Recherche Opérationnelle

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1 Université Mohammed Premier ENSAO Cours du module Recherche Opérationnelle Cycle ingénieur Génie Télécommunications et Réseaux (GTR) Génie Electrique (GE) Semestre 2 Pr. Omar ANANE

2 Programme du module Partie1: Programmation linéaire Introduction Théorème fondamental de la programmation linéaire Algorithme du simplexe Pratique de la méthode du simplexe Dualité en programmation linéaire Partie2: Théorie des graphes et applications Eléments de théorie des graphes Problème de recherche des chemins optimaux Problème d ordonnancement Problème de transport Problème d affectation Phénomènes d attente Gestion scientifique des stocks

3 1- Introduction a) Un exemple Position du problème: Une entreprise fabrique deux produits P 1 et P 1 dans trois ateliers A 1, A 2 et A 3. La production d une unité de P 1 (resp. P 2 ) nécessite une 1 minute de travail dans l atelier A 1, 1 mn dans A 2 et 4 mn dans A 3. (resp. 2 mn dans A 1, 1 mn dans A 2 et 30s dans A 3 ), La vente d une unité de P 1 (resp. P 2 ) rapporte un bénéfice de 4 Dh (resp. 3 Dh). Les durées de fonctionnement des ateliers A 1, A 2 et A 3 ne peuvent pas excéder respectivement 10h, 6h et 17h par jour. Quelles sont les quantités optimales des produits P 1 et P 2 que l entreprise doit produire par jour? Formulation du problème: Désignons par x 1 et x 2 respectivement les quantités des produits P 1 et P 2 à produire par jour. Les durées de fonctionnement nécessaires à ces productions sont : Pour l atelier A 1 : x 1 +2x 2, Pour l atelier A 2 : x 1 +x 2 Pour l atelier A 3 : 4x 1 +0,5x 2 x 1 +2x x Les contraintes de production sont : (I) 1 + x x 1 +0,5x x 1 0 et x 2 0 Posons x=(x 1 ;x 2 ) et désignons par K l ensemble des point x de R 2 vérifiant les inégalités (I) Le bénéfice à la ventes des quantités produites par jour est : c(x) = 4x 1 +3x 2 Le problème se formule donc de la façon suivantes : P : Trouver x K tel que: c x = max {c x, x K}

4 Résolution graphique du problème: 1- Introduction K C

5 1- Introduction b) Remarques: La fonctionnelle à maximiser et les contraintes sont linéaires ( de ce fait, le problème (P) est dit programme linéaire); L ensembles des contraintes K est un polyèdre (intersection de demis-espaces); La droite (hyperplan) c(x) = α (α constante) est orthogonale au vecteur c = (4;3). Le bénéfice α augmente lorsqu on déplace cette droite dans le sens du vecteur c ; La droite optimale (qui correspond à un bénéfice maximale) est celle qui passe par le point (240,120) qui est un sommet du polyèdre K; Lorsque le nombre de variables est réduit à 2, la résolution graphique est possible, Une solution du problème (P) est un sommet du polyèdre K. Cette constatation est en fait générale : c est le théorème fondamental de la programmation linéaire; Pour un problème donné, si on arrive à énumérer l ensembles des sommets du polyèdre de ses contraintes, ont peut trouver un sommet optimal. Cette méthode n est pas envisageable dans les problèmes rencontrés dans la pratique qui comprennent plusieurs dizaines de variables et de contraintes; Pour résoudre un programme linéaire, l algorithme du simplexe permet, en partant d un sommet initial, construire par un procédé itératif, une suite de sommets qui améliorent progressivement la fonction objectif, pour aboutir après un nombre fini d itérations à une solution du problème.

6 1- Introduction c) Taille des PL: On considère que des PL comportant m=1000 contraintes et n= variables sont de dimension courante (pour l algorithme du simplexe). On parle de gros problèmes à partir de m = contraintes et n = variables. De très gros PL ont été résolus opérationnellement : un PL avec m = et n = pour la gestion intégrée de la firme américaine NABISCO, et à la NASA n = et m = Pour une compagnie aérienne, un problème avec n = variables (mais seulement m=850 contraintes) a aussi été résolu. Avec des PL dont les données ont des structures particulières, on a pu même dépasser les de variables! Pour n variables et m contraintes explicites, il y a m+n! m!n! sommets possibles. Cette valeur croissant très vite avec m et n, l énumération est impraticable pour des problèmes de taille industrielle. Ainsi pour un petit PL comportant m = 20 contraintes et n = 30 variables il y a 4,7129x1013 sommets possibles : même en calculant un million de sommets par seconde il faudrait un an et demi pour résoudre par ordinateur ce tout petit problème d) Rentabilité: L emploi de la PL permet d optimiser des systèmes et de réaliser des économies de pouvant dépasser 10% sur le coût de fonctionnement du système. L optimisation de l achat de pneumatiques pour équiper des véhicules chez un grand constructeur avait permis une économie de 0,5% sur un coût mensuel de 12 millions d euros soit /mois Il n est pas rare qu une optimisation à l aide de la P.L. permette des gains annuels représentant 200 à 300 fois le coût de l étude. Les «retours sur investissement» se comptent plus souvent en semaines ou en mois, qu en années

7 2- Théorème fondamental de la programmation linéaire a) Définitions et notations x 1 Les éléments de R n sont notés x= (vecteur colone), le produit scalaire euclidien est noté ( ) x n Les éléments du dual R n * de R n (ensemble des formes linéaires sur R n ) sont notés a=(a 1,, a n ) (vecteur ligne), le produit de dualité est noté <, > ( a(x) < a, x > avec a R n * et x R n ) La transposé d un vecteur colonne x= x 1 x n vecteur ligne a=(a 1,, a n ) est le vecteur colonne a = est le vecteur ligne x =(x 1,, x n ) et la transposé d un a 1 a n. On a < a, x >=(a x) L ensemble des matrices réelles à m lignes et n colonnes est noté M m,n Soit a R n * et b R, l hyperplan H={ x R n : < a, x > = b} est noté H={a= b}, il est orthogonal au vecteur a et partage l espace R n en deux demi-espaces fermés : H + = { x R n : < a, x > b} {a b} et H - = { x R n : < a, x > b} {a b} Un polyèdre K de R n est une intersection d un nombre fini de demis espaces fermés : K = {a i b i } { x R n : < a i, x > b i, i=1,, m} 1 i m Où les a i sont des formes linéaires non nulles et b i des scalaires.

8 2- Théorème fondamental de la programmation linéaire Une face d un polyèdre K est une partie frontalière F de K de la forme : F J = { x K : < a i, x > = b i, i J} Où J est un sous ensemble de { 1,, m} Il résulte de cette définition qu une face d un polyèdre est un polyèdre et qu une face d une face d un polyèdre est une face de ce polyèdre Un sommet de K est une face réduite à un singleton (un point) Une arrête de K est une face réduite à une portion de droite Un polyèdre est dit saillant s il contient au moins un sommet

9 2- Théorème fondamental de la programmation linéaire Un programme linéaire (PL) est un problème qui s exprime sous la forme générale : Où c, a i R n * et b i R P : Trouver x tel que: < c, x >= min < c, x > < a i, x >= b i, i = 1,, m La forme linéaire est dite fonction objectif ou fonction coût Les inégalités < a i, x > b i, i=1,, m s appelles contraintes du problème (P) Le polyèdre K = { < a i, x > b i, i=1,, m} s appelle ensemble des contrainte de (P) Les éléments x K s appellent solutions admissibles de (P) et une solution x de (P) s appelle solution optimale de (P) b 1 Soit A=(a i ) 1 i m la matrice de M m,n formée des vecteurs lignes a i et soit b =, le polyèdre des contrainte K s écrit K={ x R n : Ax b } et le problème (P) s écrit sous la forme générale : minimiser < c, x > P : Ax b Remarque : Le problème de minimisation (P) est équivalent au problème de maximisation : b m P : maximiser < c, x > Ax b

10 2- Théorème fondamental de la programmation linéaire b) Théorème fondamental de la programmation linéaire Théorème 1.2 : (1) Si une forme linéaire atteins son minimum sur un polyèdre saillant de R n, alors le minimum est atteint en un sommet de ce polyèdre. (2) Si une forme linéaire est minorée sur un polyèdre de R n, alors elle atteins son minimum sur ce polyèdre. Démonstration: (1) Soient c ϵ R n* et K={x ϵ R n : <a i. x> bi, i=1 m} un polyèdre, où a i ϵ R n* et bi ϵ R, i=1 m. Soient J {1,,m} et F J ={x ϵ K : <a i. x> = bi, i ϵ J} une face de K (F = K) et montrons que si c n est pas constante sur F J et atteins son minimum en un point x 1 de F J, alors il existe i J tel que x 1 ϵf J {i}. Supposons, par l absurde, que <a i.x 1 > < bi, i J. Soit x 2 ϵ F J tel que <c. x 2 > > <c. x 1 >. Posons v = x 2 - x 1 et t = min b i < a i. x 1 > < a i. v >, i J et < a i. v > < 0 si { i J et < a i. v > < 0} t = 17 sinon On a par construction t > 0, x 1 tv ϵ F J et <c. x 1 tv > =<c. x 1 > - t<c. v > < <c. x 1 >. Ceci contredit le fait que le minimum est atteint au point x 1.

11 2- Théorème fondamental de la programmation linéaire Posons J 0 =, F J 0 = K et d = min{<c. x>, x ϵ F J0 }. Soit x ϵ F J0 tel que <c. x > =d. D après ce qui précède, si c n est pas constante sur F J 0, il existe i 1 J 0 tel que x ϵ F J 0 {i1} On pose J 1 =J 0 {i 1 }. Si c n est pas constante sur F, il existe i J 1 2 J 1 tel que x ϵ F J 1 {i2} En procédant ainsi, on construit une suite K= F F J 0 J1 F Jk avec J 0 J 1 J k avec c constante sur F J (car le nombre de faces d un polyèdre est fini). On a alors, k - ou bien F est un singleton, dans ce cas F J ={ x} est un sommet de K, k Jk - ou bien admet F n est pas un singleton, dans ce cas F J admet un sommet {x } (qui est également k Jk un sommet de K) et on a <c. x > = <c. x > =d. L assertion (2) est admise.

12 3- Algorithme du simplexe a) Forme standard d un programme linéaire La forme standard d un PL est : La forme symétrique d un PL est : où c ϵ R n*, A ϵ M m,n ( R) et b ϵ R n. P 1 P 2 minimiser < c. x > Ax = b et x 0 minimiser < c. x > Ax b et x 0 Proposition 1.3: Les formes générale, standard et symétrique d un PL sont équivalentes. Démonstration : On considère un PL écrit sous forme générale : minimiser < c. x > Pg Ax b avec c ϵ R n*, A ϵ M m,n (R) et b ϵ R n Tout réel a s écrit a= a - a avec a 0 et a 0 (on peut prendre a =max (a, 0) et a =max (-a,0)) Donc un point x ϵ R n s écrit x= x x avec x 0 et x 0. Posons X=(x ; x ), on a ϵ R 2n et X 0. On a Ax= A(x -x )=Ax -Ax. Posons A =[A, -A], on a A ϵ M m,2n (R) et A X=Ax. On a <c.x> = <c. x -x >=<c. x > - <c. x >. Posons c = (c, -c), on a c ϵ R 2n* et <c. X> =<c.x>

13 3- Algorithme du simplexe Le PL général (Pg) est donc équivalant au PL symétrique : P sym minimiser <c. X> A X b et X 0 On considère maintenant un PL écrit sous forme symétrique: minimiser < c. x > P 2 Ax b et x 0 avec c ϵ R n*, A ϵ M m,n (R) et b ϵ R n Pour tout x ϵ R n, posons x = b -Ax, X=(x ; x ) ϵ R n+m, A = [A, I m ] ϵ M m,n+m (R), c =(c,0 m )où 0 m est le vecteur ligne nul de R n*. On a pour tout x ϵ R n <c,x> = <c.x> et : Ax b et x 0 A X = b et X 0. Donc, le PL symétrique P 2 est équivalant au PL standard: minimiser <c. X> P std A X = b et X 0 On considère maintenant un PL écrit sous forme standard: minimiser < c. x > P 1 Ax = b et x 0 avec c ϵ R n*, A ϵ M m,n (R) et b ϵ R n

14 3- Algorithme du simplexe Posons A = [A, -A, -I n ] ϵ M 2m+n,n (R), b =(b;-b;0 n )où 0 n est le vecteur colonne nul de R n. On a pour tout x ϵ R n : Ax = b et x 0 A x b. Donc, le PL symétrique P 1 est équivalant au PL général: minimiser <c. x> P g A x b b) Caractérisation des sommets On considère un PL en forme standard : où c ϵ R n*, A ϵ M m,n ( R) et b ϵ R m. P minimiser < c. x > Ax = b et x 0 On peut toujours supposer, sans perte de généralité, que b 0, rang(a)=m et m<n. Pour tout i ϵ {1,,n}, A i désigne le i ème vecteur colonne de A. Posons K={x ϵ R n : Ax = b et x 0} et pour tout x ϵ K, I x = { i ϵ {1,,n} : x i 0 } et S x ={A i, i ϵ I x }. Remarque : On peut supposer que 0 K, sinon on a b=0 et par suite 0 est une solution de (P) si elle existe. Proposition 2.3: Un point x de K est un sommet de K si et seulement si la famille S x est libre. Démonstration : voir TD

15 3- Algorithme du simplexe Soit x un sommet de K. Il résulte de la proposition précédente que (I x ) m. Si (I x ) = m, alors S x est une base de R m. Dans ce cas x est dit sommet non dégénéré, I x est noté β x et S x est noté B x Si (I x ) < m, x est dit sommet dégénéré. On peut compléter S x en une base de R m par des vecteurs colonnes de la matrice A. càd il existe J x {1,,n}\I x tel que la famille B x = { A i, i ϵ β x }, avec β x = I x J x, est une base de R m. Dans les deux cas β x ( resp. B x ) est dit ensemble de base (resp. base) associé à x. Pour tout j ϵ {1,,n} le vecteur A j s exprime d une façon unique dans la base B x sous la forme : A j = γ i j A i On note z j = c j i βx γ i j c i i β x. Les z j sont dits coûts marginaux. Notons que si j ϵ β x, alors γ i j = δ i,j (symbole de Kronecker) et z j = 0. Le calcul des coefficients γ i j nécessite d inverser la matrice M x =( A i ) i ϵ βx.

16 3- Algorithme du simplexe c) Algorithme du simplexe Théorème 1.3 : Soit x un sommet de K, B x et β x une base et un ensemble de base associé à x. et soit : Pour tout j β x, soit z j = c j Une des trois alternatives suivantes a lieu: (1) Si z j 0 j β x, alors x est une solution de (P); γ j j i βx i c i où les γ i sont donnés par : A j = i β γ j i A i x (2) Si J { j β x, tel que z j < 0} et si kϵ J : γ i k 0 i ϵ β x, alors (P) n admet pas de solution ; j (3) Si j ϵ J, i ϵ β x : γ i >0, soit j + ϵ J, on pose : θ + x i j = min, i ϵ β γ j + x et γ + i > 0. Soit j ϵ β tel que γ x j j+ > 0 et θ + = i et on considère le point x + défini par : x + i = x i θ + j γ + i si i ϵ β x x + j + = θ+ x + i = si i β x {j + } x + est un sommet de K et β x + = ( β x \ { j } ) {j + } est un ensemble de base associé à x. De plus θ + >0 x + x et dans ce cas on a : <c. x + > < <c. x >. x j γ j j+

17 3- Algorithme du simplexe Démonstration : Soit x ϵ K, on a Ax n = x j A j n j=1 = x j i β γ j i A i n j=1 x = ( j=1 x j γ j i ) Or Ax = i β x i β x i A i = Ax x = b et B est une base, donc x j x i = j=1 x j γ i i ϵ β x Par suite <c. x' > - <c. x> = n n = x j c j n j=1 x j c j i βx c i x i = x j c j c i ( x j j=1 jγ i n j=1 x j n (1) On a x ϵ K <c. x' > <c. x> = j=1 x j j=1 ( γ i j c i ) = i β x n n i β x A i j=1 x j z j = j βx x j z j z j 0. Donc x est une solution de (P). (2) Soit kϵ J : γ i k 0 i ϵ β x. Soit θ >0, on considère le point x θ défini par : x θ k i = x i θ γ i si i ϵ β x x θ k = θ x θ i = 0 si i β x {k} On a x θ 0 et Ax θ n = i=1 x θ ia i = x i A i θ γ k i A i + θa k i β x Donc x θ ϵ K θ >0. On a, d après ce qui précède : < c. x θ n > = <c. x> + i=1 x θ i z i = <c. x> + i β x θ x i i β x z i +θz k = <c. x> +θz k Or z k <0, donc lim θ + < c. xθ > =. D où (P) n admet pas de solution. n j=1 ) = Ax θa k + θa k = b

18 3- Algorithme du simplexe (3) Montrer que x + est un sommet de K revient à montrer que B x + est libre car I x + β x + Par l absurde, supposons qu il existe des réels α i, i ϵ β x + On a α j + 0, car sinon on aura α i =0 i ϵ β x +. A j+ = i ϵ β x \ { j } tels que α ia i i ϵ β x+ = 0. i ϵ β α i A i x \ { j } = 0 par suite α i =0 i ϵ β x \ { j }, on aura donc α i α j + Donc γ j j+ = 0, d où la contradiction. A i = Il est claire que θ + >0 x + x et dans ce cas on a : j γ + i A i = γ i i β x i ϵ β x \ { j } j + A i <c. x + > - <c. x > = x + jz j j βx = θ + z j + < 0. + γ j j+ A j

19 3- Algorithme du simplexe d) Initialisation de l algorithme du simplexe On considère un PL : P minimiser < c. x > xϵ K où K = x ϵ R n Ax = b et x 0, c ϵ R n*, A ϵ M m,n ( R) et b ϵ R m. On associe à (P) le PL suivant : où K 0 = x v ϵ Rn x R n : A 0 x v P 0 minimiser < c 0. x v ϵ K 0 x v > = b et x v 0, A0 x v = Ax + v, < c0. x m i=1. v > = v i Théorème 2.3 : (1) P 0 admet une solution optimale; (2) 0 b est un sommet de K 0; (3) Soit x v un sommet optimal de P 0, on a: Si v 0, alors (P) n admet pas de solutions admissibles (K= ); Si v =0, alors x est un sommet de K.

20 3- Algorithme du simplexe Démonstration : (1) On a < c 0 x. v > = m v x i=1 i 0 v ϵ K 0. Donc c 0 est minorée sur K 0. Par suite, d après le théorème fondamental de la PL, P 0 admet une solution optimale. (2) On a A 0 0 b = b et 0 b 0, donc 0 b est une solution admissible de P 0. (3) - Si v 0 et K, soit x ϵ K, on a x 0 ϵ K 0 et < c 0. - Si v = 0, on a A 0 x 0 I x 0 x 0 > 0 < < c0. =Ax =b et x 0, par suite x ϵ K. De plus, on a : = I x { i ϵ {1,,n} : x i 0 }, par suite S x 0 Donc, d après la proposition 2.3, x est un sommet de K. x v >, ce qui est absurde. = S x {A i, i ϵ I x } est une famille libre de R m.

21 4- Pratique de la méthode du simplexe a) Forme canonique On considère un PL : P minimiser < c. x > +d xϵ K où K = x ϵ R n Ax = b et x 0, c ϵ R n*, A ϵ M m,n ( R) et b ϵ R m, d ϵ R. Le programme (P) est dit canonique si que b 0, rang(a)=m, m<n et : B c {A i, i =1,,n} où B c ={e i, i =1,,m} est la base canonique de R m ; c i =0 pour tout i ϵ {1,, n} tel que A i ϵ B c. Les indices j tels que A j ϵ B c s appellent indices canoniques. On définit une application col :{1,,m} {1,,n} par j=col(i) si A j = e i Remarque : Si (P) est canonique, alors le point x défini par : x j = b i si j est canonique j = col(i) et x j =0 sinon, est un sommet de K associé à la base B c. De plus, on a: γ i j = a k j avec i =col(k) ; z j = c j ; <c.x> = 0.

22 4- Pratique de la méthode du simplexe On associe à (P) le tableau suivant qui représente toutes ses données : (T) a 1 1 n a 1 b 1 1 a m n a m b m c 1 c n d b) Opération pivotage Soit a r s un terme de la matrice A tel que a r s 0. On effectue sur (T) les opérations suivantes : on divise la ligne T r par a r s : a r s = a r j a r s, j=1 n et b r = b r a r s ; pour i r et i m+1, à la ligne T i on retranche a i s T j a s r : a j i =ai a s i a r a s r j, j=1 n et b i = b i a s i b r a s r ; r au vecteur ligne c on retranche c s a r s a r : à la constante d on ajoute c s a r s b r : c j =c j c s a r s a r j, j = 1 n ; d =d+ c s a r s b r. Remarque : Les transformations effectuées ne modifient pas le problème (P). En effet, on passe du système Ax=b à un système équivalent A x=b et la fonction objectif ne change pas : <c.x>+d=<c.x>+d. Si T est canonique et b 0, alors le nouveau tableau T est canonique.

23 4- Pratique de la méthode du simplexe b) Exemple On considère le programme linéaire : (P) maximiser (x 1 + 3x 2 ) x 1 + x 2 4 x 1 + 3x 2 24 x 1 6 4x 1 + 3x 2 12 x 1 0, x 2 0 (1) Standardisation : Le problème (P) s écrit sous la forme standard : (P) minimiser ( x 1 3x 2 ) x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1 + 3x 2 +x 5 = 24 x 1 +x 6 = 6 4x 1 + 3x 2 x 3 = 12 x i 0, i = 1,, 6

24 4- Pratique de la méthode du simplexe (2) Initialisation (phase 1) : Puisque la matrice A comprend 3 vecteurs canoniques, il a suffit de rajouter une seule variable (x 7 ) pour initialiser le problème. On associe à (P) le problème initial (P 0 ) : (P 0 ) minimiser (x 7 ) x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1 + 3x 2 + x 5 = 24 x 1 +x 6 = 6 4x 1 + 3x 2 x 3 + x 7 = 12 x i 0, i = 1,, 6 (3) Formation du tableau initial : On associe à (P 0 ) le tableau suivant : T b c c

25 4- Pratique de la méthode du simplexe (4) Canonisation : Les indices 4,5 et 6 sont canoniques mais l indice j=7 n est pas canonique ( c 7 0 0). Pour le rendre canonique, on retranche a 4 à c 0 et on ajoute b 4 à d. On obtient le tableau suivant : T 0, b β x x i γ i j c c (5) Traitement du tableau (T 0,1 ) Sommet : x 0,1 = (0; 0; 0; 4; 24; 6; 12), base associée β x 0,1= (4, 5, 6, 7) ; Test d optimalité : x 0,1 n est pas optimal, car c 1 0 < 0; Premier critère de Dantzig : l indice entrant j + = 1; Deuxième critère de Dantzig : l indice sortant j - = 7; Opération pivotage (4,1).

26 4- Pratique de la méthode du simplexe T 0, b 1 0 7/4-1/ / /4 1/ / /4 1/ / /4-1/ /4 3 β x c 0-9/4-1/ /4-3 c (6) Traitement du tableau (T 0,2 ) Sommet : x 0,2 = (3; 0; 0; 7; 21; 3; 0), base associée β x 0,2 = (1,4, 5, 6) ; Test d optimalité : x 0,2 est optimal (fin de la phase1 ); (P) admet des solutions admissibles (car d=0 ).

27 4- Pratique de la méthode du simplexe Phase 2: T b β x x i γ i j 1 0 7/4-1/ /4 1/ /4 1/ /4-1/ c 0-9/4-1/ /3-4 (7) Traitement du tableau (T 1 ) : (T 1 =T 0,2 auquel on supprime la ligne c 0 et la colonne de la variable 7 ) Sommet : x 1 = (3; 0; 0; 7; 21; 3), base associée β x 1 = (1,4, 5, 6) ; Test d optimalité : x 1 n est pas optimal, car c 2 < 0 ; Premier critère de Dantzig : l indice entrant j + = 2; Deuxième critère de Dantzig : l indice sortant j - = 1; Opération pivotage (4,2).

28 4- Pratique de la méthode du simplexe T b β x x i γ i j 1-7/3 0 1/ / / c (8) Traitement du tableau (T 2 ) Sommet : x 2 = (0; 4; 0; 0; 12; 6), base associée β x 2 = (2,4, 5, 6) ; Test d optimalité : x 2 n est pas optimal, car c 3 < 0 ; Premier critère de Dantzig : l indice entrant j + = 3; Deuxième critère de Dantzig : l indice sortant j - = 4; Opération pivotage (1,3).

29 4- Pratique de la méthode du simplexe T b β x x i γ i j c (9) Traitement du tableau (T 3 ) Sommet : x 3 = (0; 4; 0; 0; 12; 6), base associée β x 3 = (2,3, 5, 6) ; Test d optimalité : x 3 n est pas optimal, car c 1 < 0 ; Premier critère de Dantzig : l indice entrant j + = 1; Deuxième critère de Dantzig : l indice sortant j - = 5; Opération pivotage (2,1).

30 4- Pratique de la méthode du simplexe T b /4 5/ /4 ¼ /4-1/ /4 1/4 0 7 β x c (9) Traitement du tableau (T 4 ) Sommet : x 4 = (3; 7; 21; 0; 0; 3), base associée β x 4 = (1,2, 3, 6) ; Test d optimalité : x 4 est optimal ; Coût optimal = -24.

31 5- Dualité en programmation linéaire Définition : Etant donné un PL sous forme symétrique : minimiser < c. x > P Ax b et x 0 où c ϵ R n*, A ϵ M m,n ( R) et b ϵ R m. On appelle dual de (P) le PL défini (D) par : minimiser < b. y > D A y c et y 0 où A, b et c sont respectivement les transposés de A, b et c. Il est claire que (D) est également sous forme symétrique et que le dual (D) est (P). Théorème 1.5 : Soient x K = x R n : Ax b et x 0 et y K = y R m : A y c et y 0 (1) Les propositions suivantes sont équivalentes : i. x et y sont des solutions de (P) et (D)respectivement; ii. (x. c +A y)=0 et (y. b-ax) =0 (conditions de complémentarité); iii. <c. x>+<b. y> =0. (2) Les propositions suivantes sont équivalentes : i. (P) admet une solution; ii. (D) admet une solution; iii. K et K ne sont non vides.

32 5- Dualité en programmation linéaire Exemple: Un entrepreneur transforme 3 produits P1, P2 et P3 dans deux ateliers A1 et A2. La fabrication d une unité de P1 (resp. P2, P3 ) demande 1 heure de travail dans l atelier A1 et 1 heure dans l atelier A2 (resp. 4h, 1h sur A1 et 1h, 5h sur A2) et rapporte un bénéfice de 1 UM (resp. 2 UM, 2 UM). Les unités A1 et A2 ne peuvent pas fonctionner plus de 15 heures et 6 heures par jour respectivement. A1 A2 Bénéfice unitaire P1 1 h 1 h 1 UM P2 4 h 1 h 2 UM P3 1 h 5 h 2 UM Durée maximale 15 h 6 h Le problème de l entrepreneur est de déterminer les quantités des produits P1, P2 et P3 à transformer de sorte à maximiser le bénéfice. Un intermédiaire propose à l entrepreneur de lui louer ses unités pour réaliser la transformation à sa place. Pour que l entrepreneur accepte l offre, le prix de location doit se faire sur la base de l horaire limite de fonctionnement des deux unités et les prix unitaires de location doivent être plus intéressants que les bénéfices réalisés sur chaque unité des produits transformés. Le problème de l intermédiaire est de déterminer les prix unitaires de location des unités A1 et A2 de sorte à minimiser le coût de location.

33 Formulation des problèmes: 5- Dualité en programmation linéaire Soient x 1, x 2 et x 3 respectivement les quantités des produits P1, P2 et P3 à fabriquer par jour. Le problème de l entrepreneur est P maximiser (x 1 + 2x 2 + 2x 3 ) x 1 + 4x 2 +x 3 15 x 1 + x 2 +4x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 Soient y 1 et y 2 respectivement les prix de location de l heure des ateliers A1 et A2. minimiser(15y 1 + 6y 2 ) y 1 + y 2 1 Le problème de l intermédiaire est D 4y 1 + y 2 2 y 1 + 4y 2 2 y 1, y 2 0 Résolution des problèmes: On remarque que le problème de l intermédiaire est dual du problème de l entrepreneur. Le problème (D) à deux variable, sa résolution graphique montre que y = (1/3 ; 1/2) est une solution optimale (D) et le coût de location est de 9 UM par jour. Cette solution sature les deux premières contraintes. D après le théorème de dualité (P) admet une solution optimale.les conditions de complémentarité s écrivent : x 1 + 4x 2 +x 3 = 15 x 1 + x 2 +4x 3 = 6 x 3 = 0 La solution optimale de (P) est donc x= (3; 3; 0) et le bénéfice réalisé par jour est de 9 UM