E e e 5. TS DM 5 A rendre le 5/01/2015. Exercice 1 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a résolu l'équation : ( ) : x x

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1 TS DM 5 A redre le 5/0/05 Pour iformatio : Le DM 5 sera redu, u bila sera fait e classe et le corrigé sera mis sur le site au plus tard le vedredi 9/0 Eercice : A l'aide d'u logiciel de calcul formel o a résolu l'équatio : ( ) : E e e 5. O a obteu les résultats suivats : Soiet et les solutios de l'équatio (E). A-t-o : + =? Eercice : 3. O s itéresse das cette questio, à la vitesse de croissace du plat de maïs ; elle est doée par la foctio dérivée de la foctio f. La vitesse de croissace est maimale pour ue valeur de t. A l aide du graphique ci-cotre, détermier ue valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plat.

2 Eercice 3 : Eercice 4 : f et g sot deu foctios défiies sur [ 0 ; [ par :. a. Etudier les variatios de f et de g sur [0 ; [ f ( ) l( ) et g( ) l( ) b. E déduire que, pour tout ombre réel 0: l( ) u et v sot les suites défiies pour tout ombre etier aturel, par : u... et v l u. O se propose d étudier la limite de la suite u a. E utilisat la questio, motrer que pour tout ombre etier aturel, ( ) ( ) 4... v b. Démotrer par récurrece que, pour tout ombre etier aturel, ( )( )... 6 c. E déduire la limite de la suite v, puis celle de la suite u.

3 Corrigé Eercice : l( (5 )) l( (5 )) l( (5 ) (5 )) l( (5 )) 4 l() 0 Coclusio, le résultat proposé est fau. Eercice 3 : Partie A. Pour tout réel, f() = l( + ) = 0 + = = 0.. [0 ; ], f() = u() v() avec u()= et v() = l( + ) f est dérivable sur [0 ; ] et [0 ; ], f () = - =. u () = et v () = Etudios le sige de f () sur [0 ; ] : f () > 0 sur [0 ; [, et f () = 0 lorsque =. Par coséquet f est croissate sur [0 ; ]. Aisi, pour tout réel de [0 ; ], f(0) f f(). Or, f(0) = 0 et f() = l ( l 0.3) d où f() [0 ;]. Partie B. Iitialisatio : = [0 ;]. La propriété est doc vraie au rag = 0. Hérédité : Supposos qu il eiste u etier aturel 0, quelcoque pour lequel [0 ;] et sous cette hypothèse, motros que [0 ;] : Par hypothèse, [0 ;], or pour tout réel de [0 ; ], f() [0 ; ] d après la partie A, par coséquet f( ) [0 ;], mais f( ) =, doc [0 ; ]. Coclusio : La propriété état vraie au rag = 0 et état héréditaire, elle est vraie pour tout etier d après le pricipe de récurrece.. Etudios le sige de - : Pour tout etier aturel, - = - l ( + ). Or +, doc l ( + ) 0 et - = - l ( + ) 0. Par coséquet la suite ( ) est décroissate. 3. La suite ( ) est décroissate et miorée par 0, doc par théorème elle est covergete. Notos l sa limite. f( ) = avec f cotiue sur [0 ;] car dérivable, doc la limite de la suite ( ) vérifie l = f(l). Doc, l= d après la questio de la partie A. La suite coverge doc vers.

4 Eercice :. f() t est de la forme u'( t) e 0.76e 0.04 t 0.04t doc soit aussi avec u( t) 9 u( t) u( t) 0.04t e. O a doc 0.76e.5e f '( t) 0.04t 0.04t 0.04t 0.04t 9e 9e u'( t) f '( t). ut () 3. O cherche graphiquemet la valeur de t pour laquelle f (t) est maimale, c'est-à-dire pour laquelle la pete de la courbe représetative de h est maimale. Graphiquemet, o lit t 75 jours. e réalité t jours. La hauteur du plat serait alors f m. E réalité, c est m

5 Eercice 4 :.a. O étudie les variatios de f et de g sur [0 ; + [ ( )( ) ² ² f '( ). Pour tout 0;, ² 0 doc ² 0 et 0 doc f '( ) 0 et f '(0 )= 0 O e déduit que f est strictemet décroissate sur 0; g'( ) Pour tout 0;, 0 doc 0 et 0 doc g'( ) 0 et g'(0 )= 0 O e déduit que g est strictemet décroissate sur 0; b. f est strictemet décroissate sur [0; [ et f (0) 0 doc pour tout ombre réel 0 f ( ) f (0) doc f ( ) 0 doc l( ) 0 soit l( ) g est strictemet décroissate sur [0; [ et g(0) 0 doc pour tout ombre réel 0 g( ) g(0) doc g( ) 0 doc l( ) 0 soit l( ) (remarque : o utilise ici das chaque cas, le "chagemet d'ordre" pour ue foctio décroissate) O a doc : pour tout ombre réel 0: l( ). a. Preos. O a 0 l, doc d aprèsb, l soit De même, e preat, o a 0, doc d après b, l soit l E procédat de la même faço, avec,,...,, o a : l, 4 4 l,..., 4 l E sommat terme à terme toutes les iégalités obteues, o a : l l... l... Ce qui doe : l... 4

6 ... lu Soit ( ) ( ) 4... v Soit... v ( ) ( ) Soit b. Notos 4 P la propriété :... O veut motrer que Etape : Iitialisatio Motros que la propriété O a ( )( ) 6 P est vraie pour tout P est vraie pour = ( )( ) ( )( ) et doc doc P est vraie pour = 6 6 Etape : Hérédité Soit u etier aturel fié quelcoque,. Supposos que P est vraie c'est-à-dire que :... et motros que P est vraie c'est-à-dire que :... ( )( ) 6 ( )( ( ) ) ( )( 3) ( ) ( ) 6 ( )( ) ( )( ) ( ) 7 6 ( ) O e déduit que P est vraie Etape 3 : coclusio La propriété P est vraie au rag = et elle est héréditaire, o e déduit que est vraie pour tout etier aturel c. O a d ue part : ( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) ( )( ) Et d autre part : ( ) O a doc pour tout etier aturel : v et 3 4 Or lim lim doc d après le théorème des gedarmes : lim v v v l Or v lu doc u e. Par suite : lim u Or v u doc u e e

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