr ess ion de la fo r me: j = [ γ] Ē (37.7)

5 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 719 c e q ui efinit d lamat rice condu ct ivit e stohmiqueou suit la lo i d Ohm γ si ] [ =γ 0 e complexe[ γ ]. En particulier, on dira que le milieu o`uγ 0 > 0 ; on dir a a ussi que le milie u s uit la enér g a lisa tio n (co mplexe) de la lo i d O γ ] hm = γ () si [ o`u γ ( ) est la conductivit e mple xe du milieu. Ces deux ex emples p or tent a us si le no m de milieux ea lin ir es iso tr op es. Pa r co ntr e, da ns une milieu tel que la ma tr ice co e n est nductivit pa s pr op or tio nnelle `a la ma tr ice identit e, on pa r ler an a d is ot ropie de la co nductiv e : it c elle - ci es t plus ou mo ins ele ee v selo n l o r ienta tio n du e cha lec mp tr iq ue. Charg es dans un milieu co nducteur: un milieu co nducteur es t a en us g ené si r al cha rg e, ma is ce n est pa s une o blig a tio n : on p eut o bser ver des co ur a nts vo lumiques da ns un milieu globalement neutr e, si les cha rg es p o s itives ega tives et n se comp ensent mais n ont pa s eme mˆ v ites s La e. dens it e vo lumique des cha rg electr es iques es t en géné r a eter l d min e e pa r equa l tio n de co ntinuit ediv j + ρ = 0 ou,da ns le cas d un t milie u lin ea ir e, i k j + i ρ = 0. On aura do nc ené g r al ρ= k [ γ]ē. Da ns le ca s des milieux suiva nt d O la loi hm ené g r a e lis e,on é c r ir ρ a = γ () k Ē ; d a utre pa r equa t, l tio n de Ma xwell-ga uss E = div ρ prend la fo r me k i ε Ē = ρ ; 0 ε 0 i γ () la co mpa ra iso n avec l expr ess ecédente io n pr fo ur nit ρ 1. Le ter me entre ε 0 pa r enth` eses ne s a nnule ené g r alpa s,sa uf pa r fo is p o ur une va leur e pa r r e ticuli` de la pulsa tio n, qui p or te a lo rs le no m de pulsa rés on tio an n. de On ce no tera do nc en géné r a l: Da ns un milieu o hmique ené g r a e lis, s a uf e s r o na nc e: ρ =0 (37.8) r ela tio n qu o n inter ete pr` du fa it de la mo e bilit des p or teur s de cha rg e da ns un milieu o hmiq ue:ils se dépla cent ra pidement, so us l a ctio n du champ e lectr o ma etiq g n ue de l o nde,p o ur a nnuler la cha rg e des p or teur Il s p fixes. eut cep enda nt exis ter une pulsa tio n de e r s o na nc p o e, ur la quelle l a mplitude des mo uvements des p or teur s de cha rg e mo biles a ug mente et se tr a duit pa r enéité des inho s de mo la cha g electr rg e iq ue: le milie u r e globalementmais s te paslocalementneutr e Ondes dans les plasmas 3 7. É.1quati o ns co nstitutives des milieux o hmiques Co nd uc ti e o l n ectri que e en g r i me vari able: no us co nsid e r o ns ici un milie u co m- p ortant un cer tain nombre de par ticules ees char mo g biles en co ncentr a tio n vo lumiq uen 0, de cha rg e unita ire so q, umis a ux effets du pa ssag e d une e o lectr nde o- ma g etique n pla ne pr og r ess ive do nt les e cha cr ive mps Ē nt= s Ē 0 exp [i ( t k r)] et B = B 0 exp [i ( t k r)]. So us l influence de cette o nde, les pa r ticules ees co cha ns r titua g nt le milieu er a ent cqui` une cer ta ine vitesse qu o n p es eut, un a cer pr`ta eg in r ime tr a nsito ir e que no us ne co nsidér er o ns pa s tr ici, a iter da ns la no ta tio n co mplexe eg ime du r s inuso ïda l p er ma nent,

6 70 Physique, MP, MP* v = v0 exp [i ( t k r)] e t c e tte v ite s s etr e p e ete eutˆ d r min ee pa r a pplica tio n du pr incip e fo nda menta l de la dyna mique, so us la a fo = r fme o`ua est l a cc elé r a tio n, dm dτ f dm la dens e it vo lumique de fo r ces ees exer s c ur ces pa r ticule s, et dτ =n 0m est la ma sse vo lumique du milieu co ntinu e fo des r m pa r ticules cha ees. r g La dens it e vo lumique de fo r ces co mpr end des ter ep mes enda ind nts du pa ssa ge de l o nde (fo r ces de esio coh n da ns le milieu so lide, fo r ces de pr ess io n da ns le milieu fluide, p esa nteur, etc.) ma is a ussi des ter es `a mes la li mis e en mo uvement des cha rg es so us l effet du cha mp. Les pr emier s s a nnulent en pr incip e en p er ma nence mutuellement da ns la situa tio n de rep os du milieu e cha quipréexista rg it au pa ssa ge de l o etnde, nous supp osero ns ici qu il en va toujours eme de lo mˆ r sque celle- ci se pr o pa g e. No us ne tiendr o ns do nc co mpte que des fo r ces explicitement ees au pa ssa li ge de l o etudi nde e e. E n pa r ticulier, on pr endr a en co mpte e vo la densit lumique de fo e r lectr ce o ma etiq g n ue pr o pr ement dite, fem =n 0 q[e + v B ] et la dens e it vo lumique de fo r ces de fr o ttement de ty p e v is q ueux, liée `a la mise en mo uvement des p or teur s de cha rg e mo bile m (s o uvent, le sélectro ns) pa r ra pp ort au r este du milieu, fv = n 0 v o `u τ es t une τ g ra ndeur ca er ra is ct tiq ue qui a l unit e d une dur e e. O n a d ejà eu l o ccasion ecr d ir e que l a elér cc a tio n da ns un milieu co ntinu e cr it,en s prem ere i` approx imat, ion a = v, d o `u: t m v t =q( E + v B ) m v (37.9) τ Da ns de tr` es no mbr eux ca o s, n p e ut enc o eg r e lig n er da ns cette equa tio n le ter me ma g etique n si le milieu o `u se pr o pa ge l o dépou nde est rvu de t ou t champ et magn ique s t at ique, do nc sib désig ne bien le seul cha mp d ˆu `a l o nde. On p eut alo rs utiliser p our ce der nier une no ta tio n co mplexe et expliciter equa tio l n de Ma xwell-fa ra day so us la fo rme B = k Ē, donce E. v ϕ C o mme de plusv ϕ es t en g c o mme o n le ve r v ϕ r a, ma g etiq n ues et electr iques es t a lo rs: enér al de l o r dr e de gr a ndeur 0 (ave decc mˆ e me s o uvent, E c 0 ), on en déduit q ueb. Le rapp ort des for ces c 0 qv B qe v c 0 1 (37.1 0) On notera l imp ortance de cette relation, qui p ermet,avec l a p proximat ion ejà d fait e con cern an t l expression eléra de l acc t ion, la linéarisa t ion eq d e uat ions d ynamiques des mouvements des charges dans n imp orte quel eriel. milieu Lorsq mat ue la linéarisa t ion, n est p as p ossib la le, prop agat ion d es on elect d es roma et gn iq u es s accomp agn e d effets n eaires on lin : ch an gemen ts eq de u fr en ce, p ar exemple. L équa tio n diff er entielle a ins i s implifi e em v t =qe m v a dmet a lo rs p o ur so lution τ q pa r tic er uli` e l o nde v = v0 exp [i ( t k r)] o`u v0 = Ē 0 ; on en d eduit m (1 / τ + i) la dens e it vo lumique de co ur j =n a nt 0 q v :

7 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 71 j = γ () Ē γ ( )= γ 0 1 +i 0 (37.1 1) fa is a nt de to ut milieu co nducteur un milieu o hmique de co e γ nductivit ( ),dé c r ite co mme un filtr e pa sse- ba s d o r dr e un, avec la e co sta nductivit tiqueγ 0 = n 0q τ et la m pulsa tio n de co upur 0 = e 1. Da ns le ca s d un milieu co e nstitu de plusieur s typ es de τ γ 0k cha rg es, on p o urra eme a is nt enér g a liser l expr ess io n ci- γ dessus, ( )= k 1 +i 0k Co mme on l a vu plus ha ut, un milieu tel co nduc te ur t est oujou rs neut, sa re uf da ns le ca s d une e r s o na nc o n e; p eut che r che la r ici co nditio n de es r o na nce e en c r iva nt les deux expr ess io ns ρ, de is s ues de equa l tio n de Ma xwell-ga ρ uss = iε 0k Ē et de γ 0 l équa tio n de co ntinuit e, ρ= 1 k Ē. Le co efficient de pr op or tio 1 + i / e entre nna lit 0 ρ etk Ē ne p o uva nt `a la etr foisˆ e ima g ina ir e pur (da ns la er pr e rela emi`tio n) et avo ir une pa r tie eelle r (da ns la seco nde), on en co nclut ρ = que 0 et do nc que k Ē =0. Ch arg e da ns les milieu x co nd uc t eu rs E n rég ime sinuso ïdal, un conducteur ne p eut pas comp orter de charges vo lumiques. Si un tel milieu es t e, cha il ne r g p eut comp orter de charges qu en sur fa ce. Le cha mp e le c tr o ma etique g n d une OP PM da ns un tel milieu es e- t fo r c ment tr a ns ver k se: Ē =0. E ffet Jo ule dans les co nducteurs: on r ema r que que la co nductivit e γ () est en géné r alc o mple x ce e, qui tr a duit un r eta rd de pha se `a la mise en mo uvement des p orteurs de charge par rapp ort au champ e lec tr iq ue. Da ns to us les ca s cep enda γ nt, ( ))= Re( γ > 0. Cette pa r tie ee r lle r end co mpte de l effet Jo ule da ns le milieu, puis que la e dens vo lumique it de puissa nce p er due par le cha mp au pro fit de la ma er ti` e cha e r e g s e c r it, en moyenne temp orelle, p J = 1 Re( j Ē ) so it a us psi J = 1 Re γ ( ( )) Ē >0. L a p er te ene d r g e ie lec tr o ma etique g n pa r tr a nsfer t `a er la e ma est ti` do nc une pr eté o pr i génér a le des milieux co nducteur qui se s, tr a duit en ené g r alpa r un a ffa iblissement prog r ess if (pa r fo es is ra tr` pide) de l o nde lo rs de sa pr o pag a tio n. Cl as s i fi cati o n des mi l i eux co no nducteu us disting rs: uer o ns da ns la suite les milieux co nducteur s plus ou mo ins denses, en fo nctio n de la va leur de la co nsta nte τ. P lusτ e s t p etit, plus le ter me de fro ttement est imp ortant; on p eut en fa it mo ntrer queτ fo urnit une b o nne eva lua tio n de la ee dur moye nne q epare ui s deux cho cs. Une valeur fa ible de τ co rr esp o nd do nc `a den un milieu se(pa r exemple, so lide ou liquide) ta ndis qu une va leur ele e v e de τ co r r es p o nd `a un peu milieu den se (un ga z pa r exe mple). L esplas m as so nt des milieux co nducteurs peu den ses da ns lesquels les inter a ctio ns entr e pa r ticules cha ees r so g nt p eu intenses, ce qui se tr a duit pa r la fo e r e: me simplifi jp lasma = γ p lasma ()Ē γ p lasma( ) n 0q i m (37.1 )

8 7 Physique, MP, MP* O n en eduit d imm edia tement que γ Re( ) 0, c es t-`a- dire qu en er premi`e a ppr oximatio n, le mo uvement e des le c tr o eta ns nt en p er ma nence epha e d s de π / par rapp ort au cha mp, il n y a pas ecessa n ir ement tr a nsfer t de puissa nce de l o nde er e `a par la ma ti` effet Jo ule. Les pla s mas peu ventˆ et re t ransparents a ux o nde s etude ; l me e n e plus bas mo ntr er a que cette co nclusio ep end n d de la eq fr ue nce de s o etudi ndes e es. L esmét auxco ns tituent le ca s eme ex trˆ exa ctement o e pp a o ux s plasma s ; du fa it de la très fo r te dens e de it ces ma er t ia ux (s o lides ou liquides), les inter a ctio ns entr e co nducteur s y so nt e tr` séle e v e s, 1 (s a ufen très ha ute eq fr ue nce) ce q p ui er me t de τ tr a iter l expr ess io n de la co nductivit e so us la fo r me a ppro e e: ch jmé tal =γ 0E γ 0 0 (37.1 3) L o r dr e de gr a ndeur de cette co nductivit e p eut do ncˆ etr e eva lu e pa r de simples mesur es de es r is ta nce régime en perman ent ; on tr o uve us uellementγ 0 de l o r dre de 10 6 `a 10 7 S m 1. La puis sa nce dis ee s pa ip r effet Jo ule da ns e l unit de vo lume d un etal m s écr it do ncp J = 1 γ 0 Ē > 0 et, du fa it de cette dissipa tio le n, s m eta ux ser o nt pr a tiquement to ujo ur s a bsor ba opaqu nts do es et ncréfléchis s an p tso ur les o nde ele s c- tr o ma etiques g n (s a uf da ns le ca epa s d isseur s extrˆ emement fa ibles ). esulta Ce r t sera d a ille ur eta s bli de ma e ni` r e plus ecise pr da ns le pr o chain cha pitr e. R ap p elon s qu icie,comp te t en u de la valeu elev ee r de la con du ctivit e des m et aux cou ra n t on s, p ou rra au ssi, lors de l étude du comp ortement d es on d es d ans un mét al,négliger le cou rant ep de lacemen d t ; cet te ap proximat ion est presq ue t ou jou rs in valid e d an s le cas d es p lasmas Les plasmas : nature et eri caract s ti q u es L a n a tu re d e s p l la a ha s m ute a s: a tmosph` er e (io no er sph` e) est io ee nis pa r le r ayo n- nement issu du So leil et co nstitue un b on exemple de pla sma. To us les r ayo nnements é le c tr o ma etiques g n iss us de la Ter re ou pa r vena nt ver s elle tr aver sent ce pla s ma, et il est do nc ecessa n ir e de eter d miner les co nditio ns de cette inter a ctio n. E n pa r ticulier, on mo ntr er a qu un tel pla opaqueda sma estns cer ta ins do ma ines equence de fr ; la co uche io no er iq sph ue a g it a lo rs co mme un mir o ir e disp en ha o s ute a ltitude (100 km envir o n) qui g uide le s o ndes e le c tr o ma etiq g ues n et leur p er met Te r re d a tteindr e, pa eflexio r r ns multiples, des p o ints e s s ho itu rs de R E p or ee t dir ecte de emetteur l. Le pr incip e de ce g uida ege (utilis en pa r ticulier p o ur la co mmunica tio n ra dio dite VHF entre aér o nefs ) es t illus e sur tr la fig ur e ci-co ntr e : cepte le r ur E r e- ço it le sig na emis l pa r emetteur l R, a lo rs que R es t a u- dess o us de l ho r izo n de E (en p ointill e s ). E n ré a lit e, la dens e it pa r ticula ir e da ns la ha ute a er tmo e ter sph` r es tr e r ele es e v te e, n m 3, entr e 10 0 et 50 0 km d a ltitude envir on ; la fig ur es e ente 37.1(en r epr échelle lo ga r ithmique) cette e dens pa r it ticula ir e. Da ns cha que do ma ine, on sig na le la na tur e des io ns p ositifs e p pr o e nd r a nts X + da ns ce pla sma g lo ba lement neutr e e, fo r m de ces io ns et e d lectr o ens. O n r enco ntr e bien d a utr es pla ta sma nt da s, ns le milieu na tur qu en el la b or a to ir e; quelq ues or dr es de gr a ndeur des pa dens r ticula it ir es corr esp o nda ntes fig ur ent da ns Ionosphè re

9 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 73 m 3 n O NO + H h km Fig ur e 37.1 Densit e pa r ticula ir e da ns l io e no re sph` le ta blea u Les pla s ma s ar tificiels es co r r cit es p o nde etude nt `a de l lafu sion nucléaire: o n che r che ea `a lis r er de es tr`fo r tes temp era tures et pressions p o ur imp oser la fusio n de deux noya ux d a to eg mes er s. l Ces co nditio ns e so a nt lis ees r pa r co nfinement ma g etique n (en imp osa nt des cha mps etiq ma ue g ele n s ees v da ns des str uctur es to r iq ues, les Tokam aks ) ou pa r emploide la pression de radiation imp e o e s pa r des fa iscea ux la ser intenses (o n pa r le de co nfinement iner tiel). Na ture du pla sma na turel n 0 Milieu inter ga la ctique 10m 3 Milieu inter stella ire 10 5 m 3 Chr o mo s er ph` e so la ire m 3 Na tur e du pla sma ar tificiel n 0 P la sma `a co nfinement etiq ma ue g n 10 1 m 3 P la sma `a co nfinement iner tiel 10 3 m 3 Ta ble 37.1 Densit es pa r ticula ir es de diver s pla smas Pu l s ati o n de pl as en ma: deho rs de to ute o nde e lec tr o ma etiq g ue n ex e t r ieur e, co ns e id r o ns le ca s oscil des lations propres du pla s ma, ca e ra r ees is ct pa r une va r ia tion pério dique de la densit e vo lumique de cha rg e : on er co er nsid a ici que les io ns (lo ur ds, do nc fixes ) ga r dent la e dens pa r it ticula ir e co nsta 0, nten ta ndis que celle des e lectr o ns (mo bile de s, ma sse m) ecr s ir a n =n 0 + δ n (t La ). dens e it vo lumique de cha rg e est do nc ρ(t) =n 0 ( q ) + (n 0 + δ n )(q ) soit ρ(t) = qδ n si (t), on no te q la cha rg e des pa r ticules mo biles (q = e en fa it p electr o ur des o ns ). Ces oscilla tio ns so nt so lutio ns equa de tio l n de co nser va tio n de la e cha lec tr rg iq e ue, divj +q n j = 0 o u e nc o r e div t t =q δn t ; la r ela tio n co nstitutive des pla e c sma r ite s, n 0 q en no ta tio n co mplexe j =, p eut ic etr iˆ e r eco ee pi so us la fo r j me i mē t = n 0q m E da ns le ca ené s g r a l. O n en eduit d n 0q m dive =q δn t ; pa r a illeur s, equation l de Maxwell-Gauss imp ose dive = qδn ; il vient do nc q n 0q δn =q δn. On r ec o nnaˆ ıt uneéqua tio n d o scillatio n ha r mo nique, ε 0 mε 0 t δn t + n 0q δn = 0, qui efinit d lapu lsat ion de eson r an ce du plasma mε 0

10 74 Physique, MP, MP* ou pu lsat ion de plasma : p = n 0q mε 0 (37.1 4) Ainsi, da ns l io no e sph` r e, ave 0 cn =10 11 m 3, la fréquence pr o pr e des o scilla tio ns de pla s ma est de l o r dr e de gr a ndeur p = p def =, 8 MHz,co mpte tenu des va leurs π de q = 1, C et m = 9, k g p o ur le e lec s tr o ns Propag ation d o ndes dans un plasma L e e s qu a ti o ns de M a nous xwel supp l: osero ns dans tout ce qui suit que le plasma, c a r a e ct r e is pa r la densit e pa r ticula ir e de cha rg es mo 0, es bilesn e t c la e ir pa r une OP PM Ē = Ē 0 exp [i ( t k r)], B = B 0 exp [i ( t k r) ], dont la pulsation sera supp o- sée ne tte ment e diff r e nte de p. Da ns ces co nditio ns, on p o eg ur lig ra er n to ute oscillatio n de la densit e volumique de charge ; le plasma r este lo calement neutre, avec ρ =0 et j = n 0q i mē, equa tio n que no us r eco pier o ns so us la ε 0 j = fo p i r Ē. me O nécr it a lo rs le sys eme t`des qua tr equa e tio ns de Ma xwell dans ce pla sma sous la fo rme: Ma xwell-ga uss, k Ē = 0 et Ma xwell-tho mso k n, B = 0 ; co mme da ns le vide, les cha mpse et B so nt tr a nsver ses; Ma xwell-fa ra day, k Ē = B ; cette r ela tio n de s tr uctur e identique `a celle o btenue da ns le vide; p Ma xwell- Amp` e r e, k i B =µ 0 ε 0 i +i Ē ; c est to ujo ur s cette equa tio n qui fa it la diff er ence entr e un milieu er ma iel t et un a utr e. L équatio n de pro pag atio on n: o btient, co mme to ujo equa ur s, tio l n de pr o pa gatio n en ca lcula nt un do uble ro ta tio c es nnel, t- `a - dir un e ici do uble pr o duit vecto r iel k k Ē ou k k B. No us a llo ns l a ppliquer au cha Ē ma mpis on e v r ifie r a it aiséme nt q ue la emeéqua mˆ tio n eco d ule de so n a pplica tio n au B cha. mp O n a bien s ˆur k k Ē =k B s o it enc o k re k Ē = p Ē ; on é cr it d a utre pa rt le evelo d pp ement du do uble pr o duit vecto k k riel Ē = k Ē (c e st la ver sio n a da ee pt de la r ela tio ené n g r a ro le t ro te= graddive E ) ; on en eduit d nécessa ir ement, p o ur tr o uver une Ē so = lution 0, l équa tio n de disp er sio n: c 0 k = p c 0 (37.1 5) Équat ion de d isp ersion dans un p lasma L équa tio n de disp er sio n des e ondes le c tr o ma etiques g n da ns un pla sma p eu dense est une equa tio n de K lein-go r do n, do nt la pulsa tio n de co u- pure ba sse est eg a le `a la pulsa tio n de pla sma.

11 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 75 Un pla sma est do nc un milieu tr a nspa r ent eq `a ue ha nce ute ( fr p), >avec les v ite s s es de pha sev ϕ = c 0 c 0 et de gro up ev 1 p/ g =c 0 1 p/ c 0, qui vér ifie nt d a ille ur gv sv ϕ =c 0 puis q ue equa l tio n de disp er sio n est du typ e de Klein-Go rdo n. Le c a r a er ct` e disp er sif du pla sma est ma tr`r e q, u s a uf `a es tr` ha ute eq fr uence ( p, ave cv g c 0 etv ϕ c 0 ), co mme on le vo it sur la fig ure 37.. c 0 Domaine d absoprtion v ϕ () v g () p Fig ur e 37. Disp er sio n des e ondes le c tr o ma etiques g n da ns un pla s ma Ab s orpti o n des o nd es dans un pl p as our ma: < p, le milieu est a bsor ba nt (o u o pa que) a ux o e ndes lec tr o ma etiques g n puis que la so lutio n equa de l tio n de disp er sio n devient co mplexe. On p eut en pa r ticulier mo ntr er l existence d une dista nce c a r a er ct istique d a enua tt tio n do e nn e pa r δ= 1 Re(k ) = c 0. p Un pla s ma ec la e ir par une o nde de ba sse equence fr ne p er met pa s le pa ss a ge de cette onde ; il ne p eut pas non plus dissip ener er g l ie de cette o nde pa r effet Jo ule (puis que j et E r e s te nt epha d es s de π / ) : il ag it do nc co mme miroiṙ un No usétudie r o ns les phéno m` enes de eflexio r n au cha pitr e pr o cha in Transp ort e de nerg l ie dans le plasma L e s c h a e m tu p e d s s: i r eveno ns `a etude l de la pr o pa ga tio n ( p) des > o ndes dans le plasma ; on notera (O z ) l axe de pro pagation de l onde, etudie r on a le cas d une o nde p o la ee r r is ectilignement selon (O La x). str uctur e des cha mps e lec tr iq ue et ma g etique n est a lo Ē rs=e 0ex exp [i ( t kz (o)] `u on p eut choisire 0 > 0) et, d a pr` e s l equa tio n de Ma xwell-fa ra B day, = k E 0ey exp [i ( t kz o )]; n a bie n s ˆur p os e k= p c 0. Ces cha mps s a cco mpa g nent du pa ssag e d un co eur a nt de densit vo lumiq ue j = i ε 0p E 0ex exp [i ( t kz )]. Le vecteur de Poy nting moyen e cr s it icir = 1 Re(E B )= µ 0 k µ 0 E 0ez. La puissa nce vo lumique p er due pa r le cha e c r mp it, en s moye nne,p J = 1 Re(j E )

12 76 Physique, MP, MP* s o it, r etr o uva nt le ici dépha sa ge ejà d cité de π / e ntr e ces deux vec teur p J =0. s, Un pla sma tr a nsp or te do nc une puissa e le c nce tr o ma etique, g n sa ns a ucun tr a ns fer t `a la ma ti` er e cha e r e, g e d`s q ue > p. D e n e s et i t vi tes s e de e n l erg i e: les dens es it vo lumiques ener d g ie electr iq ue, ma g etiq n ue et cin etiq ue so nt r es p ectivement e g a les w`a e = ε 0 4 Re(E E )= ε 0E 0 4, w m = 1 4µ 0 Re(B B )= k E 0 4 µ 0 et e c = 1 4 Re (n 0mv v )= m 4n 0 q Re(j j ), ou enfine c = ε 0 p 4 E 0. O n en eduit d l ener g ie vo lumique to ta le ee asso `a l o ci nde, w e =w +w m +e c, do nt la moyenne temp orelle e c s r it a es pr` simplifica tio ns w= ε 0E 0. O n n ou b liera pas qu e le en b ilan erg et iq ue de la prop agat ion d an s le p lasma est in comp let on si ne pren d p as en compte én ergie l cin etique volumique asso ee aux ci mou vemen ts d es p orteu rs de ch arge mob iles. L inter pr eta tio n de la vitesse de ener l g ie se fa it selo n ema le s ch cla ss ique, `a savo ir ve = R w = c k ez q u o n p eut enco eé re c r r ir co e, mpte tenu des expr ess io ns de v ϕ = k et dev g =c 0/v ϕ,so us la fo r me ve =c 0 1 p au mo ele d` g ené r a l d inte r pr ez =v gez co nfo r eme m nt etation de la vitesse de group e. Vit esse de en l erg ie da ns le p la sma Lo rs du pa ssa ge d une e o lec nde tr o ma etique g n da ns un pla sma tr a nspar ent, ener l g ie to ta e le ( c tr o ma etiq g ue n et cin etiq ue) se epla d ce le lo ng de la dir ectio n de pr o pa ga tio n `a la E =v v itessev g, eg a le `a la vite s s e de g ro up e Anisotropies dans les plasmas Ondes en e s pr en ce d u n ch amp s tati que É tude d ynami que: en prés ence d une o nde de cha Emps et B, ma is a ussi d un cham p magn etiqu e statique B 0 (par exemple le cha mp mag etique n ter r es tr e), o n doit mo difier l expression de la for ce de Lor entz subie electr par o ns les, q ui dev ient q(e + v B ) q( E + v [B + B 0]). On a déjà mo ntr e q u e n enér g al la fo r ce magnétiq uedu e` a l on des t e n g lig e a ble: v B E. Pa r co ntr e, r ien ne p er met de fa ire la mˆ eme hy p o e th` s e en ce q co uincer ne le cha mp ma etique g n s ta tique, puis q ue s o n a mplitude B 0 es t ind ep enda nte de celle de l o nde. L eséqua tio ns du mo uvement electr des o ns du pla sma fo ur nir o nt to ujo ur s le co ur a nt (en no ta tio n co mplexe) j =n 0 q v, `a pa r tir de ecr l iture du princip e fondamental de la dyna mique, en egligeant n enco re toute for ce de collision (le plasma r este e peusupp o s dens e) : i m v =qē +q v B 0 ; o n p eut enc e o c r e r ire im =qē n 0 q j + 1 B 0. n 0 j Co nd uc ti e vi co t mp le xe: cho isissa nt pa r exemple B 0 =B 0ez, ce tte equa tio n se pr o jette s ur les tr o is a xes iens ca r selon t Ē x = im n 0 q j x B 0 y, n 0 q j Ē y = im n 0 q j y + B 0 x n 0 q j

13 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 77 et Ē z = im n 0 q j z. Ce sy s eme t` d equa tio ns p etr eutˆe eécr r it en fo nctio n de la pulsa tion de pla s ma p déjàd éfinie,et de lapu lsat ion cyclot ron c = qb 0, s elo n le sys t` m eme ε 0 pē x =i j x c j y,ε 0 pē y =i j y + c j x,ε 0 pē z =i j z. L inver s io n de ce eme sys t` d j en fo nctio n Ē de, s elon j x = equa tio ns se fa it sa ns difficult e, et p er me t ete de d r miner ε 0p c iē x + c Ē y, j y = ε 0p c iē y c Ē x et j z = ε 0p i Ē z : le milieu est do nc ma intena nt anisotr avec op e, p o ur ma tr ice des i c c c 0 co nductiv e it s γ [ ] =ε 0 p c i c c 0. No us a llo ns mo ntrer que cette i anisotropie mo difie, par rapp ort `a la situation etudi e e pr ecéde mme nt (avecb 0 =0) la na tur e des o ndes e le c tr o ma etiques g n s usceptibles de se pr o pa g er da ns ce pla s ma E ffet Faraday L e s c o n d i ti o e n tu s d e:nousétudio e l ns ici un pla sma en es pr ence d un cha mp ma g etique n s ta tique B 0 =B 0ez ; co mme on l a vu, ce cha mp sta tique est `a l o r ig ine d une a niso tr o pie de la co nductio electr ique. n No us a llo ns a ete lo r rs miner d les co nditio ns ecessa n ir es `a la pr o pa ga tio n d une o nde da To ns utefo ce milieu. is, no us fixo ns ici une co nditio n suppl ementa ir e : etudie on la pr o pa ga tio n d une longit o nde u dinale, c es t- `a - dir e do nt le vecteur d o nde ea ir est e au co cha lin mp sta Btique 0. On fixer a do nc k =k ez. No to ns, `a ce sta de, que k eventuelle r este me nt co mple xe. O n p eut a lo etudier rs les co e ns q ue nces de equa s tio ns de Ma xwell, so us e r s er ve de précis er la dens e vo it lumique de cha ρ. rg Du e fa it des equa tio ns de Ma xwell-ga uss e t de co ntinuit e, ρ = iε 0k Ē = iε 0kĒ z et ρ= k j do nc ρ= j k z. Co mme on a de plus mo ntr e que j z = ε 0p i Ē z, ce s equa tio ns so nt ené g r al in compat ibles (et imp o se ρ nt = 0 et do nc Ē z =0, j z = 0, sa uf p our p, =en pr e s ence de e la s r o na nce de plas ma. O n n ot era b ien qu e la n eu électrique t ralit lo cale, et d on c le caract` ere t ra n sverse d u champ electriq u e, n on eté ét t ab lis dans le cas enéralqu g e p ou r une onde d ans u n milieu oh mique enéra g lis e isotrop e. Le fait de ret rou ver esu ce r ltat icida ns un milieuanisotrop e est accident et ne el d oit pa et sˆre enéra g lis e : on p eu t rencont rer, p ar exemp le dans un p lasma avec un e sou rce d an isot rop ie ou dans d aut res milieux ma eriels t anisotrop es, la propagation d ondes n tran sverses avec un e evolu miq ue de ch arge n on ident iqu ement nulle, même sile milieu reste glob alement d en sit n eu tre. Fina le ment, le séqua tio ns div E = 0 et div B = 0 mo ntr ent bien que les cha mps électr ique et ma etiq g n ue,éta nt tr a nsver n ont ses, de comp osantes que dans le plan (O xy ) p erp endiculaire `a l axe de propagation On (O p eut z ). a lo rs eécr r ir e les e q uatio ns de Ma xwell da ns ce milieu so us la k fo Ē r = me 0, k B = 0, k Ē = B et ik B =µ 0 [ γ]ē + iε 0Ē, o `u on se co ntenter a p o ur ma tr ice des e co s de nductivit la r estr ictio n γ de ] au [ plan (Oxy ), `a savoir γ ]=[ ε 0p i c c c i.

14 78 Physique, MP, MP* Onde transverse dans un milieu aniso tro la fo p r e: me de equa l tio n de Ma xwell- Ampèr e ci- dessus s e ug r e g` imm edia tement une mis e en fa cteur des ter mes de co ur a nt de co nductio n et de epla d cement, so us la fo r kme B 1 i = iε 0 µ 0 iε 0 [ γ]ē + Ē, que l o n ecr ir a enco re: k B = c [ ε r ]Ē 0 (37.1 6) o`u on a efini d unemat rice des permit es t ivit di electriqu es relatives [ ε r ]. Ce fo r ma lisme p er met de tr aiter le ca s du vide, ε r ]= avec 1 [ 0, ma is a ussi de no mbr euses a utr es 0 1 situa tio ns, co mme pa r exemple les diélectriqu milieux es eaires lin isot ropes décr its par 1 0 [ ε r ] = ε r () : il s agit d un b on mo ele d` p o ur la pr o pa ga tio n des o ndes da ns 0 1 de no mbr eux milieux tr a nspa r ents a mo r phes (liquides, ga z, ver r es o ptiques ). O n utilise le eme mˆ fo r ma lisme p o ur la pr o pa ga tio n da ns de nombr eux milieux a nisotr op es. Ainsi, la pr o pa ga tio n de er la e da lumi` ns un milieu cr ista llin p eut, pa r un cho ix a da pt e des axes (O x) et (O y etr ),ˆe ecrite d pa r une ma tr ice des p er e mittivit s dia gona le ma is no n isotr [ ε op r ] e, = ε rx () 0, ce quip er me t de efinir d un a xe 0 ε ry () r a pide et un axe lent p o ur le etudi cr ista e. E l nfin, da ns le ca s des pla sma s avec cha mp 1 + α() iα() c ma g etique n sta tique lo ng itudina l, on a εo r ]= btenu [ réserve de p oser α( )= p c. iα() c 1 + α(), so us L équation de Maxwell-Faraday imp kose B = k k Ē = Ē k et l é q ua tion de Ma xwell- Amp` ere imp ose enfin ε r [ ]Ē = c 0k Ē. Les so lutio ns de equa l tio n de pr o pa ga tio n so nt do vecteu nc les rs propres de la ma tr ice des co nductivit e s,et la rela tio n de disp er sio n est e e do pa nn r les valeu rs propres de cette ma tr ice. À cha que va leur pr o pr i ( eλ) (avec i = 1, ) corresp ond equa une tio n de disp er sio n de la fo rme λ i ( )= c 0k. L e ffe t Fara d ay: da ns le ca s pa r ticulier d un pla sma avec cha etiq mp ma ue g n sta tique lo ng itudina l, il fa ut eter do nc miner d les va leurs pr o pr es et vecteur s pr o pr es 1 + α() iα() c de la ma tr ice iα() c 1 + α(). On mo ntr e sa ns difficult e q ue ces vec teurs pr o pres so u± nt= 1, avec les va leur s pr o ± pr = esλ 1 + α()1± c ±i. Da ns un tel milieu ne p euvent do nc se pr o pa ger enua sa ns tio a n tt que des o ndes p o- la ris e escircu lairement. Une onde de cha mp electr ique pr op or tio `au+ nnel= 1 i est p o la ee r is cir cula ir ement à droite, et l équa tio n de disp er s io n ee a `a sso ce ci tte p o- la r isa tio e n c s r c 0kD p it =1+ c 1+ c. De même,l o nde pr op or tio nnelle `a

15 37: Ondes dans l es mi li eux eri mat els 79 u = 1 i est p o la ee r is cir cula ir ement à gau che, et l équa tio n de disp er sio n asso- c 0 kg ciée `a cette p o la r isa e tio c r n it s =1+ p c 1 c. Ces deux p o la r isa tio ns s o nt a sso ees ci `a des v ites s es de pha er entes, se diff qu o n no ter ϕd av etv ϕg. Co ns er id o ns ma intena nt une o nde de p o la r isa tio n r ectiligne e e `a l entr envoy e d un tel milie u;supp oso ns-la par exemple p ee o lar selon is (O x).on p eut l ecr ir e so us la fo rmeē =E 0ex exp [i ( t kz )] avant son ee entr da ns le pla s ma (pa r exemple p o ur z < 0). À pa r tir de l entr ee da ns le pla sma, on do it d eco mp oser cette o nde selon Ē = E 0 (ex +i ey) exp i t z + E 0 v ϕd (ex i ey) exp i t z, so mme v ϕg de deux o ndes p o la ees r is cir cula ir ement se pr o pa cha g ent, cune, avec s a vite s s e de pha se pro pre. Au b o ut d un pa rco ur s de lo ng ueur D, l o nde so rt du pla sma et les deux co mp osa ntes cir cula ir es o nt a cquis une er ence diff de pha se do e e nn pa r ϕ = D 1 1 et, v ϕd v ϕg a u cho ix d une no uvelle or ig ine des temps e s,l o nde pr`emer g ent du pla s ma dev ient Ē x =E 0 exp (i t ) co s ϕ,ē y = E 0 exp (i t ) sin ϕ.ainsi, le pla n de p o la r isa tio n de l o nde a to urn e d un ang le ϕ pr op or tio nnel `a D et `a e du l intensit champ ma etiq g n ue; c e s t eff l et Faraday. L es milieux p o eda s s nt la p o ssibilit e de fa ir e to ur ner le pla n de p ola risatio n d une vibr a tio n r ectilig ne so nt dits e s do depou u voir rotatoireou d act ivit e optique; ce tte pr o pri eté est to ujo urs asso ee ci `a une a nis o tr o pie du ma milieu, is l o r ig ine de celle-ci p eutêtr e va e r e: i a niso tr o pie due `a un cha mp etique ma sta g n tique lo ng itudina l (effet Fa ra day), da ns un pla sma ou da ns cer ta ins ver r es o ptiques; a niso tr o pie due `a un cha electr mp ique s ta tique tr a ns ver se (effet K er r); a niso tr o pie due `a la str uctur ecula e mo ir e l chir a le des ecules mo l emplis sa nt le milieu (mo ecules l o rg a niq ues esenta pr nt un a to me de ca rb o ne fo rma nt des etr lia a- iso ns t édr iques ver s qua tr e substitua e nts r e nts diff ).

16 730 Physique, MP, MP* Ce qu ilfaut abso lument sav o ir Un milieu ma e t r iel es t ca e r r a e is ct pa r un vecteur d o nde eve ntuellement co m- ple x e. Si o n p e e c ut r ire k =(k ik )u, il y a pr o pa ga tio n `a la v itesse de pha se v ϕ =, avec la v ites se de gro up ev k g = d, et simulta ement n a bs o r ptio n (si dk k etk so nt de eme mˆ sig ne) sur une lo ng ueur er ca is ra tiq ct ue δ = 1/k. L étude de s o nde e le s c tr o ma etiq g ues n da ns un milieu co nducteur ebute d par une mis e en equa tio n dyna mique du mo uvement des pa r ticules ees da cha ns r g c e milieu,s o us l influe nce d une O P Ē, PM B. Da ns cette e q ua tio on n, p eut to ujo urs eg n lig er la fo r ce ma etiq g uedu n eà l on dedeva nt la fo r electr ce iq ue, c a r E c 0 B et v c 0 en g ené r a l. O n en d eduit,da ns l hyp oth` ese d un milieu `a co mp or tement e a ir lin une e, rela tion de la fo r j me = [ γ] Ē, en fo nctio n d une ma tr ice des co nductivit e s c o m ple x e s. Si de plus γ ] = γ [ () 0 1 0, le milie u lin ea ir e est iso tr op e Da ns to ut milieu co nducteur ea ir lin e et iso tr op e, la cha rge vo lumique ρ est nulle en to ut p o int, sa eventuellement uf p o ur une cer ta ine puls atio e s o n na (de nc r e ). Les co nducteur eta s m lliques so nt da ns ce ca s, j =γ avec 0 Ē, γ 0 > 0 et ρ = 0. Les pla sma s p eu denses (en l a bsence de to ut cha mp sta tique) so nt a ussi da ns n0q c e ca s, avec j = γ ()Ē, γ ( )= im et ρ = 0 sa ufp our la es r o na nce `a la pulsa tio n de pla sma p = n 0q. n 0 es t la dens e it pa r ticula ir e des p or teurs mε 0 de cha rg e, de masse m et de cha rg e q. Da ns un pla sma, on o btient (et on do it savo ir equa r etr o tio uver n de ) l disp er sion de K lein-go r do n p =c 0k ; le milieu est tr a nspa r ent p o ur p, avec > une v ites se de pha sev ϕ = k >c 0 et une vitesse de gro up e, confondue avec la v ites se de ener l g ie to ta e le ( c tr o ma etiq g ue n et cin etiq ue )v g = d dk <c 0. E n pr esence d un cha mp ma etique g n s ta tique, un pla sma p erd so n iso tr o pie; il n est plus fo ement r c lo calement neutre. etudie On le s o nde s qui p euvent s y pro pa g er eta en blissa nt les co nditio eces ns n sa ir ement e r ifi ees v pa r un cha mp j, Ē, B vér ifia nt les equa tio ns de Ma xwell equa et l tio n co nstitutive j = [ γ] Ē. Ces co nditio ns ecessa n ir es pr ennent la fo r me d une ou plusieur equa tio s ns de disp er s io n, qui p euventˆ etr e ees li `a un ou plus ieur etats s de p o la r isa tio n.

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